Prodotto scalare
Ciao!! Oggi ho iniziato a lavorare sul concetto di prodotto scalare 
Vi propongo tre esercizi di cui due piuttosto semplici di riscaldamento (ma il vostro parere mi fa sempre piacere) e uno che ho trovato più difficilotto:
i) Sia \(\displaystyle (V, \langle \cdot \rangle) \) uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare. Mostrare che \(\displaystyle \langle \mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle=0 \ \forall \mathbf{v} \).
Segue dal fatto che \(\displaystyle \langle \mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle=\langle 0\mathbf{0},\mathbf{v}\rangle=0\langle\mathbf{0},\mathbf{v}\rangle=0 \).
ii) Siano \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\) $n$ vettori non nulli mutuamente ortogonali in uno spazio dotato di prodotto scalare definito positivo. Mostrare che essi formano un sistema indipendente.
Mostriamo che \(\displaystyle \alpha_1\mathbf{v}_1+...+\alpha_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\) se e solo se i coefficienti \(\displaystyle \alpha_i \) sono tutti nulli. Si ha \[\displaystyle \langle \alpha_1\mathbf{v}+...+\alpha_n\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_1\rangle=\langle \alpha_1\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle=\alpha_1\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle=\langle\mathbf{0},\mathbf{v}_1\rangle=\mathbf{0} \] Ciò implica necessariamente \(\displaystyle \alpha_1=0 \) poiché \(\displaystyle \mathbf{v}_1 \) è non nullo per ipotesi e il prodotto è definito positivo. Iterando il procedimento $n$ volte si ha la tesi.
iii) Sia $M$ una matrice quadrata simmetrica, e \(\displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y} \) due vettori colonna dello spazio n-dimensionale, allora \(\displaystyle \mathbf{x}^TM\mathbf{y} \) è uno scalare e l'applicazione \(\displaystyle (\mathbf{x},\mathbf{y})\rightarrow\mathbf{x}^TM\mathbf{y} \) è un prodotto scalare.
Si ha che la componente $ik$ del prodotto \(\displaystyle \mathbf{x}^T\mathbf{M} \) è data da \[\displaystyle \sum_{j=1}^n x_{ij}m_{jk}=x_{i1}m_{1k}+...+x_{in}m_{nk}\Rightarrow\sum_{j=1}^n x_{1j}m_{jk}=x_{11}m_{1k}+...+x_{1n}m_{nk}\] poiché ha senso solo prendere \(\displaystyle i=1, 0\le k \le n \): si ottiene quindi un vettore riga. Eseguendo il prodotto tra il vettore riga (denoto gli elementi come \(\displaystyle s_{1k} \)) e il vettore colonna \(\displaystyle \mathbf{y} \) ($k=1$, $0<=i<=n$) si ottiene uno scalare: infatti \[\displaystyle \sum_{r=1}^n s_{1r}y_{r1}=s_{11}y_{11}+...+s_{1n}y_{n1} \] e si ottiene una matrice \(\displaystyle 1\times 1 \), assimilabile ad un numero.
Si ha inoltre che \(\displaystyle \langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=(\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle)^T=(\mathbf{x}^TM\mathbf{y})^T=\mathbf{y}^TM\mathbf{x}=\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\rangle \). Qui ho usato una cosa un po' bislacca per cui vorrei chiedervi conferma: se il risultato del prodotto è un numero, lo considero come una matrice unitaria che quindi è simmetrica e coincide con la trasposta. Forse è una cosa stupida ma non ho voglia di mettermi a considerare i prodotti riga e colonna
In secondo luogo, \[\displaystyle \langle \mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\rangle=\mathbf{x}^TM(\mathbf{y}+\mathbf{z})=\mathbf{x}^TM\mathbf{y}+\mathbf{x}^TM\mathbf{z}=\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle+\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\rangle\] per la distributività del prodotto riga colonna.
Infine si avrebbe \(\displaystyle \langle\alpha\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\alpha\mathbf{x}^TM\mathbf{y}=\alpha\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle \) e analogamente per l'altro argomento.
Cosa ne pensate? Fila tutto liscio? Grazie a tutti!
Vi propongo tre esercizi di cui due piuttosto semplici di riscaldamento (ma il vostro parere mi fa sempre piacere) e uno che ho trovato più difficilotto:
i) Sia \(\displaystyle (V, \langle \cdot \rangle) \) uno spazio vettoriale dotato di prodotto scalare. Mostrare che \(\displaystyle \langle \mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle=0 \ \forall \mathbf{v} \).
Segue dal fatto che \(\displaystyle \langle \mathbf{0}, \mathbf{v}\rangle=\langle 0\mathbf{0},\mathbf{v}\rangle=0\langle\mathbf{0},\mathbf{v}\rangle=0 \).
ii) Siano \(\displaystyle \mathbf{v}_1,...,\mathbf{v}_n\) $n$ vettori non nulli mutuamente ortogonali in uno spazio dotato di prodotto scalare definito positivo. Mostrare che essi formano un sistema indipendente.
Mostriamo che \(\displaystyle \alpha_1\mathbf{v}_1+...+\alpha_n\mathbf{v}_n=\mathbf{0}\) se e solo se i coefficienti \(\displaystyle \alpha_i \) sono tutti nulli. Si ha \[\displaystyle \langle \alpha_1\mathbf{v}+...+\alpha_n\mathbf{v}_n, \mathbf{v}_1\rangle=\langle \alpha_1\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle=\alpha_1\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_1\rangle=\langle\mathbf{0},\mathbf{v}_1\rangle=\mathbf{0} \] Ciò implica necessariamente \(\displaystyle \alpha_1=0 \) poiché \(\displaystyle \mathbf{v}_1 \) è non nullo per ipotesi e il prodotto è definito positivo. Iterando il procedimento $n$ volte si ha la tesi.
iii) Sia $M$ una matrice quadrata simmetrica, e \(\displaystyle \mathbf{x},\mathbf{y} \) due vettori colonna dello spazio n-dimensionale, allora \(\displaystyle \mathbf{x}^TM\mathbf{y} \) è uno scalare e l'applicazione \(\displaystyle (\mathbf{x},\mathbf{y})\rightarrow\mathbf{x}^TM\mathbf{y} \) è un prodotto scalare.
Si ha che la componente $ik$ del prodotto \(\displaystyle \mathbf{x}^T\mathbf{M} \) è data da \[\displaystyle \sum_{j=1}^n x_{ij}m_{jk}=x_{i1}m_{1k}+...+x_{in}m_{nk}\Rightarrow\sum_{j=1}^n x_{1j}m_{jk}=x_{11}m_{1k}+...+x_{1n}m_{nk}\] poiché ha senso solo prendere \(\displaystyle i=1, 0\le k \le n \): si ottiene quindi un vettore riga. Eseguendo il prodotto tra il vettore riga (denoto gli elementi come \(\displaystyle s_{1k} \)) e il vettore colonna \(\displaystyle \mathbf{y} \) ($k=1$, $0<=i<=n$) si ottiene uno scalare: infatti \[\displaystyle \sum_{r=1}^n s_{1r}y_{r1}=s_{11}y_{11}+...+s_{1n}y_{n1} \] e si ottiene una matrice \(\displaystyle 1\times 1 \), assimilabile ad un numero.
Si ha inoltre che \(\displaystyle \langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=(\langle \mathbf{x},\mathbf{y}\rangle)^T=(\mathbf{x}^TM\mathbf{y})^T=\mathbf{y}^TM\mathbf{x}=\langle\mathbf{y},\mathbf{x}\rangle \). Qui ho usato una cosa un po' bislacca per cui vorrei chiedervi conferma: se il risultato del prodotto è un numero, lo considero come una matrice unitaria che quindi è simmetrica e coincide con la trasposta. Forse è una cosa stupida ma non ho voglia di mettermi a considerare i prodotti riga e colonna
In secondo luogo, \[\displaystyle \langle \mathbf{x},\mathbf{y}+\mathbf{z}\rangle=\mathbf{x}^TM(\mathbf{y}+\mathbf{z})=\mathbf{x}^TM\mathbf{y}+\mathbf{x}^TM\mathbf{z}=\langle\mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle+\langle\mathbf{x},\mathbf{z}\rangle\] per la distributività del prodotto riga colonna.
Infine si avrebbe \(\displaystyle \langle\alpha\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle=\alpha\mathbf{x}^TM\mathbf{y}=\alpha\langle\mathbf{x},\mathbf{y}\rangle \) e analogamente per l'altro argomento.
Cosa ne pensate? Fila tutto liscio? Grazie a tutti!
Risposte
Si è corretto, però vorrei dirti una cosa:
Sei passato in niente dalla definizione di spazio vettoriale ai prodotti scalari, non pensi di star perdendo la profondità di alcune cose?
Sei passato in niente dalla definizione di spazio vettoriale ai prodotti scalari, non pensi di star perdendo la profondità di alcune cose?
Ciao anto grazie della risposta
Prima di iscrivermi sul forum avevo già cominciato a studiacchiare l'algebra lineare in modo un po' disordinato, adesso che ho un testo di riferimento sto cercando di rendere la mia seppur scarna conoscenza "efficace" facendo un bel po' di problemi.
Sicuramente dovrei dedicare più tempo alle basi ma devo dire che trovo irresistibile la tentazione di sbirciare più avanti poi i prodotti scalari erano già stati definiti all'inizio e avevo voglia di studiarmeli per bene!
In realtà non so ancora bene come approcciarmi a questo studio, quindi accetto tutti i consigli che volete darmi! Se in particolare vuoi portare la mia attenzione su qualcosa che merita di essere approfondito maggiormente dimmi pure
Prima di iscrivermi sul forum avevo già cominciato a studiacchiare l'algebra lineare in modo un po' disordinato, adesso che ho un testo di riferimento sto cercando di rendere la mia seppur scarna conoscenza "efficace" facendo un bel po' di problemi.
Sicuramente dovrei dedicare più tempo alle basi ma devo dire che trovo irresistibile la tentazione di sbirciare più avanti
poi i prodotti scalari erano già stati definiti all'inizio e avevo voglia di studiarmeli per bene! In realtà non so ancora bene come approcciarmi a questo studio, quindi accetto tutti i consigli che volete darmi! Se in particolare vuoi portare la mia attenzione su qualcosa che merita di essere approfondito maggiormente dimmi pure
Te lo chiedevo perché i prodotti scalari sono studiati a partire dalle forme bilineari.
Considera che io a tempo perso sto rifacendo la teoria delle applicazioni bilineari studiandole come $B:VtimesW->U$ e scendendo verso le forme. A volte farti esempi da solo, di teoria, è molto utile e costruttivo ai fini di migliorare il ragionamento.
Inoltre per l’algebra lineare è, direi, fondamentale conoscere l’algebra(teoria delle strutture algebriche).
Molti formalismi e una visione più ampia la sto apprendendo grazie all’algebra che odiavo fino a poco tempo fa.
Considera che io a tempo perso sto rifacendo la teoria delle applicazioni bilineari studiandole come $B:VtimesW->U$ e scendendo verso le forme. A volte farti esempi da solo, di teoria, è molto utile e costruttivo ai fini di migliorare il ragionamento.
Inoltre per l’algebra lineare è, direi, fondamentale conoscere l’algebra(teoria delle strutture algebriche).
Molti formalismi e una visione più ampia la sto apprendendo grazie all’algebra che odiavo fino a poco tempo fa.
Capisco! Sul Lang si introduce il prodotto scalare senza parlare subito di forme bilineari. Per quanto riguarda l'algebra: anche grazie ai tuoi interventi mi è venuta non poca voglia di leggerne qualcosa, soprattutto sui gruppi... purtroppo il tempo a disposizione è poco e devo fare una scelta temo di dover rimandare certi approfondimenti al futuro per adesso!
temo di dover rimandare certi approfondimenti al futuro per adesso!
Io non sono d'accordo con anto,un esercizio sui prodotti scalari è un buon esercizio anche a questo punto dell'apprendimento. Il fatto che ad anto piaccia studiare le cose in un certo ordine non significa che quello è l'unico ordine possibile, anzi, da quello che ho visti in matematica ognuno segue la sua personale strada,ed è per quello che si impara molto dal confronto con gli altri.
Comunque, tornando a bomba. "Matrice unitaria" significa di solito una cosa ben precisa che qui non c'entra nulla. Tu vuoi dire "matrice 1 per 1". È chiaro che queste matrici sono in realtà degli scalari e che quindi coincidono con le loro trasposte.
Infine, credo tu abbia dimenticato una ipotesi nel punto 3: la matrice deve essere definita positiva, perché vedo che per te un prodotto scalare deve essere non negativo.
Comunque, tornando a bomba. "Matrice unitaria" significa di solito una cosa ben precisa che qui non c'entra nulla. Tu vuoi dire "matrice 1 per 1". È chiaro che queste matrici sono in realtà degli scalari e che quindi coincidono con le loro trasposte.
Infine, credo tu abbia dimenticato una ipotesi nel punto 3: la matrice deve essere definita positiva, perché vedo che per te un prodotto scalare deve essere non negativo.
@dissonance
Noi siamo spesso in disaccordo, è per questo che mi piace scambiare idee con te
Noi siamo spesso in disaccordo, è per questo che mi piace scambiare idee con te
Mi spiace anto, ma devo fidarmi di dissonance... ha più lampadine di te! Ho controllato la definizione di matrice unitaria e in effetti è tutt'altra roba, my bad! Invece non credo di aver mancato nessuna ipotesi nel terzo punto... per non negativo intendi definito positivo? Se sì, sul Lang non è una condizione necessaria!
È solo questione di convenzioni, a volte si dice "prodotto scalare" e si sottointende che sia definito positivo. Se tu non lo fai allora la dimostrazione va bene.
Ok! Grazie per la risposta. Un'ultima cosa: in genere è più comune richiedere la positività del prodotto? Non vorrei seguire convenzioni che nessuno usa
"Uomo Grasso":
Mi spiace anto, ma devo fidarmi di dissonance...
E' il minimo! io ho imparato grazie alle stringate di dissonance
[ot]un giorno spero di avere il piacere di stringergli la mano
[/ot]
Non ti preoccupare delle convenzioni, preoccupati dei contenuti. I prodotti scalari non definiti positivi sono l'ingrediente fondamentale della teoria della relatività, quindi proprio una fesseria non sono.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo