Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ragazzi non riesco a risolvere il secondo punto di questo esercizio.. potete darmi una mano ?
Esercizio
Siano dati i vettori $v1 = (1, −1, 2), v2 = (−1, 2, 0), v3 = (0, 1, 1)$
e sia $f : R^3 → R^3$
l’applicazione lineare il cui nucleo `e generato da v1 e tale che $f(v2) = 2v2 e f(v3) = v3.$
(a) Utilizzando la formula di cambiamento di basi, si scriva la matrice di f rispetto alle basi canoniche.
Semplice.
(b) Si dica se esiste una funzione lineare $g : R^3 → R^3$
tale che la funzione composta g ◦ f sia invertibile
Qua non so ...
Sia \(k\ge 2\) e considerate il sottogruppo $Z_k$ delle radici $k$-esime dell'unita' in $U(1)=\mathbb S^1\subseteq\mathbb C$ (la circonferenza, riguardata come il gruppo dei numeri complessi di modulo 1 e la topologia di sottospazio che la rende un gruppo topologico); calcolate il gruppo fondamentale del quoziente \(\mathbb S^1/Z_k\).
Salve
Ho un problema con il seguente esercizio:
Siano $E$ uno spazio topologico compatto e semplicemente connesso, $X$ spazio topologico connesso per archi, $p:E->X$ rivestimento e $f:X\to S^1$ un'applicazione continua. Allora $f$ è omotopa ad un'applicazione costante.
Ho provato a risolverlo ma non ne vengo fuori: siano $e_0 \in E$, $p(e_0) = x_0 \in X$ e $f(x_0) = s_0 \in S^1$ punti base, poiché le fibre di ...
Salve, chiedo, se possibile, un aiuto su questo esercizio, ci penso già da un pò ma non riesco a svolgerlo, sicuramente sto sbagliando qualcosa e sto dimenticando qualcosa di semplice
1)come consiglia il testo decompongo la funzione seno come: sen(x)cos(t) + cos(t)sen(x) , ma cosa uso come f(t)? e quindi come mi trovo $ A^2 $ ? come base prenderei cos(t) e sen(t) ma non sono affatto sicuro
2) come dimostro che A è un operatore di proiezione? pensavo che basta dimostrare ...
Salve.
Nel testo che seguo se si sbircia bene fra gli esercizi ve n'è proposto uno che mi è parso molto interessante, soprattutto perché mi sembra una cosa poco usata, sperando di non sbagliarmi facendo un post inutile, cioè offre un metodo per passare da equazioni parametriche a equazioni cartesiane per individuare un sottospazio vettoriale. Si può semplicemente poi seguire la stessa via per passare da cartesiane a parametriche, come ho fatto in questo post.
L'esercizio sostanzialmente è ...
Scrivi un'equazione del piano \( \pi \subset \mathbb{R^3} \) ortogonale all'asse y e passante per il punto $P(3,2,1)$.
Come si trova l'equazione del piano ortogonale all'asse y?non mi è mai capitato.
Una volta ottenuta l'equazione del piano so che dovrò sostituire le coordinate del punto $P(3,2,1)$ ovvero $P(x,y,z)$ nell'equazione del piano e troverò la $d$ (mi riferisco alla $d$ dell'equazione $ax+by+cz=d$)
Buonasera a tutti, per un esercizio ho scritto questa deformazione dal "bicchiere pieno" al "bicchiere vuoto". All'inizio mi sembrava corretta ma mi sono accorto che questa applicazione non dovrebbe essere continua. Il punto è che non riesco a dimostrarlo negando la definizione. L'applicazione in questione è questa:
$ R : X xx I -> X $ dove indico con $ X $ il bicchiere pieno, cioè $ D^2 xx [0,1] $ in $ mathbb(R^3) $ $ R((x,y,z) , t) = (x/||x||(1-t) + xt, y/||y||(1-t) + yt, z) $ se $ z!=0 $, l'identità se ...
Ragazzi nel svolgere questo esercizio ho avuto qualche dubbio, vi chiedo per favore se potete controllare la mia soluzione, e commentarla. Inoltre mi sono bloccato al'ultimo punto e mi servirebbe un consiglio per procedere. Grazie in anticipo
Sia $f : R^3 → R^2$ la funzione lineare di matrice (rispetto alle basi canoniche)
$ A= ( ( 1 , 2 , -1 ),( 2 , t , -2 ) ) $
(a) Si dica per quale valore di t l’immagine di f ha dimensione 1. Per tale valore di t si trovi una base
di Ker(f) e una base di Im(f).
Qua ad ...
Salve, qualcuno saprebbe aiutarmi con questo esercizio?
Determinare la distanza del punto P(5,12,3) dall'asse delle z.
So che devo trovarmi il piano ortogonale all'asse e passante per questo punto.
Mi esce z+3=0. Poi utilizzo la formula : \( \mid ax°+by°+cz°+d\mid \div \surd (a^2+b^2+c^2) \)
La distanza dovrebbe essere 4. Ma non sono sicura del procedimento, soprattutto non mi convince l'equazione del piano. Sapreste dirmi dove sbaglio?
C'è un modo di calcolare esplicitamente il determinante $ det(T) $ con $ T(X)=AX+XA $, al variare di $ X \in M_{n,n}(\mathbb{R}) $ e fissata una $ A \in M_{n,n}(\mathbb{R}) | det(A)=0 $ ?
Ho provato a calcolare esplicitamente la matrice rappresentante $ T $ scrivendo $ X $ in $ \mathbb{R^{n^2}} $ mettendo le colonne una sotto l'altra. Cioè, sia $ M_X $ il vettore di $ \mathbb{R^{n^2}} $ rappresentate la matrice $ X $, si ha $ M_X = ((X^1),(...),(X^n)) $ , ma ho avuto enorme difficoltà per ...
Tornando indietro su una cosa di Algebra Lineare mi sono domandato una cosa: definita una forma bilineare simmetrica su $V$, se $phi$ è non degenere esiste(sempre in $V$) una base ortogonale di vettori non isotropi?
mi sono risposto così,
sia $V$ un $K$ spazio con $dim_K V=n$ e $phi:VtimesV->K$ una forma bilineare simmetrica.
$Rad(phi)={0_V} =>$ esiste una base ortogonale formata da vettori non isotropi
per ipotesi ...
Salve,l'esercizio in questione è il seguente:
Ho banalmente verificato la presenza del vettore nullo,la chiusura rispetto alla somma e al prodotto e dunque che $W_1$ sia effettivamente un sottospazio di $ R^4 $.
Per trovare la base ho ragionato in questo modo, mettendo a sistema le due equazioni (in modo da sapere quali valori di $x_1,x_2,x_3,x_4$ bisogna assumere affinchè un vettore appartenga a $W_1$) ho ottenuto come risultato:
$ { ( x_4 = -x_2/3 ),( x_1 = -x_2/3):} $
Ho notato ...
Buonasera ragazzi, vorrei una conferma della correttezza di tale esercizio, dato che non ci sono le soluzioni.
Esercizio: Indichiamo con M2(R) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti
reali. Sia Ak = $ [ ( 2k-5 , -2 ),( 1-k , k+1 ) ] $
e poniamo $ S = {Ak | k ∈ Z} $. Osserviamo che l’insieme S non è un sottospazio
vettoriale di M2(R).
(a) Determinare per quale valore di k ∈ Z la matrice Ak non ha rango 2.
Risposta: Semplice, basta scrivere una qualsiasi combinazione lineare e trovare ...
$[ K-\lambda^2M ] \Psi =0$ è ancora un "problema agli autovalori" se M è una matrice diagonale ma non è la matrice identità?
Se gli autovettori esistono (nel mio caso matrice K simmetrica, quindi si, esistono..) è possibile dimostrare le seguenti relazioni?
$ [ \Psi ]^{T} [ K ][ \Psi ]= [ I ]$
$ [ \Psi ]^{T} [ M ] [\Psi ]= [ I ]$
Si tratta di analisi modale...
Ciao! In questi giorni ho studiato i funzionali lineari, qui raccolgo alcuni esercizi su cui mi piacerebbe avere la vostra opinione!
i) Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita su $\mathbb{K}$ e sia $phi$ un funzionale lineare non nullo su $V$. Determinare la dimensione di \(\displaystyle \ker\phi \).
Siccome fissata una base $V$ è isomorfo a $\mathbb{K}^n$ per $n$ opportuno, risulta \(\displaystyle \phi: ...
Buonasera,
avrei bisogno di un metodo per risolvere questo tipo di esercizi, l'esempio in questione chiede:
La proiezione di $(1,1,-1,2)$ su $<(1,1,0,0),(1,0,1,0)>$
Il risultato è $(2/3, 4/3, −2/3,0)$
Grazie per l'aiuto!
Buongiorno,
sto leggendo il capitolo inerente alla matrice di cambiamento di base, una buona parte del capitolo l'ho capita, eccetto la parte finale dove ho qualche dubbio, vi riporto il mio blocco :
Dati:
$A,A'$ basi di uno spazio vettoriale $V$, dove:
$A=|v_1,...,v_n|, A'=|v'_1 ,...,v'_n|$.
Dire che $B$ contiene per colonne le coordinate dei vettori della nuova base $A'$ rispetto alla vecchia base $A$ è equivalente a scrivere ...
Buonasera mi trovo in difficoltà con il seguente esercizio assegnatomi:
Dati:
\(V=C\left[0,1\right]\) funzioni continue in [0,1]
\(W=\left\{pol\ gr\le1\right\}\) polinomi di grado minore o uguale a 1
\(v=e^x\)
Determinare il \(w∈W\) che approssima v.
Ho provato ad iniziarlo trovando una base di W ma poi mi sono bloccato notando che V ha dimensione infinita.
Salve a tutti,
sto cercando questo teorema "caratterizzazione dei sottospazi" ma ne sul libro ne su google riesco a trovarlo.
Qualcuno potrebbe dirmi se questo teorema ha anche un altro nome ed è per questo che non riesco a trovarlo oppure darmi l'enunciato?
Grazie mille!
Salve a tutti,
Sto cercando di capire il motivo per cui nell'espressione normalizzata del versore normale ad una curva sia presente un segno negativo sul valore $ x $ .
Prendiamo una curva $ Phi:[a,b]rarr mathbb(R) ^2 $ che abbia componenti $ Phi(t) = x((t),y(t)) $ ;
a questo punto per trovare il versore tangente alla curva bisogna fare la derivata di $ Phi(t) $ e normalizzare:
$ T = 1/(sqrt(x'(t)^2 + y'(t)^2))*( (x'(t)), (y'(t)) ) $
Per trovare il versore normale a questa curva bisogna fare la derivata seconda di ...
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