Parametrizzazione circonferenze ed ellisse
Salve,
Stavo cercando su google risposte alla mia domanda, che non ho trovato,ma in compenso ho trovato questo forum e ho deciso di provare a chiedere la mia stupida domanda a voi.
Non ho capito come si parametrizzi una ellisse, faccio un esempio per semplificare:
SI abbia (x - 1)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1
Diventa
{3 Cos[t] + 1, 2 Sin[t] - 1}, facendo variare t: {t, 0, 2 Pi}
Stavo usando wolfram alpha, non capisco perché intuitivamente (e anche rigorosamente poi) diventino a^2 (=9) e b^2(=4) a denominatore i coefficienti della parametrizzata (3 e 2 rispettivamente) e il valore a cui era sottratto x e sommato y, che sono gli uni tra parentesi: (x - 1) e (y + 1) diventino rispettivamente 3 Cos[t] + 1, 2 Sin[t] - 1
Graziemille,
Cordialmente.
Stavo cercando su google risposte alla mia domanda, che non ho trovato,ma in compenso ho trovato questo forum e ho deciso di provare a chiedere la mia stupida domanda a voi.
Non ho capito come si parametrizzi una ellisse, faccio un esempio per semplificare:
SI abbia (x - 1)^2/9 + (y + 1)^2/4 = 1
Diventa
{3 Cos[t] + 1, 2 Sin[t] - 1}, facendo variare t: {t, 0, 2 Pi}
Stavo usando wolfram alpha, non capisco perché intuitivamente (e anche rigorosamente poi) diventino a^2 (=9) e b^2(=4) a denominatore i coefficienti della parametrizzata (3 e 2 rispettivamente) e il valore a cui era sottratto x e sommato y, che sono gli uni tra parentesi: (x - 1) e (y + 1) diventino rispettivamente 3 Cos[t] + 1, 2 Sin[t] - 1
Graziemille,
Cordialmente.
Risposte
Supponi di avere una ellisse $(x-c_1)^2/a^2+(y-c_2)^2/b^2=1$
Poni ${(x(t)=acos(t)+c_1),(y(t)=bsin(t)+c_2):},t in[0,2pi]$
finito. basta trovare una curva che abbia per sostegno il luogo dei punti che ti interessa.
Se poi ti interessa anche capire perché, è un altro discorso
Poni ${(x(t)=acos(t)+c_1),(y(t)=bsin(t)+c_2):},t in[0,2pi]$
finito. basta trovare una curva che abbia per sostegno il luogo dei punti che ti interessa.
Se poi ti interessa anche capire perché, è un altro discorso
Ehm esatto, siccome sono un rompi pi, vorrei proprio capire perché sia intuitivamente, che formalmente , si giunga a quello.
Avevo dedotto fossero quelle le formule, ma perché non lo capisco.
Avevo dedotto fossero quelle le formule, ma perché non lo capisco.
Sei d'accordo che
\[
X^2+Y^2=1
\]
si parametrizza come \(X= \cos t, Y=\sin t\ \)? Allora applica il cambio di variabile
\[
X=\frac{x-c_1}{a},\quad Y=\frac{y-c_2}{b}, \]
e sviluppa i calcoli.
\[
X^2+Y^2=1
\]
si parametrizza come \(X= \cos t, Y=\sin t\ \)? Allora applica il cambio di variabile
\[
X=\frac{x-c_1}{a},\quad Y=\frac{y-c_2}{b}, \]
e sviluppa i calcoli.
Grazie,
in realtà non mi è stato spiegato anche perché X2+Y2=1 si parametrizza come X=cost,Y=sint,
Non capisco quali passaggi matematici si svolgano invece in tal caso.
in realtà non mi è stato spiegato anche perché X2+Y2=1 si parametrizza come X=cost,Y=sint,
Non capisco quali passaggi matematici si svolgano invece in tal caso.
Non è che ‘si parametrizza’ come se fosse una cosa dovuta.
Vuoi trovare un intervallo $I$ e una curva $phi:I->RR^2$ con $phi(t)=(x(t),(y(t))$ tale che sia $phi(I)={(x,y) inRR^2:x^2+y^2=1}$
Ovvero che $(x(t),y(t))$ appartenga a quell’insieme e quindi che verifichi
$x^2(t)+y^2(t)=1,t inI$
Chiaramente $phi(t)=(cos(t),sin(t)),t in[0,2pi]$ verifica quello che chiedi.
Perché ti dico che non è una cosa dovuta? Perché anche la curva
$varphi(t)=(cos(2t),sin(2t)), t in[0,pi]$ verifica quello che chiedi
Quindi in generale non è unica la parametrizzazione.
Se non sbaglio al più una parametrizzazione è unica a meno di equivalenza(tra curve)
Vuoi trovare un intervallo $I$ e una curva $phi:I->RR^2$ con $phi(t)=(x(t),(y(t))$ tale che sia $phi(I)={(x,y) inRR^2:x^2+y^2=1}$
Ovvero che $(x(t),y(t))$ appartenga a quell’insieme e quindi che verifichi
$x^2(t)+y^2(t)=1,t inI$
Chiaramente $phi(t)=(cos(t),sin(t)),t in[0,2pi]$ verifica quello che chiedi.
Perché ti dico che non è una cosa dovuta? Perché anche la curva
$varphi(t)=(cos(2t),sin(2t)), t in[0,pi]$ verifica quello che chiedi
Quindi in generale non è unica la parametrizzazione.
Se non sbaglio al più una parametrizzazione è unica a meno di equivalenza(tra curve)
una parametrizzazione è unica a meno di equivalenza(tra curve)
Come definisci l'equivalenza tra parametrizzazioni?
"jacobi":
Grazie,
in realtà non mi è stato spiegato anche perché X2+Y2=1 si parametrizza come X=cost,Y=sint,
Non capisco quali passaggi matematici si svolgano invece in tal caso.
Questo è un fatto fondamentale della matematica e della fisica e puoi anche prenderlo come un assioma. (In termini fisici, questo è il moto circolare uniforme).
Se però vuoi capire bene questo concetto, la cosa migliore è leggere il capitolo "Funzioni esponenziali e circolari" dal libro di analisi matematica di Giovanni Prodi.
Quindi praticamente lo si intuisce. Quel che mi chiedevo era appunto se con una serie di passaggi algebrici si passasse a quella forma parametrica. Mi pare di aver capito che, invece, una volta intuita che quella forma funziona la si assume come forma paramentrica.
Purtroppo non ho il Prodi ma il De Marco, sono ancora all'inizio, potrei cercare il prodi in biblioteca se è migliore nelle spiegazioni.
Grazie
Purtroppo non ho il Prodi ma il De Marco, sono ancora all'inizio, potrei cercare il prodi in biblioteca se è migliore nelle spiegazioni.
Grazie
A non avere una definizione convincente di funzioni circolari, si rischia di cadere nel problema uovo-gallina; il punto è che le funzioni \(\sin\) e \(\cos\) in un certo senso sono definite in modo da parametrizzare il cerchio; intrinsecamente, uno potrebbe definire \(\sin = \Im(\exp|_{i\mathbb R})\), come cioè la parte immaginaria della funzione intera \(z\mapsto \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}\). Del resto serve parecchia tecnologia per definirlo in questo modo.
Probabilmente potrebbe corroborarti un po' di trigonometria elementare, del resto (purtroppo) tutte le fonti elementari di facile reperimento sembrano essere abbastanza raffazzonate (viene data per buona la familiarità con le proprietà delle funzioni trigonometriche: sebbene sia possibile darne una definizione sintetica, mi sfugge come si riescano a determinare le loro proprietà analitiche).
Probabilmente potrebbe corroborarti un po' di trigonometria elementare, del resto (purtroppo) tutte le fonti elementari di facile reperimento sembrano essere abbastanza raffazzonate (viene data per buona la familiarità con le proprietà delle funzioni trigonometriche: sebbene sia possibile darne una definizione sintetica, mi sfugge come si riescano a determinare le loro proprietà analitiche).
Grazie per i preziosi consigli e spunti.
"killing_buddha":una parametrizzazione è unica a meno di equivalenza(tra curve)
Come definisci l'equivalenza tra parametrizzazioni?
Nel seguente modo
Dato un $RR$ spazio normato $V$ di dimensione finita, $I,J subseteqRR$ intervalli
Le curve $x:I->V,y:J->V$ sono equivalenti se esiste un diffeomorfismo $sigma:I->J$ tale che $x=ycircsigma$
@jacobi: Se passi dalla biblioteca, dai una lettura al capitolo del Prodi che ti dicevo. Sarà istruttivo. Puoi pure scaricare una scansione da internet, ce ne saranno sicuramente.
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