Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti!! Torno dopo un paio di giorni di astinenza Ho una domanda per completare questa dimostrazione.
Sia \(\displaystyle L:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \) un'applicazione lineare tale che \(\displaystyle L\ne O \) e tale che \(\displaystyle L^2=L\circ L=O \). Mostrare che esiste una base \(\displaystyle \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} \) di \(\displaystyle \mathbb{R}^2 \) tale che \(\displaystyle L(\mathbf{v})=\mathbf{w} \) e \(\displaystyle L(\mathbf{w})=\mathbf{0} \).
Credo che ...
Ciao a tutti! Propongo un'ultima dimostrazione: sia $L$ un operatore su $V$ tale che $L^2=L$. Mostrare che \[\displaystyle V=\Im L \oplus\ker L \] Osservo che il vettore generico di $V$ può essere scritto come \(\displaystyle \mathbf{v}=\mathbf{v}-L(\mathbf{v})+L(\mathbf{v}) \). Il vettore \(\displaystyle \mathbf{w}=\mathbf{v}-L(\mathbf{v}) \) appartiene al nucleo dell'applicazione: infatti \(\displaystyle ...
Domanda credo molto semplice ma a cui non riesco a trovare una soluzione.
Voglio scrivere l'equazione della superficie in $ R^3 $ del triangolo delimitato dalla retta $ z = -1/3x + 1/3 $ e dai due assi delle $x$ e delle $z$. (fondamentalmente è un triangolo sul piano $xz$). Come posso scrivere l'equazione di questa superficie? E' chiaro che la coordinata $ y $ sarà zero ma quando vado a cercare di scrivere x ed y in funzione di due ...
Salve a tutti, ultimamente durante i miei studi sto incappando in alcune difficoltà sul riconoscimento e la parametrizzazione di quadriche e superfici un po' meno "standard". Ad esempio:
$ {(x,y,z) in R^3 : x^2 + yz = 15, y^2 + z^2<= 18} $
Ora in questo caso sono riuscito a riconoscere che la seconda equazione (essendo standard) indica un cilindro "infinito" con asse sulle $ x $. A questo punto la prima difficoltà che ho riscontrato è stato riconoscere cosa indicasse la prima equazione. Con l'aiuto di wolfram ho ...
Ciao a tutti! Vi propongo ancora un paio di dimostrazioni di tarda serata
i) Mostrare che ogni matrice quadrata può essere scritta in un unico modo come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica.
Allora, se $B$ è una matrice simmetrica, in particolare posso scrivere \(\displaystyle B=(A+A^T)/2 \): infatti \(\displaystyle B^T=(A+A^T)^T/2=(A+A^T)/2=B \).
Voglio trovare $C$ antisimmetrica tale che \(\displaystyle A=(A+A^T)/2+C \); a tal fine ...
Ciao,
Non ho chiara questa definizione di indipendenza lineare tra vettori:
L' indipendenza lineare di un insieme di vettori si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri.
Io conosco la definizione secondo cui i vettori si dicono linearmente indipendenti quando l'unica combinazione lineare che genera il vettore nullo è quella in cui i coefficienti dei vettori sono tutti nulli.
Come si possono collegare queste due definizioni?
Grazie.
Perché $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m $ e $\mathbb{P}^{n+m}$ non sono isomorfo come varietà?
Grazie
Buongiorno, sono nuovo del forum e sto studiando una costruzione piuttosto avanzata in topologia (la plus construction di Quillen - fonte Hatcher) ma che contiene nella conclusione un esempio che dovrebbe essere semplice ma di cui mi sfugge la motivazione. In sostanza si dice che uno spazio topologico $X=S^1VS^1$ che ha come gruppo fondamentale $pi_1=ZXZ$ deve avere il gruppo di omologia $H_2$ non banale. Perché $H_2$ è non banale? Spero di non aver posto ...
Salve, ho sostenuto da poco la prova scritta di geometria 2 e mi chiedevo come andasse risolta una parte del compito. Ecco l'esercizio:
Si munisca l'insieme R^2 della topologia A una cui base è costituita dai seguenti sottoinsiemi B={Cb,Qa} al variare di a, b reali positivi, con
Cb=C(0,b) intersecato R^2\I dove I={(x,y):x,y>0}
Qa=]0,a[x]0,a[
Si studino le proprietà topologica dell'insieme.
Se non ho capito male la topologia A è formata dal vuoto, da R^2, e da tutte le possibili unioni di ...
Buongiorno. Devo fare questa operazione
$ theta_1*[ ( 1 ),( 1 ) ]+theta_2*[ ( 12 ),( 8 ) ] $
conosco il valore di $ theta_2=theta_1/(10*(1+r))$
e non capisco come scriverla in questo modo: $ theta_1*[ ( 1 -(12)/(10(1+r))),( 1 -(8)/(10(1+r)))] $, dovrei mettere $ theta_1$ in evidenza ma non riesco a ricavarla. Mi potete aiutare per favore? Perdonatemi per l'ignoranza.
Ciao a tutti ! Ho un problema a capire come arrivare a una formula.
Datu un ellisse si semiassi a (maggiore) e b (minore), viene definita l'anomalia eccentrica $ \phi $ come in figura
Poi il libro dice che dalla figura segue immediatamente $ \cos\theta=(\cos\phi-e)/(1-e\cos\phi), \qquad \sin\theta=(a\sqrt(1-e^2))/r *\sin\phi $
ove $ e $ è l'eccentricità dell'ellisse, mentre $ r $ è la distanza tra il fuoco $ T $ ed il punto $ S $ Mi aiutate a capire come si arriva a queste formule?
Io ...
Ciao! Stasera mi accingo a dimostrare il seguente fatto: dati $U$ e $W$ sottospazi di $V$, si ha \[\displaystyle \dim U+\dim W=\dim(U+W)+\dim(U\cap W) \] Allora questo è quello che ho fatto: considero dapprima l'applicazione \(\displaystyle L:U\times W \rightarrow V \) tale che \(\displaystyle L((\mathbf{u},\mathbf{w}))=\mathbf{u}-\mathbf{w} \).
$L$ è lineare poiché \(\displaystyle L((\alpha\mathbf{u}, ...
Salve. Ho questa piccola curiosità riguardante la tecnica per risolvere un sistema di equazioni lineari con la matrice dei coefficienti rettangolare, quindi con un numero di equazioni maggiore del numero di incognite. Se indichiamo con:
$A$ una matrice rettangolare di dimensione $m$ x $n$ (con $m>n$);
$A'$ la trasposta di $A$;
$b$ un vettore di dimensione $n$x$1$.
Assumiamo ...
Salve ragazzi! Ho un problema sulla comprensione di un esercizio, il libro su cui sto studiando mi propone una soluzione che non riesco a comprendere, moltiplicando due matrici, in posizione a11 dovrebbe risultare -3+2i
-moltiplicando le righe della matrice A con le colonne della matrice B risulta l'espressione [(1+i)i+(2-i)(-1)]
-nella nuova matrice, secondo il testo, dovrebbe risultare in posizione a11 -3+2i
non riesco a capire come sia possibile, addirittura mi risulta una potenza di i ...
Avrei un dubbio veloce in geometria algebrica.
Se due curve $C_1$ e $C_2$ sono birazionalmente equivalenti e $C_1$ è irriducibile, posso affermare che anche $C_2$ è irriducibile?
Buonasera, devo dimostrare che:
\(A=\left\{\left(ax^2+bx+c\right)∈R_2\left[x\right]:2a+3b=0\right\}\)
è uno spazio vettoriale.
Mi è facile dimostrarlo per i polinomi di grado 2 a coefficienti reali (l'insieme sarebbe chiuso sia per la somma interna sia per il prodotto esterno), invece, con la seconda condizione non so come comportarmi.
(In generale mi trovo in difficoltà a dimostrare qualcosa mentre mi riesce meglio dimostrare con un controesempio la non validità di qualcosa.)
Ciao! Ho un nuovo paio di dimostrazioni notturne da sottoporvi!
Se $A$ e $B$ sono due matrici quadrate qualsiasi, allora \(\displaystyle \text{tr}\ AB=\text{tr}\ BA \): \[\displaystyle \text{tr}\ AB=\sum_{k=1}^n\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{rk}=\sum_{r=1}^n\sum_{k=1}^n b_{rk}a_{kr}=\text{tr}\ BA.\] Nel secondo passaggio uso la definizione di moltiplicazione di matrici: \(\displaystyle c_{ki}=\sum_{r=1}^n a_{kr}b_{ri} \) nel caso particolare \(\displaystyle k=i \). ...
Ciao a tutti! Apro un argomento sulle prime dimostrazioncine che svolgo sulle applicazioni lineari, così magari qualcuno può darmi un parere sulla loro correttezza.
Sia $L: VrarrU$ un'applicazione lineare. Mostrare che:
i) \(\displaystyle L(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_U \): supponiamo per assurdo che \(\displaystyle L(\mathbf{0}_V)=\mathbf{u}\ne\mathbf{0}_U\). Allora \(\displaystyle \forall\alpha,\beta\in K \) \[\displaystyle L(\alpha\mathbf{0}_V)=L(\mathbf{0}_V)=\alpha\mathbf{u}, \ ...
Ciao a tutti, nel familiarizzarmi con nuclei e immagini mi sono imbattuto nei seguenti esercizi a cui mi piacerebbe deste uno sguardo.
i) Siano \(\displaystyle \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbb{R}^2 \) linearmente indipendenti e \(\displaystyle L:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^n\). Mostrare che o \(\displaystyle L(\mathbf{v}), L(\mathbf{w}) \) sono l.i., o l'immagine di \(\displaystyle L \) ha al più dimensione $1$.
Supponiamo \(\displaystyle L(\mathbf{v}), L(\mathbf{w}) \) ...
Sia \(\displaystyle V=\mathbb{R}^2 \), $W$ il sottospazio generato da $(2,1)$ e $U$ quello generato da $(0,1)$. Mostrare che \(\displaystyle \mathbb{R}^2=U\oplus W \). Mostrare inoltre che \(\displaystyle \mathbb{R}^2=U'\oplus W \) se \(\displaystyle U' \) è generato da \(\displaystyle (1,1) \).
Intanto è chiaro che \(\displaystyle (2,1) \) è l.i. rispetto agli altri due vettori, quindi \(\displaystyle U\cap W=U'\cap W=\mathbf{0} \). Inoltre il ...
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