Rango di una matrice

[greenday98]

Salve, volevo porre dei quesiti vero o falso che vanno motivati, ho piu' o meno capito il perche' ragionandoci ma vorrei delle risposte piu "sensate", i quesiti sono i seguenti:
(i) Se det(AB) = 0, allora rg(A) < n e rg(B) < n.
(ii)Se det(AB) = 0, allora o rg(A) < n o rg(B) < n.
(iii)Se rg(A) = n, allora rg(AB) = n.
Secondo me sono F-V-F

[Lao_Dan]

Ci sono un po' di cose che non dici: $A,B$ sono quadrate? La risposta cambia se no.

Assumiamo lo siano. La prima è falsa, prendi $A=0_n$ e $B=1_n$ (l'identità). La seconda: se entrambe $A,B$ hanno rango massimo sono suriettive; se sono definite tra spazi della stessa dimensione sono anche iniettive quindi sono isomorfismi e la loro composizione ha rango massimo. La terza è ovviamente falsa: prendi $A=1_n$, $B=0$.