Da vettori ad equazione cartesiana

[Zuss]

Buonasera,

mi sono trovato un grandissimo grattacapo poiché su questo argomento non trovo tanta teoria.
L'esercizio è il seguente:

. Si considerino i seguenti vettori in R^3:

\(v1 = \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\3\end{pmatrix}\) \(v2 = \begin{pmatrix} -1\\1\\1 \end{pmatrix}\) \(v3 = \begin{pmatrix} 1\\5\\7\end{pmatrix}\)

Sia W = . Si determini una base di W, e si calcoli la dimensione di W e si descriva W tramite
equazioni.

Allora, per il primo punto, dico che non è base poiché i vettori non sono linearmente indipendenti. Allora l'ho completata aggiungendo il vettore:

\(v3 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}\)

Che la rende una base. Per la dimensione, essendo una matrice 3x3, la sua dimensione è 3.

Il problema è l'equazione cartesiana: da quello che ho cercato su vari siti, ciò che devo fare è impostare la seguente matrice:

\begin{pmatrix} 1&-1&1&x\\ 2&1&0&y \\3&1&0&z \end{pmatrix}\

E devo rendere l'ultima riga piena di 0. Il problema è che riducendola mi ritrovo in:

\begin{pmatrix} 3&1&0&z\\ 0&4&-3&-3x+z \\0&0&-3&-12y-3x+9z \end{pmatrix}\

E non posso renderla tutta 0 l'ultima riga perché c'è quel 4 in mezzo. Come dovrei procedere?

[anto_zoolander]

L’errore sta nel fatto che $W= <>$

1) quella matrice ha rango massimo, quindi puoi provare in tutti modi possibili e immaginabili ma non puoi annullare nessuna riga.

2) quella matrice che hai scritto ha quattro vettori colonna in ballo, non pensi siano un po’ troppi visto che $W$ ha dimensione due?

[Zuss]

"anto_zoolander":L’errore sta nel fatto che $W= <>$

1) quella matrice ha rango massimo, quindi puoi provare in tutti modi possibili e immaginabili ma non puoi annullare nessuna riga.

2) quella matrice che hai scritto ha quattro vettori colonna in ballo, non pensi siano un po’ troppi visto che $W$ ha dimensione due?

[strike]Ma non devo considerare i 3 vettori visto che sono in R^3?[/strike]

Ok, niente, sono fuso. Ho confuso R^3 con K^3. Allora, visto che ho W composto da , escludo il terzo visto che non è indipende, e v1 e v2 formano una base.

Da lì imposto la matrice, vero?

Posto risoluzione:

\begin{pmatrix}1&-1&x\\ 2&1&y \\3&1&z \end{pmatrix}

\begin{pmatrix}3&1&z\\ 0&-4&-12y+8z \\0&0&-3x-12y+8z \end{pmatrix}

L'equazione cartesiana dovrebbe essere 3x+12y-8z=0 vero?

[anto_zoolander]

Tutto bene fino alla fine. Se guardi il vettore colonna $((1,5,3))^t$ non è soluzione di quella equazione.
Imporre che il rango sia due, significa imporre che il determinante sia...?

[Zuss]

"anto_zoolander":Tutto bene fino alla fine. Se guardi il vettore colonna $((1,5,3))^t$ non è soluzione di quella equazione.
Imporre che il rango sia due, significa imporre che il determinante sia...?

Sinceramente non saprei perché ancora fin qui (in queste pagine di esercizi) il determinante non viene tirato in ballo..

[anto_zoolander]

Diciamo che ci sono vari modi.
L’idea del determinante è efficace perché di fatto quella matrice deve esprimere una relazione di dipendenza lineare tra quei tre vettori. In particolare vogliamo che il rango sia $2$ e per far questo puoi imporre che la matrice abbia determinante nullo, da cui ti ricaverai la tua equazione cartesiana.

[Zuss]

"anto_zoolander":Diciamo che ci sono vari modi.
L’idea del determinante è efficace perché di fatto quella matrice deve esprimere una relazione di dipendenza lineare tra quei tre vettori. In particolare vogliamo che il rango sia $2$ e per far questo puoi imporre che la matrice abbia determinante nullo, da cui ti ricaverai la tua equazione cartesiana.

Ma mi torna sempre 3x+12y-8z=0...

Mi viene 3*-4*(-3x-12y+8z)=0 (seguendo la regola di Sarrus) che è uguale a 36x+144y-96z=0, riduco e mi torna sempre quella

[anto_zoolander]

Con Sarrus

$(z-3y+2x)-(3x+y-2z)=0$

$-x-4y+3z=0$

Come lo fai questo determinante?

[Zuss]

"anto_zoolander":Con Sarrus

$(z-3y+2x)-(3x+y-2z)=0$

$-x-4y+3z=0$

Come lo fai questo determinante?

...l'ho calcolata con la matrice ridotta. Ora torna visto che dovevo usare la matrice non ridotta.

Ma se non volessi utilizzare il determinante quale sarebbe stato il procedimento?