Esercizio su applicazioni lineari
Ciao a tutti!
Ho la seguente applicazione lineare:
$ L((x), (y), (z)) = ( ( 2x-2y-z ),( y+z ) ) $
L'esercizio mi chiede che sia $ U sub R^3 $ il sottospazio di equazione 2x+z=0 calcolare la dimensione di L(U)
Io allora ho provato così:
Ho cercato l'immagine di (-2,0,1) ottenendo i valori (3, -1) e poi ho imposto il sistema
$ { ( 2x-2y-z=3 ),( y-z=-1 ):} $
Quindi essendo una retta ho dedotto che la dimL(U)=1.
Non credo di aver fatto bene anche perché non c'è molta logica nel mio procedimento, mi corregereste ?
L'esercizio chiede anche di stabilire se il vettore (3,3) appartenga a ImL e come risposta riporta che gli appartiene perché l'applicazione è suriettiva ma non riesco a capire perché la suriettività impone l'appartenenza del vettore.
Grazie per l'aiuto
Ho la seguente applicazione lineare:
$ L((x), (y), (z)) = ( ( 2x-2y-z ),( y+z ) ) $
L'esercizio mi chiede che sia $ U sub R^3 $ il sottospazio di equazione 2x+z=0 calcolare la dimensione di L(U)
Io allora ho provato così:
Ho cercato l'immagine di (-2,0,1) ottenendo i valori (3, -1) e poi ho imposto il sistema
$ { ( 2x-2y-z=3 ),( y-z=-1 ):} $
Quindi essendo una retta ho dedotto che la dimL(U)=1.
Non credo di aver fatto bene anche perché non c'è molta logica nel mio procedimento, mi corregereste ?
L'esercizio chiede anche di stabilire se il vettore (3,3) appartenga a ImL e come risposta riporta che gli appartiene perché l'applicazione è suriettiva ma non riesco a capire perché la suriettività impone l'appartenenza del vettore.
Grazie per l'aiuto
Risposte
Ti è sfuggito il fatto che in $\mathbb{R}^3$ i vettori hanno anche una componente lungo la direzione $j$ per cui il sottospazio vettoriale U è dato da
$U = span\{\(-2,0,1),(0,1,0)\}$
Puoi verificare che l'immagine ha dimensione 2. pari al rango della matrice associata all'applicazione rispetto alla scelta della base formata da $U$. Una sua base è allora quella canonica di $\mathbb{R}^2$, di cui il vettore assegnato è chiaramente combinazione lineare.
$U = span\{\(-2,0,1),(0,1,0)\}$
Puoi verificare che l'immagine ha dimensione 2. pari al rango della matrice associata all'applicazione rispetto alla scelta della base formata da $U$. Una sua base è allora quella canonica di $\mathbb{R}^2$, di cui il vettore assegnato è chiaramente combinazione lineare.
"iTz_Ovah":
Ti è sfuggito il fatto che in $\mathbb{R}^3$ i vettori hanno anche una componente lungo la direzione $j$ per cui il sottospazio vettoriale U è dato da
$U = span\{\(-2,0,1),(0,1,0)\}$
Come sei arrivato a questo risultato ?
"iTz_Ovah":
Puoi verificare che l'immagine ha dimensione 2. pari al rango della matrice associata all'applicazione rispetto alla scelta della base formata da $U$. Una sua base è allora quella canonica di $\mathbb{R}^2$, di cui il vettore assegnato è chiaramente combinazione lineare.
La verifica la chiede prima di determinare la dimensione del sottospazio quindi $U$ non dovrebbe essere preso in esame.
Per definizione di $U$ che hai dato, questo è costituito da tutti i vettori $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 | x+2z=0$, per cui sono tutti i vettori esprimibili nella forma $(-2z,y,z) = z(-2,0,1) + y(0,1,0)$ separandone le componenti $z$ e $y$. La dimensione di $U$ è pari al numero di vettori in una sua base. Poiché $\{(-2,0,1),(0,1,0)\}$ sono ortogonali e non nulli sono pure linearmente indipendenti e formano una base, costituita appunto da 2 elementi, che a questo punto è la dimensione di $U$.
Occhio che è $2x+z=0$
"seragno":
Occhio che è $2x+z=0$
Contestualmente puoi riscrivere il precedente come $( x, 0, -2x) + (0,y, 0) \to z(1,0,-2) + y(0,1,0)$ (grazie per la correzione)
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