Dubbio sulle matrici di passaggio

[SimonePietroCarrozza]

Salve a tutti!
Mi sono trovato davanti il seguente esercizio:
Date le basi $B={(1, 2, 0), (2, 1, 0), (1, 1, 1)}$ e $B'={(1, 1, 0), (2, 0, 1), (0, 0, 2)}$ si trovi la matrice di passaggio da $B$ a $B'$.
Una volta svolto, ho provato a verificare se quello che ho fatto è giusto, ma i conti non tornano... potete aiutarmi a capire dove sbaglio?

Il generico vettore appartenente a $B'$ sarà $(a+2b, a, b+2c)$.
Scrivo quindi ciascun vettore di $B$ rispetto a $B'$ svolgendo i seguenti sistemi
$\{(a+2b=1),(a=2),(b+2c=0):}$

$\{(a+2b=2),(a=1),(b+2c=0):}$

$\{(a+2b=1),(a=1),(b+2c=1):}$

ottenendo la matrice di passaggio

$((2, 1, 1),((-1)/2, 1/2, 0),(1/4, (-1)/4, 1/2))$

Come verifica ho provato a moltiplicare la matrice $((2, 1, 1),((-1)/2, 1/2, 0),(1/4, (-1)/4, 1/2))$ per il vettore $(1, 2, 0)$ ma ciò che ottengo non è nessuno dei tre generatori di $B'$, dov'è che sbaglio?

$((2, 1, 1),((-1)/2, 1/2, 0),(1/4, (-1)/4, 1/2))$ $((1), (2), (0))$ $=$ $((2*1+1*2+1*0), (-1/2 *1 + 2*1/2 + 0*0), (1/4 *1 + (-1/4)*2 + (1/2 *0)))$ $=$ $((4), (1/2), ((-1)/4))$

[billyballo2123]

Sbagli perché la matrice che hai trovato esegue il passaggio dalle coordinate della base $B$ a quelle della base $B'$, quindi devi dare in pasto alla matrice dei vettori espressi mediante le coordinate di $B$. Il vettore che nella base canonica si scrive $(1 \ \ 2 \ \ 0)^T$, nella base $B$ si scrive $(1 \ \ 0 \ \0)^T$, e nella base $B'$ diventa $(2 \ \ -1/2 \ \ 1/4)^T$ (che ottieni applicando la matrice a $(1 \ \ 0 \ \ 0)^T$).

[SimonePietroCarrozza]

Molto chiaro, grazie mille per la risposta!

[billyballo2123]

figurati