Convergenza di sommatorie
Sia \(G \) un gruppo, \(f \in \ell^{\infty}(G) \) e \( h \in \ell^1(G) \). Dimostra che per ogni \(x \in G \) le seguenti espressioni sono uguali e fai attenzione alla convergenza assoluta!
\[(1) \ \ \ \ \sum_{y \in G} f(xy^{-1})h(y) \]
\[(2) \ \ \ \ \sum_{y \in G} f(y) h(y^{-1}x) \]
\[ (3) \ \ \ \ \sum_{ \{ y,z \in G : yz=x\}} f(y)h(z) \]
Allora il fatto che (2) e (3) sono uguali è evidente perché basta moltiplicare per \( y^{-1} \) dentro \(h\) in (3) e poi se faccio variare \(y \in G \) è equivalente a far variare \( \{ y,z \in G : yz=x \} \). Per (2) uguale a (1) credo che basti moltiplicare per \( x^{-1} \) in (2) sia in \(f \) che in \(h\) e poi prendere l'elemento inverso e siccome \(x\) è fissato e la moltiplicazione in un gruppo è transitiva allora percorro comunque tutto \(G\), solo che in un altro ordine. Però non capisco bene perché si possa fare questa cosa, cioè se una di queste non converge assolutamente perché lo posso fare? Sto essenzialmente permutando l'ordine degli elementi dentro la sommatoria quindi devo avere convergenza assoluta.
\[(1) \ \ \ \ \sum_{y \in G} f(xy^{-1})h(y) \]
\[(2) \ \ \ \ \sum_{y \in G} f(y) h(y^{-1}x) \]
\[ (3) \ \ \ \ \sum_{ \{ y,z \in G : yz=x\}} f(y)h(z) \]
Allora il fatto che (2) e (3) sono uguali è evidente perché basta moltiplicare per \( y^{-1} \) dentro \(h\) in (3) e poi se faccio variare \(y \in G \) è equivalente a far variare \( \{ y,z \in G : yz=x \} \). Per (2) uguale a (1) credo che basti moltiplicare per \( x^{-1} \) in (2) sia in \(f \) che in \(h\) e poi prendere l'elemento inverso e siccome \(x\) è fissato e la moltiplicazione in un gruppo è transitiva allora percorro comunque tutto \(G\), solo che in un altro ordine. Però non capisco bene perché si possa fare questa cosa, cioè se una di queste non converge assolutamente perché lo posso fare? Sto essenzialmente permutando l'ordine degli elementi dentro la sommatoria quindi devo avere convergenza assoluta.
Risposte
Ma di che misura stiamo parlando?
Dove necessitiamo di una misura ?
Le uniche informazioni che ho su sta cosa sono quelle che ho visto a corso, cioè queste:
Idea: Una funzione \( f: G \to \mathbb{R} \) su un gruppo dovrebbe essere "armonica" se possiede la "proprietà dei valori medi", ovvero se per ogni \(x \in G \), \( f(x) \) è la media dei valori di \(f\) "attorno" a \(x\). Doppiamo fissare una qualche media su \(G\).
Definizione: Sia \(X\) un insieme. \( \mathbb{R}[X] \) l'insieme delle funzioni con supporto finito su \(X\). Per ogni \(f \in \mathbb{R}[X] \) possiamo scrivere \( \sum_{x \in X} f(x) \delta_x \), i.e. \( X\) ci fornisce una base \( \{ \delta_x : x \in X \} \) per \( \mathbb{R}[X] \). Se \(X,Y,Z \) sono insiemi e \( p : X \times Y \to Z \) una mappa, otteniamo una mappa bilineare
\[ \mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}[Y] \to \mathbb{R}[Z] \]
\[ (\delta_x,\delta_y ) \mapsto \delta_{p(x,y)} \]
Se \(X=Y=Z=G \) un gruppo allora \( (\delta_g,\delta_h) \mapsto \delta_{gh} \). Questa mappa è chiamata convoluzione e denotata \( \ast \).
Quindi \( (f\ast g)(x) \) per \(x \in G \) e \( f,g \in \mathbb{R}[G] \):
\[ (f\ast g)(x) = \left( \left( \sum_{y \in G} f(y) \delta_y \right) \ast \left( \sum_{z \in G} g(z) \delta_z \right) \right) (x) = \sum_{y \in G} f(xy^{-1}) g(y) \]
Questo prodotto di convoluzione fa senso anche in altri casi oltre \( \mathbb{R}[G] \), ad esempio se \(f \in \ell^{\infty} \) e \( g \in \ell^1 \).
Definizione: Scegliamo \( \mu \in \operatorname{Prob}(G) = \{ \varphi : G \to \mathbb{R}_+ : \sum \varphi(g) = 1 \} = \ell^{1}(G) \cap M(G) \), dove \(M(G) = \{ \text{ medie su } G \} \), ma non vogliamo pensarla come una media. Allora diciamo che \(f : G \to \mathbb{R} \) è \( \mu\)-armonica se \( f \ast \mu = f \), i.e. se per ogni \(x \) abbiamo
\[ f(x) = \sum_{y \in G} f(xy^{-1}) \mu(y) \]
NB: Consideriamo solo \(f \in \ell^{\infty} \).
Esempi:
-\(G= \mathbb{Z} \) e \( \mu = \frac{1}{2} \left( \delta_{-1} + \delta_1 \right) \) allora \(f \) armonica se e solo se \( f(x) = \frac{1}{2} \left( f(x+1) + f(x-1) \right) \)
- \(G=F_2 = F_{\{a,b\}} \) e \( \mu = \frac{1}{4} \left( \delta_a + \delta_b + \delta_{a^{-1}} + \delta_{b^{-1}} \right) \) allora \( f \) armonica se e solo se
\[ f(x) = \frac{1}{4} \left( f(xa^{-1}) + f(xb^{-1}) + f(xa) + f(xb) \right) \]
Idea: Una funzione \( f: G \to \mathbb{R} \) su un gruppo dovrebbe essere "armonica" se possiede la "proprietà dei valori medi", ovvero se per ogni \(x \in G \), \( f(x) \) è la media dei valori di \(f\) "attorno" a \(x\). Doppiamo fissare una qualche media su \(G\).
Definizione: Sia \(X\) un insieme. \( \mathbb{R}[X] \) l'insieme delle funzioni con supporto finito su \(X\). Per ogni \(f \in \mathbb{R}[X] \) possiamo scrivere \( \sum_{x \in X} f(x) \delta_x \), i.e. \( X\) ci fornisce una base \( \{ \delta_x : x \in X \} \) per \( \mathbb{R}[X] \). Se \(X,Y,Z \) sono insiemi e \( p : X \times Y \to Z \) una mappa, otteniamo una mappa bilineare
\[ \mathbb{R}[X] \times \mathbb{R}[Y] \to \mathbb{R}[Z] \]
\[ (\delta_x,\delta_y ) \mapsto \delta_{p(x,y)} \]
Se \(X=Y=Z=G \) un gruppo allora \( (\delta_g,\delta_h) \mapsto \delta_{gh} \). Questa mappa è chiamata convoluzione e denotata \( \ast \).
Quindi \( (f\ast g)(x) \) per \(x \in G \) e \( f,g \in \mathbb{R}[G] \):
\[ (f\ast g)(x) = \left( \left( \sum_{y \in G} f(y) \delta_y \right) \ast \left( \sum_{z \in G} g(z) \delta_z \right) \right) (x) = \sum_{y \in G} f(xy^{-1}) g(y) \]
Questo prodotto di convoluzione fa senso anche in altri casi oltre \( \mathbb{R}[G] \), ad esempio se \(f \in \ell^{\infty} \) e \( g \in \ell^1 \).
Definizione: Scegliamo \( \mu \in \operatorname{Prob}(G) = \{ \varphi : G \to \mathbb{R}_+ : \sum \varphi(g) = 1 \} = \ell^{1}(G) \cap M(G) \), dove \(M(G) = \{ \text{ medie su } G \} \), ma non vogliamo pensarla come una media. Allora diciamo che \(f : G \to \mathbb{R} \) è \( \mu\)-armonica se \( f \ast \mu = f \), i.e. se per ogni \(x \) abbiamo
\[ f(x) = \sum_{y \in G} f(xy^{-1}) \mu(y) \]
NB: Consideriamo solo \(f \in \ell^{\infty} \).
Esempi:
-\(G= \mathbb{Z} \) e \( \mu = \frac{1}{2} \left( \delta_{-1} + \delta_1 \right) \) allora \(f \) armonica se e solo se \( f(x) = \frac{1}{2} \left( f(x+1) + f(x-1) \right) \)
- \(G=F_2 = F_{\{a,b\}} \) e \( \mu = \frac{1}{4} \left( \delta_a + \delta_b + \delta_{a^{-1}} + \delta_{b^{-1}} \right) \) allora \( f \) armonica se e solo se
\[ f(x) = \frac{1}{4} \left( f(xa^{-1}) + f(xb^{-1}) + f(xa) + f(xb) \right) \]
"3m0o":
Dove necessitiamo di una misura ?
Ma sennò cosa intendi con $l^1$?
\( \ell^1 (G) = \{ f: G \to \mathbb{R} : \sum_{g \in G} \left| f(g) \right| < \infty \} \)
Ah ok quindi ti basta dimostrare che una di quelle tre espressioni sta in $l^1(G)$.
OK, come hai notato dal punto di vista formale non c'è nessuna difficoltà. La difficoltà sta nel provare che le tre serie convergono assolutamente. Se fosse la convoluzione ordinaria, quella su \(\mathbb R\), il problema analogo sarebbe dimostrare che (prendo solo la prima espressione)
\[
\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\, dy \text{ converge assolutamente }
\]
dove \(f\in L^1(\mathbb R)\) e \(g\in L^\infty(\mathbb R)\). Questo è un caso particolare della disuguaglianza di Young, ed è anche quello più immediato perché
\[
\int_{-\infty}^\infty \lvert f(x-y)g(y)\rvert \, dy\le \lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_\infty.\]
OK? Adesso devi rifare questo con le tue serie.
\[
\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\, dy \text{ converge assolutamente }
\]
dove \(f\in L^1(\mathbb R)\) e \(g\in L^\infty(\mathbb R)\). Questo è un caso particolare della disuguaglianza di Young, ed è anche quello più immediato perché
\[
\int_{-\infty}^\infty \lvert f(x-y)g(y)\rvert \, dy\le \lVert f\rVert_1\lVert g\rVert_\infty.\]
OK? Adesso devi rifare questo con le tue serie.
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