Analisi superiore

Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto per risolvere un esercizio con la delta di Dirac. Il problema chiede di calcolare la densità degli stati $G(epsilon)$ data una certa Hamiltoniana bidimensionale $H(\vec{q},\vec{p})=\frac{|\vec{p}|^2}{2m}+V(|\vec{q}|)$ dove $V(|\vec{q}|)=V_0$ per $|\vec{q}|\leq R$ e $V(|\vec{q}|)=\frac{V_0|\vec{q}|^2}{R^2}$ per $|\vec{q}|> R$. $V_0$,$m$ e $R$ sono tutte costanti strettamente positive. La $G(epsilon)$ si calcola come $G(epsilon) = \int \frac{d\vec{q}d\vec{p}}{h^2}delta(H(\vec{q},\vec{p})-epsilon)$. Ora, dato che il problema è a ...

Salve, non riesco a trovare la dimostrazione della proposizione al punto 2 (Immagine in allegato) Si tratta, nelle ipotesi iniziali di un intervallo I di R, e di uno spazio normato Y. Con V(f|[a,b]) indica la variazione totale della funzione sull'intervallo dato. Se qualcuno la conosce, gli sarei grato se la condividesse. Inoltre, l'esercizio, tratto dal De Marco, è inserito come una digressione di carattere generale a partire dal discorso sulla rettificazione delle curve. È di particolare ...

Salve a tutti. Stavo provando a risolvere il seguente esercizio: $\partial_t f(x,t) = -e^{-t}f(x,t)-t\partial_x f(x,t), x \in ]-\infty, \infty[$ e $f(x,0) = \frac{e^{-x^2}}{1+x^2}$ Per risolverlo sono passato in trasformata di Fourier come al solito ottenendo: $\frac{d}{dt}\hat{f}(k,t)= -e^{-t}\hat{f}(k,t)-t \hat{f}(k,t)ik$. Da cui, dopo un po' di semplici conti arrivo a: $$\hat{f}(k,t) = \hat{f}(k,0)e^{-1+e^{-t}-ik\frac{t^2}{2}}$$ Il problema sorge adesso poiché andando a calcolare $\hat{f}(k,0)$ ottengo: $$\hat{f}(k,0) = 1 / \sqrt{2\pi} \int ...

Salve a tutti. Sono qui per lo stesso tipo di esercizio dello scorso messaggio, forse stavolta leggermente più complicato anche se penso di avere una soluzione intuitiva, e vorrei che voi mi aiutaste a trovare una giustificazione di un passaggio , che come la scorsa volta continuo a non saper giustificare (sì tralasciando ovviamente il metodo super clever di sfruttare rotazioni e traslazioni utilizzato da Quinzio). Riporto di nuovo, siccome mi servono di nuovo: supponiamo di avere due ...

Salve a tutti, ho un problema con il seguente esercizio: Per un integrale mi è richiesto di calcolare il residuo in $z= 0$ della funzione $\frac{e^zsin(z)}{z(1-cos(z)}$ tramite serie di Laurent. Siccome mi serve il coefficiente $c_{-1}$ dello sviluppo ho pensato di sviluppare numeratore e denominatore come segue: $f(z) = \frac{(1+z+z^2/2 + ...)(z-z^3/6+z^5/ 120+...)}{z[1-(1-z^2/2 + z^4/12+...)]} $ raccogliendo e facendo alcuni semplici conti arrivo a $ 2 / z^2 \frac{(1+z+z^2/3+...)}{(1-z^2/12+...)}$ Come faccio a liberarmi del denominatore. La mia idea è di riuscire a trovare un ...

Salve a tutti, volevo mostrare (mi serve per un esercizio) che $lim_{b \to 0} \frac{1}{4b}H(x+b)-H(x-b) = 1 / 2 \delta(x)$, ove le notazioni sono chiare dall'header. Qui posto i miei conti, non credo siano giusti, però li posto comunque tanto tentar non nuoce: Per $x < 0$ il limite è proprio zero dalla definizione della funzione gradino. Per $x> 0$ è evidente che quell'espressione tende ad una forma indeterminata $[0 / 0]$. Fissato un $x \in ]0, \infty[$, le due funzioni diventano funzioni della variabile ...

Non voglio sembrare disperato, ma stavolta non ho la più pallida idea di come risolvere un esercizio: cioè credo di sapere come andrebbe risolto in teoria ma in pratica non saprei proprio, non è il solito esercizio cui sono abituato, credo ci sia qualche trucco per risolverlo facilmente (sì il professore ama mettere esercizi all'apparenza impossibili, ma con la giusta intuizione dovrebbero diventare facilissimi). Riporto l'esercizio uguale a com'è scritto: Data la funzione $P(x) = H(x)e^{-x}$, ...

Stavo risolvendo l'integrale: $I = int_{-infty}^{\infty}\frac{x}{2e^x + 3e^{-x}}dx$ Dopo pagine e pagine di conti sono arrivato alla seguente espressione (che so essere corretta per fortuna): $2I + \frac{i\pi^2}{2\sqrt(6)} = 2\pi i Res(f, z = i\pi/2 + 1/2log(3/2))$ Io ho provato a calcolare il residuo con la formula: $Res(f,a) = \frac{1}{(1/f(z))'|_{z = a}}$ Dopo una marea di calcoli non sono arrivato a nulla di accettabile. C'è per caso qualche altro modo per calcolare sto mostro (per favore non deludetemi ) oppure mi devo metter giù a testa bassa e rifare tutti i calcoli? Spero vivamente in una risposta ...

Vorrei avere alcune conferme su come ho risolto questo esercizio, e se possibile, una vostra versione della soluzione dell'esercizio. Data la PDE $\partial_t f(x,t) = \partial_{x x}^2f- \partial_xf-f$ con $x$ sulla retta ($x \in \RR$) e condizione iniziale $f(x,0) = \frac{e^{-x^2 / 2}}{\sqrt(2\pi)}$. Determinare l'espressione generale $f(x,t)$ Passo in trasformata di Fourier (da adesso in poi il coefficiente $1 / (\sqrt(2\pi))$ lo chiamerò $beta$ e ometto gli estremi di integrazione noti): $f(x,t) = \beta \int e^{ikx}\hat{f}(k,t)dk, \hat{f}(k,t) = \beta \int e^{-ikx'}f(x',t)dx'$. Saltando ...

Salve a tutti, mi servirebbe un aiuto con questo esercizio: Devo risolvere l'equazione $\partial_tf(x,t) = -e^{-t}\partial_xf(x,t), IC: f(x,0) = g(x) = e^{-x^2}, t \in [0,\infty[$ Sono passato in TdF ottenendo(ometto gli estremi di integrazione noti): $f(x,t) = 1/\sqrt{2\pi} \int \hat{f} (k,t)e^{ikx}dk$ ove $\hat{f}(k,t) = 1/\sqrt{2\pi} \int f(x,t)e^{-ikx}dx$ $d/dt\hat{f}(k,t) = -ike^{-t}\hat{f}(k,t)$ Da cui : $\hat{f}(k,t) = \hat{f}(k,0)e^{ik(e^{-t}-1)}$ Adesso ho che: $\hat{f}(k,0) = 1 / \sqrt(2\pi) \int f(x,0)e^{-ikx}dx = 1 / \sqrt(2\pi) \int e^{-x^2}e^{-ikx}dx$ Questo integrale l'ho svolto e se non ho sbagliato i conti dovrebbe valere: $\hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(2a) e^{-k^2 / (4a)}$ ove nel nostro caso $a = 1$ da cui: $\hat{f}(k,0) = 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)}$ Da cui: $\hat{f}(k,t) = 1/\sqrt(4\pi) e^{-k^2 / (4)} e^{ik(e^{-t}-1)}$ e dunque, ...

Trovare una funzione $f: \mathbb{Z}_p \to \mathbb{Z}_p $ intera e tale che $f'(x)$ è la funzione identicamente nulla. (La derivata in $x$ è definita come nei numeri reali.) Hint: Provare a definire $f(x)$ in termini dell'espansione $p$-adica di $x$. Il mio più grande problema è capire se la funzione che ho fatto io sia intera o meno, e che senso dare al limite/derivata che non capisco molto. Sono già confuso perché: Definizioni funzione ...

salve a tutti vorrei trovare le soluzioni di questa equazione: $e^{2z} = -3/2$ Io ho proceduto così: $log(e^{2z}) = log(e^{i\pi}) + log(3/2) = i\pi + log(3/2)$ Adesso per il primo membro ho avuto qualche problemino, diciamo che non sono molto ferrato sulle funzioni polidrome in generale, dunque ho provato a fare così: so dalla teoria che $e^z = e^{z+2k\pi i}, k \in \ZZ$. da qui in poi ometto l'insieme di provenienza dei $k$. $e^{2z} =e^{2(z+2k\pi i)} = e^{2(a+i(b+2k\pi))} = e^{2z} e^{4ki\pi}$ Da cui ottengo: $z +2k\pi i = i\pi/2 + 1/2log(3/2)$ Adesso sorge il problema: la soluzione mi dice invece che ...

Salve a tutti. Avrei qualche problemino a trovare la serie di Laurent di $f(z)=1/(zsinhz)$ centrata in $0$. Mi serve per trovare il residuo ma non riesco a isolarmi i termini nella forma solita con potenze negative e positive della $z$. Sono arrivato a $1/(z^4(1/z^2+1/6+…))$ e non so come procedere. Ringrazio in anticipo chi vorrà dare una mano

Salve a tutti. è la prima volta che scrivo sul forum di analisi superiore: avrei una domanda specifica su un integrale datoci a lezione: Calcolare $I = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{ax}}{(1+e^x)cosh(x)}dx, a \in )0,1( $ Allora, senza dilungarmi troppo in spiegazioni teoriche, io ho preso quella che il prof ha definito senza alcuna spiegazione di cosa significhi continuazione analitica banale della funzione in $\CC$ ', ovvero : $f(z) = \frac{e^(az)}{(1+e^z)coshz}$ Questa funzione ha dei poli singoli in $z = i\pi +2ik\pi, z = i\pi/2 + ik\pi $ Per ...

Sia $D={(x,y)inRR^2|y<=|x+1|,y>=x^2-3,x<=0}$. Senza fare calcoli si motivi perchè ci si aspetta che $I=\intint_D x dxdy$ sia un numero negativo. Sia $D'={(x,y)inRR^2|y<=|x+1|,y>=x^2-3,x<0}$ e $A={(x,y)inRR^2|x=0,-3<=y<=1}$. Per additività della funzione integrale abbiamo che: $I=\intint_{D'} x dxdy+\intint_A x dxdy=\intint_{D'} x dxdy$ (poichè $A$ è un insieme di $L^2$-misura nulla) Quindi preso $x inD'$ abbiamo che $x<0$ e per monotonia dell'integrale $I=\intint_{D'} x dxdy<0$, direi che può andare?.

Ciao a tutti, sto avendo molta difficoltà a risolvere questo esercizio: Sia $ u(x, y) = e^(x^2−y^2) cos(2xy) $. Determinare una funzione olomorfa $ f : C → C $ di cui $ u(x, y) $ sia la parte reale. Ora, io ho ragionato con le equazioni di Cauchy-Riemann: $ { ( (partial u)/(partial x)=(partial v)/(partial y) ),( (partial u)/(partial y)=-(partial v)/(partial x) ):} $ Quindi, ho calcolato la $ (partial u)/(partial x) $ che viene: $ 2e^(x^2-y^2)(xcos(2xy)-ysin(2xy)) $ A questo punto mi blocco: per trovare $ v(x,y) $ dovrei integrare rispetto a $ y $ la derivata che ho calcolato, solo che ...

Salve ragazzi, devo risolvere i seguenti integrali: $ \int_y(e^z-e^-z)/z^4dz $ dove y è $ |z| = 1 $. $ \int_y(z^2+1)/(z*(z-8))dz $ dove y è $ |z-3| = 4 $ Avevo pensato di applicare la formula di Cauchy: $ f^{(n)}(z)=\frac{1}{2\pi i}\int_\gamma\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^{n+1}}\ d\zeta $ Il mio problema è che non riesco ad identificare la curva y, di conseguenza non capisco se le singolarità sono contenute o meno all'interno della curva... Ringrazio in anticipo eventuali risposte.

Salve, riporto una domanda di un prof all'esame di metodi matematici che chiedeva la differenza tra i polinomi di Legendre e Chebyschev, e (al di la' della differenza nella definizione), cha chiesto in particolare come mai sono definiti entrambi. Come suggerimento ha detto di pensare a com'e' definito il prodotto scalare nei due polinomi... A me non e' venuto in mente nulla, mi sapreste aiutare?

Sono incappato in questo esercizio. Sia $f$ la funzione ottenuta estendendo per periodicità a tutto $\mathbb{R}$ la funzione: $g(x)= \{ (x+1, ", se " -2<= x < 1), (5-3x, ", se " 1<= x <=2) :}$ Prima mi chiede di calcolare i coefficienti di Fourier $b_k$ per $k\in\mathbb{Z}$ allora mi calcolo $b_k=i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k})=frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x)\sin(\frac{2\pi}{T}kx)dx$ e trovo che $b_k=\pm\frac{8\sin(\frac{\pi}{2}k)}{(\pi k)^2}$ (ho messo $\pm$ perchè non sono sicuro sul segno, ma non importa) Dopodiché mi chiede di calcolare il valore della serie di Fourier di ...

Determinare la trasformata di laplace della funzione: $f(t)= { ( (1+t)^2, ", se " 0<t<1),( 1+t^2 , ", se " 1<=t):} $ Vorrei una conferma sullo svolgimento di questo esercizio. Mio svolgimento: $L[(1+t)^2]=L[1+2t+t^2]=L[1]+2L[t]+L[t^2]=1/s+2/s^2+2/s^3$ $L[1+t^2]=L[1]+L[t^2]=1/s+2/s^3$ Risultato: $F(s)={1/s+2/s^2+2/s^3 t in (0,1) , 1/s+2/s^3 t>=1$ Il semipiano di convergenza è : $Res>0$