Forme bilineari

[anto_zoolander]

Ciao,
Ho ripreso una vecchia dimostrazione e l'ho rifatta in un altro modo che mi piace di più.

data una forma $phi:VtimesV->K$ che sia bilineare(simmetrica o anti simmetrica).
Con $dimV=n,dimW=m$

se $WleqV$ allora $dimVleqdimW+dimW_(o r t)$
se $V$ non ha vettori isotropi allora vale l'uguaglianza
se $W$ non ha vettori isotropi in $W$ stesso allora $V=WoplusW_(o r t)$

ho cominciato prendendo una base ortogonale di $W$ per il $phi_(WtimesW)$ e completandola a base $V$ ottengo una base del tipo $B={w_1,...,w_m,v_(m+1),...,v_n}$ e ho definito questa applicazione

$L:V->K^m$ definita come $L(v)=(phi(v,w_1),...,phi(v,w_m))=sum_(k=1)^(m)phi(v,w_k)e_k$

è lineare

- $L(v+w)=sum_(k=1)^(m)phi(v+w,w_k)e_k=sum_(k=1)^(m)phi(v,w_k)e_k+sum_(k=1)^(m)phi(w,w_k)e_k=L(v)+L(w)$

- $L(lambdav)=sum_(k=1)^(m)phi(lambdav,w_k)e_k=lambdasum_(k=1)^(m)phi(v,w_k)e_k=lambdaL(v)$

dunque vale la relazione dimensionale $dimV=dimL(V)+dimKer(L)$ ma possiamo notare due cose
1. [size=85]$Ker(L)={v inV:L(v)=vec(0)}={v inV:sum_(k=1)^(m)phi(v,w_k)e_k=vec(0)}={v inV:phi(v,w_k)=0,forallk inI_m}=W_(o r t)$[/size]

2. $L(V)=$ da cui $dimL(V)leqm$

pertanto $dimV=dimKer(L)+dimL(V)leqdimW_(o r t)+dimW$

in particolare se $V$ non ha vettori isotropi, allora $L(w_1),...,L(w_m)$ sono linearmente indipendenti e pertanto la dimensione è esattamente $m$, dovuto al fatto che:

$0=sum_(k=1)^(m)a_kL(w_k)=sum_(k=1)^(m)sum_(j=1)^(m)a_kphi(w_k,w_j)e_j=sum_(k=1)^(m)a_kphi(w_k,w_k)e_k$

dovendo essere $a_kphi(w_k,w_k)=0,forallk=1,..,m$ con $w_k$ isotropo, deve essere $a_1=a_2=...=a_m$

in particolare(2) se $W$ non ha vettori isotropi in $W$ stesso, vale a dire che $phi_(WtimesW)$ sia non degenere, allora otteniamo che $dim(W+W_(o r t))=dimW+dimW_(o r t)- dim(WcapW_(o r t))$
Chiaramente ancora vale $dimV=dimW+dimW_(o r t)$ poichè $w_1,...,w_m$ sono sempre isotropi

con questo 'plus' si ottiene che $dim(WcapW_(o r t))=0$ di fatto

$w inWcapW_(o r t) => w=sum_(k=1)^(m)a_kw_kwedge phi(sum_(k=1)^(m)a_kw_k,w_j)=0,forallj=1,..,m$
$phi(sum_(k=1)^(m)a_kw_k,w_j)=a_j*phi(w_j,w_j)=0=> a_j=0,forallj=1,...,m =>w=0$

Come vi sembra?

[killing_buddha]

Stai dicendo che una forma bilineare senza vettori isotropi è non degenere, questo mi sembra falso. Devi prendere phi non degenere all'inizio e tutto funziona.

[anto_zoolander]

Hai ragione, intendevo proprio quello, non degenere.
Ma non ha senso creare un post tutto corretto!