Integrale funzione esponenziale fratta, circuito rettangolare (Goursat)
Salve a tutti.
Vorrei chiedere aiuto sulla risoluzione del presente integrale.
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\cdot e^x}{1+e^{4x}}\text{d}x$
Vorrei risolverlo in campo complesso. La funzione si trasforma nella seguente
$\frac{z\cdot e^z}{1+e^{4z}}$
con l'integrale sulla curva \(\displaystyle \gamma \) una spezzata chiusa.
Prima domanda:
Ho letto, poiché la funzione al denominatore è una funzione periodica, anziché una semicirconferenza, si sceglie un rettangolo. Perché?
Per semplicità si sceglie un rettangolo, composto dai seguenti lati:
$\gamma_1 :-R<\text{Re}z
Seconda domanda:
L'altezza del rettangolo come andrebbe scelta? Va bene a \(\displaystyle 2\pi i \)? Oppure va scelto un altro valore?
Essendo la curva composta da quattro parti, avrò quattro integrali, di
$\int_{\gamma_1}+\int_{\gamma_2}+\int_{\gamma_3}+\int_{\gamma_3}$
di cui \(\displaystyle \int_{\gamma_2}\) e \(\displaystyle \int_{\gamma_4} \) per \(\displaystyle R\to +\infty \) sono nulli.
L'integrale su \(\displaystyle \gamma_1 \) è l'integrale di partenza. Ok, ci sono.
L'integrale su \(\displaystyle \gamma_3 \), come si scrive?
Potrei scriverlo così:
$\int_{+\infty}^{-\infty} -f(x+2\pi i)\text{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x+2\pi i)\cdot e^{x+2\pi i}}{1+e^{4(x+2\pi i)}}\text{d}x$
Scritto così, andrei a semplificare l'integrale su \(\displaystyle \gamma_1 \), e non dovrebbe succedere...
Terza domanda:
È giusto andare da \(\displaystyle +\infty \) a \(\displaystyle -\infty \), poiché percorro all'indietro il terzo segmento?
Quarta domanda:
Poiché percorro all'indietro, devo o devo mettere un meno alla funzione da integrare?
Grazie in anticipo delle risposte!
Vorrei chiedere aiuto sulla risoluzione del presente integrale.
$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\cdot e^x}{1+e^{4x}}\text{d}x$
Vorrei risolverlo in campo complesso. La funzione si trasforma nella seguente
$\frac{z\cdot e^z}{1+e^{4z}}$
con l'integrale sulla curva \(\displaystyle \gamma \) una spezzata chiusa.
Prima domanda:
Ho letto, poiché la funzione al denominatore è una funzione periodica, anziché una semicirconferenza, si sceglie un rettangolo. Perché?
Per semplicità si sceglie un rettangolo, composto dai seguenti lati:
$\gamma_1 :-R<\text{Re}z
Seconda domanda:
L'altezza del rettangolo come andrebbe scelta? Va bene a \(\displaystyle 2\pi i \)? Oppure va scelto un altro valore?
Essendo la curva composta da quattro parti, avrò quattro integrali, di
$\int_{\gamma_1}+\int_{\gamma_2}+\int_{\gamma_3}+\int_{\gamma_3}$
di cui \(\displaystyle \int_{\gamma_2}\) e \(\displaystyle \int_{\gamma_4} \) per \(\displaystyle R\to +\infty \) sono nulli.
L'integrale su \(\displaystyle \gamma_1 \) è l'integrale di partenza. Ok, ci sono.
L'integrale su \(\displaystyle \gamma_3 \), come si scrive?
Potrei scriverlo così:
$\int_{+\infty}^{-\infty} -f(x+2\pi i)\text{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{(x+2\pi i)\cdot e^{x+2\pi i}}{1+e^{4(x+2\pi i)}}\text{d}x$
Scritto così, andrei a semplificare l'integrale su \(\displaystyle \gamma_1 \), e non dovrebbe succedere...
Terza domanda:
È giusto andare da \(\displaystyle +\infty \) a \(\displaystyle -\infty \), poiché percorro all'indietro il terzo segmento?
Quarta domanda:
Poiché percorro all'indietro, devo o devo mettere un meno alla funzione da integrare?
Grazie in anticipo delle risposte!
Risposte
"gmd86":
Prima domanda:
Ho letto, poiché la funzione al denominatore è una funzione periodica, anziché una semicirconferenza, si sceglie un rettangolo. Perché?
Il motivo non e' tanto il fatto che sia una funzione periodica, ma piuttosto per il fatto che un percorso fatto cosi' ti permette di mandare a zero l'integranda nei tratti $\gamma_1$ e $\gamma_3$.
Devi studiare bene com'e' fatta la funzione $e^z$ e come si comporta nei tratti "verticali" e "orizzontali" che compongono il rettangolo.
Seconda domanda:
L'altezza del rettangolo come andrebbe scelta? Va bene a \(\displaystyle 2\pi i \)? Oppure va scelto un altro valore?
Va scelto in modo opportuno, che in questo caso vuol dire che va scelto in modo tale che non si verifichi il problema che hai visto e che hai descritto cosi':
Scritto così, andrei a semplificare l'integrale su \(\displaystyle \gamma_1 \), e non dovrebbe succedere...
Se invece di $2\pi$ come altezza del rettangolo scegli $\pi$ cosa succede ?
Succede ancora che i due tratti si cancellano ?
Ciao gmd86,
Benvenuto sul forum!
L'integrale proposto è un po' laborioso, ma se non ho fatto male i conti si ha:
[tex]\begin{equation*}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\cdot e^x}{1+e^{4x}}\text{d}x = - \frac{\pi^2 \sqrt2}{16} }
\end{equation*}[/tex]
Benvenuto sul forum!
L'integrale proposto è un po' laborioso, ma se non ho fatto male i conti si ha:
[tex]\begin{equation*}
\boxed{\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x\cdot e^x}{1+e^{4x}}\text{d}x = - \frac{\pi^2 \sqrt2}{16} }
\end{equation*}[/tex]
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