Trovare un isomorfismo.
Buonasera a tutti,
Il seguente esercizio è diviso in diversi punti. Ho riportato solo il punto che non mi è monto chiaro .
Comunque vi riporto il testo
Rispetto alla base canonica $ mathfrak{B} $ di $ \mathbb{R^3} $ sono assegnati l'endomorfismo $f$ di $ \mathbb{R^3} $ individuato dalla matrice
ed i vettori \(\displaystyle \mathbf{u}=(1,-2,k), \mathbf{v}=(1,0,2), \mathbf{w}=(0,1,0) \).
Per \(\displaystyle k=0\) e considerati i sottospazi vettoriali
trovare un isomorfismo \(\displaystyle g :U \to V \)
Il mio ragionamento è il seguente,
prendo il vettore \(\displaystyle \mathbf{u} \in U \) il vettore immagine \(\displaystyle g(\mathbf{u})\in V \) \(\displaystyle \Leftrightarrow g(\mathbf{u})=xf(\mathbf{e_1} )+yf(\mathbf{e_2}) +z f(\mathbf{e_3} ) \). Ovviamente qualora fosse corretta la precedente relazione va ripetuta per i rimanenti vettori dello spazio vettoriale \(\displaystyle U\).
Spero nella buona fede di qualcuno grazie.
Il seguente esercizio è diviso in diversi punti. Ho riportato solo il punto che non mi è monto chiaro .
Comunque vi riporto il testo
Rispetto alla base canonica $ mathfrak{B} $ di $ \mathbb{R^3} $ sono assegnati l'endomorfismo $f$ di $ \mathbb{R^3} $ individuato dalla matrice
\(\displaystyle A = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} \)
ed i vettori \(\displaystyle \mathbf{u}=(1,-2,k), \mathbf{v}=(1,0,2), \mathbf{w}=(0,1,0) \).
Per \(\displaystyle k=0\) e considerati i sottospazi vettoriali
\(\displaystyle U=L(\mathbf{u},\mathbf{v}, \mathbf{w}\)) , \(\displaystyle L=(f(\mathbf{e_1},f(\mathbf{e_2}), \mathbf{e_3} ) \)
trovare un isomorfismo \(\displaystyle g :U \to V \)
Il mio ragionamento è il seguente,
prendo il vettore \(\displaystyle \mathbf{u} \in U \) il vettore immagine \(\displaystyle g(\mathbf{u})\in V \) \(\displaystyle \Leftrightarrow g(\mathbf{u})=xf(\mathbf{e_1} )+yf(\mathbf{e_2}) +z f(\mathbf{e_3} ) \). Ovviamente qualora fosse corretta la precedente relazione va ripetuta per i rimanenti vettori dello spazio vettoriale \(\displaystyle U\).
Spero nella buona fede di qualcuno grazie.
Risposte
considerando che sia $U$ che $V$ sono isomorfi a $RR^3$ mediante l'isomorfismo delle coordinate hai
$C_U:RR^3->U$ e $C_V:RR^3->V$ considerando $C_(U)^(-1):U->RR^3$ si ha $G:=(C_VcircC_(U)^(-1)):U->RR^3->V$ isomorfismo fissate le basi opportune di $U,V$ avresti
$u=sum_(k=1)^(3)lambda_ku_k|->(lambda_1,lambda_2,lambda_3)|->sum_(k=1)^(3)lambda_kv_k=v$
nel tuo sarebbe $vec(x)=a_1v+a_2w+a_3u|->(a_1,a_2,a_3)|->a_1f(v)+a_2f(w)+a_3f(u)=vec(y)$
ma ho una domanda: l'endormosfimo ti serve solo per calcolare $f(v),f(w),f(u)$?
in genere dati due spazi vettoriali della stessa dimensione, l'applicazione:
$T:V->W$ definita come $T(sum_(k=1)^(n)x_kvec(v_k))=sum_(k=1)^(n)x_kvec(w_k)$ dove quei vettori formano delle basi per $V,W$
è un isomorfismo tale che $T(v_j)=w_j,forall j=1,..,n$
$C_U:RR^3->U$ e $C_V:RR^3->V$ considerando $C_(U)^(-1):U->RR^3$ si ha $G:=(C_VcircC_(U)^(-1)):U->RR^3->V$ isomorfismo fissate le basi opportune di $U,V$ avresti
$u=sum_(k=1)^(3)lambda_ku_k|->(lambda_1,lambda_2,lambda_3)|->sum_(k=1)^(3)lambda_kv_k=v$
nel tuo sarebbe $vec(x)=a_1v+a_2w+a_3u|->(a_1,a_2,a_3)|->a_1f(v)+a_2f(w)+a_3f(u)=vec(y)$
ma ho una domanda: l'endormosfimo ti serve solo per calcolare $f(v),f(w),f(u)$?
in genere dati due spazi vettoriali della stessa dimensione, l'applicazione:
$T:V->W$ definita come $T(sum_(k=1)^(n)x_kvec(v_k))=sum_(k=1)^(n)x_kvec(w_k)$ dove quei vettori formano delle basi per $V,W$
è un isomorfismo tale che $T(v_j)=w_j,forall j=1,..,n$
Ciao Anto_zoolander,
innanzitutto grazie per la risposta, inoltre scusami se ti rispondo ora ma ho avuto problemi con il pc, di cui non ho risolto del tutto.
Riprendendo l'esercizio, ho notato che nel riportare il testo ho, commesso un errore di battitura, di cui ho corretto.
Ora non so se la risposta che mi hai dato può essere corretta oppure no.
Comunque il mio modo di procedere per lo svolgimento è il seguente:
$ ** $ Considerati due spazi vettoriali $V_n$ e $V_m$ e fissati in essi due riferimenti $R$ e $R'$ per ogni applicazione lineare $g$ è univocamente determinata la matrice $A_g$ di ordine $(n,n)$ assocciata a $g$.
Quindi seguendo questo principio, mi basta calcolare la matrice associata all'applicazione lineare.
P.s. l'errore di battitura era nel sottospazio $L$
E' corretto oppure no ?
Grazie per la risposta
innanzitutto grazie per la risposta, inoltre scusami se ti rispondo ora ma ho avuto problemi con il pc, di cui non ho risolto del tutto.
Riprendendo l'esercizio, ho notato che nel riportare il testo ho, commesso un errore di battitura, di cui ho corretto.
Ora non so se la risposta che mi hai dato può essere corretta oppure no.
Comunque il mio modo di procedere per lo svolgimento è il seguente:
$ ** $ Considerati due spazi vettoriali $V_n$ e $V_m$ e fissati in essi due riferimenti $R$ e $R'$ per ogni applicazione lineare $g$ è univocamente determinata la matrice $A_g$ di ordine $(n,n)$ assocciata a $g$.
Quindi seguendo questo principio, mi basta calcolare la matrice associata all'applicazione lineare.
P.s. l'errore di battitura era nel sottospazio $L$
E' corretto oppure no ?
Grazie per la risposta
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