Trova l equazione cartesiana

[andreat86]

L esercizio mi chiede:
Trova l' equazione cartesiana di un piano ortogonale al vettore $v=(-1,2,-1)$. Quanti piani ortogonali a $v$ esistono?

Allora io ho risposto cosi:
Ogni piano nello spazio \( \mathbb{R^3} \) si rappresenta con un' equazione cartesiana:
$ax+by+cz=d$
dove almeno uno dei coefficienti $a,b,c$ non è nullo.
Ricordando che i coefficienti $a,b,c$ del vettore se ortogonale al piano identificano i coefficienti dell' equazione cartesiana del piano,quindi:
$v=(-1,2,-1)$
$a=-1$
$b=2$
$c=-1$
Quindi l' equazione del piano ortogonale al vettore $v$ è:
$-x+2y-z=d$

Poi quanti piani ortogonali a $v$ esistono?
se la domanda fosse stata invertita,ovvero quanti vettori ortogonali al piano esistono,avrei detto infiniti,ma in questo caso cosa è corretto dire?
Devo comunque rispondere infiniti piani tutti paralleli tra loro per tutta la lunghezza del vettore?

[otta96]

Di piani ortogonali ne esistono infiniti, e in effetti lo hai già dimostrato, perché hai trovato che l'insieme dei piani è ${-x+2y-z=d:d\inRR}$ quindi per ogni $d$ reale c'è un piano ortogonale a $v$, che sarebbero quelli che ottieni prendendone uno e traslarlo arbitrariamente nella direzione di $v$.

[andreat86]

perfetto grazie