Base ortogonale del nucleo

[Beatrice filippelli]

Allora sia data la funzione lineare f(x)=a x X
a=
(1)
(-1)
(2)


La matrice sarà
(0 -2 -1)
(2 0 -1)
(1 1 0)

Dopo aver calcolato le basi ortogonali all’immagine
(0)
(2)
(1)
e
(5)
(1)
(-2)
chiede di calcolare la base ortogonale al nucleo, allora ho ridotto a scala la matrice aggiungendo la colonna dei termini noti
(1 1 0|0)
(0 -2 -1|0)
(0 0 0|0)

Ho fatto un sistema
x=-y
z=-2y

y è un parametro libero allora la base viene
(-1)
(1)
(-2)

Però il risultato è
(-1)
(1)
(1)

Qualcuno può dirmi dove ho sbagliato? Perché la z è diversa?

[Magma1]

"Beatrice filippelli":Allora sia data la funzione lineare f(x)=a x X
a=
(1)
(-1)
(2)

Non capisco quale sia la legge di $f$, potresti scrivere le formule racchiuse da un "dollaro" all'inizio e uno alla fine?

In ogni caso, probabilmente avrai ridotto male la matrice di partenza.

P.S. una matrice $3xx3$ si scrive, in modo leggibile, in questo modo

$ ((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)) $

e questo è quello che si legge (senza il tag "code"):

$ ((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i)) $

[Beatrice filippelli]

Allora sia data la funzione lineare f(x)=a x x (prodotto vettoriale tra a e x)
a=
$ ( (1), (-1), (2) ) $


La matrice sarà
$ ( (0, -2, -1), (2, 0, -1), (1, 1, 0) ) $

Dopo aver calcolato le basi ortogonali all’immagine
$ ( (0) , (2), (1) ) $
e
$ ( (5), (1), (-2) ) $
chiede di calcolare la base ortogonale al nucleo, allora ho ridotto a scala la matrice aggiungendo la colonna dei termini noti
$ ( (1, 1, 0|0), (0, -2, -1|0), (0, 0, 0|0) ) $

Ho fatto un sistema
x=-y
z=-2y

y è un parametro libero allora la base viene
$ ( (-1), (1), (-2) ) $

Però il risultato è
$ ( (-1), (1), (1) ) $

Qualcuno può dirmi dove ho sbagliato? Perché la z è diversa?

[ČrniMuc]

Che strano... allora, l'immagine dovrebbe essere data dalle prime due colonne della matrice che hai trovato. Poi applichi Gram-Schmidt e ok torna, stesso risultato tuo.
Per il nucleo anche secondo me hai fatto giusto, e, a parte calcolando il nucleo esplicitamente, beh, è un prodotto vettoriale, quindi ti va a 0 sse i due vettori sono allineati, quindi sse la $ x $ è un multiplo di $ a $.
Quindi, il vettore $a$ (o $-a$ ) è già una base del nucleo che stai cercando, ed è già ortogonale agli altri due (perché gli altri due vettori fanno parte dell'immagine, cioè sono risultato del prodotto scalare, e sono automaticamente già perpendicolari ad $a$ quindi).
Il $(-1,1,1)$ del risultato che hai trovato nelle soluzioni invece non è neanche nel nucleo, $(1,-1,2)^^(-1,1,1)=(-3,-3,0)$. E infatti non è allineato con $a$. Quindi penso che sia un errore di stampa

[Magma1]

"ČrniMuc":
Il $(-1,1,1)$ del risultato che hai trovato nelle soluzioni invece non è neanche nel nucleo,(

Per avere un riscontro basta fare una semplice verifica

$ ( (0, -2, -1), (2, 0, -1), (1, 1, 0) ) ((-1),(1),(1)) $

se tale prodotto riga per colonna non è uguale a zero, allora il vettore non appartiene al ker; ovvero si tratta di un errore di stampa.

[Beatrice filippelli]

Graziee