Integrale con i tagli
Buonasera a tutti, avrei un problema da risolvere relativo agli integrali con i tagli (Analisi Complessa). Vi posto il testo e la mia soluzione. Ho utilizzato il metodo dei residui ma non sono sicura che sia giusto perché il risultato non torna come quello dato dal testo.
Il problema richiedeva di scegliere opportunamente la posizione del taglio per la funzione radice quarta per verificare il seguente integrale:
\begin{align*}
\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{x}\left(x+1 \right)} dx &= \pi \sqrt{2}\\
\sqrt[4]{x} &=u\\
dx &=4u^3 du \\
\int_0^{+\infty}\frac{4u^2}{u^4+1} dx\\
u_{1} &= \frac{-1-i}{\sqrt{2}}\\
u_{2} &= \frac{1+i}{\sqrt{2}}\\
u_{3} &= \frac{1-i}{\sqrt{2}}\\
u_{4} &= \frac{-1+i}{\sqrt{2}}\\
Res(u_{2}) &= \frac{(1+i)\sqrt{2}}{2i}\\
Res(u_{4}) &= \frac{(i-1)\sqrt{2}}{2i}\\
I &=\pi i\sqrt{2}\\
\end{align*}
Il risultato del testo dice che l'integrale deve tornare \pi \sqrt{2} mentre a me torna i\pi \sqrt{2}, ovvero c'è l'unità immaginaria di troppo.
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi
Il problema richiedeva di scegliere opportunamente la posizione del taglio per la funzione radice quarta per verificare il seguente integrale:
\begin{align*}
\int_0^{+\infty}\frac{1}{\sqrt[4]{x}\left(x+1 \right)} dx &= \pi \sqrt{2}\\
\sqrt[4]{x} &=u\\
dx &=4u^3 du \\
\int_0^{+\infty}\frac{4u^2}{u^4+1} dx\\
u_{1} &= \frac{-1-i}{\sqrt{2}}\\
u_{2} &= \frac{1+i}{\sqrt{2}}\\
u_{3} &= \frac{1-i}{\sqrt{2}}\\
u_{4} &= \frac{-1+i}{\sqrt{2}}\\
Res(u_{2}) &= \frac{(1+i)\sqrt{2}}{2i}\\
Res(u_{4}) &= \frac{(i-1)\sqrt{2}}{2i}\\
I &=\pi i\sqrt{2}\\
\end{align*}
Il risultato del testo dice che l'integrale deve tornare \pi \sqrt{2} mentre a me torna i\pi \sqrt{2}, ovvero c'è l'unità immaginaria di troppo.
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi
Risposte
Ciao Leila01,
Benvenuta sul forum!
L'integrale proposto è già stato diffusamente trattato sul forum, ad esempio qui, per cui in effetti posso confermarti che il risultato corretto è $\pi \sqrt2 $, infatti si può dimostrare che si ha:
$ \int_0^{+\infty} x^{b - 1}/(x + 1) \text{d}x = \pi/sin(b\pi) $
per $0 < \text{Re} < 1 $
Ora nel caso in questione è $ b = 3/4 $, per cui si ha:
$ \int_0^{+\infty} x^{- 1/4}/(x + 1) \text{d}x = \pi/sin((3\pi)/4) = \pi/(1/\sqrt2) = \pi \sqrt2 $
Con la posizione che hai operato, l'integrale proposto in effetti diventa
$ \int_0^{+\infty}\frac{4u^2}{u^4+1} \text{d}u = 1/2 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{4u^2}{u^4+1} \text{d}u $
(occhio che hai scritto $ \text{d}x $ invece di $\text{d}u $) per cui da $u^4 + 1 = 0 $ si ottengono le $4$ soluzioni che hai scritto.
Però si ha:
$ \int_0^{+\infty}\frac{4u^2}{u^4+1} \text{d}u = 1/2 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{4u^2}{u^4+1} \text{d}u = \pi i {\text{Res}[f(u), u_2] + \text{Res}[f(u), u_4]} = $
$ = \pi i {(1 - i)/\sqrt2 - (1 + i)/\sqrt2} = \pi i {(- 2i)/\sqrt2} = \pi \sqrt2 $
Benvenuta sul forum!
L'integrale proposto è già stato diffusamente trattato sul forum, ad esempio qui, per cui in effetti posso confermarti che il risultato corretto è $\pi \sqrt2 $, infatti si può dimostrare che si ha:
$ \int_0^{+\infty} x^{b - 1}/(x + 1) \text{d}x = \pi/sin(b\pi) $
per $0 < \text{Re} < 1 $
Ora nel caso in questione è $ b = 3/4 $, per cui si ha:
$ \int_0^{+\infty} x^{- 1/4}/(x + 1) \text{d}x = \pi/sin((3\pi)/4) = \pi/(1/\sqrt2) = \pi \sqrt2 $
Con la posizione che hai operato, l'integrale proposto in effetti diventa
$ \int_0^{+\infty}\frac{4u^2}{u^4+1} \text{d}u = 1/2 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{4u^2}{u^4+1} \text{d}u $
(occhio che hai scritto $ \text{d}x $ invece di $\text{d}u $) per cui da $u^4 + 1 = 0 $ si ottengono le $4$ soluzioni che hai scritto.
Però si ha:
$ \int_0^{+\infty}\frac{4u^2}{u^4+1} \text{d}u = 1/2 \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{4u^2}{u^4+1} \text{d}u = \pi i {\text{Res}[f(u), u_2] + \text{Res}[f(u), u_4]} = $
$ = \pi i {(1 - i)/\sqrt2 - (1 + i)/\sqrt2} = \pi i {(- 2i)/\sqrt2} = \pi \sqrt2 $
Grazie della risposta sei stato gentilissimo. Però non capisco come hai calcolato i residui perché provando a rifare i conti continuano a non tornarmi come i tuoi.
Inoltre la formula iniziale in cui mi hai detto che l'integrale può essere uguagliato a pigreco/seno vale solo se al denominatore ho x+1 che moltiplica la radice?
Inoltre la formula iniziale in cui mi hai detto che l'integrale può essere uguagliato a pigreco/seno vale solo se al denominatore ho x+1 che moltiplica la radice?
"Leila01":
Grazie della risposta sei stato gentilissimo.
Prego!
"Leila01":
Però non capisco come hai calcolato i residui perché provando a rifare i conti continuano a non tornarmi come i tuoi.
Perché dici che non ti tornano come i miei? A me tornano come i tuoi...
Infatti, partendo dal residuo che hai calcolato:
$ \text{Res}(u_2) = \frac{(1+i)\sqrt2}{2i} = \frac{(1+i)\sqrt2 \cdot i}{2i \cdot i} = \frac{(i - 1)\sqrt2}{- 2} = \frac{1 - i}{\sqrt2} $
Che è quello che ho scritto io...
"Leila01":
Inoltre la formula iniziale in cui mi hai detto che l'integrale può essere uguagliato a pigreco/seno vale solo se al denominatore ho x+1 che moltiplica la radice?
Ci sono molti modi di dimostrare e generalizzare quella formula, potresti dare un'occhiata ad esempio qui oppure qui:
https://math.stackexchange.com/questions/110457/closed-form-for-int-0-infty-fracxn1-xmdx
Perfetto! Grazie mille
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