Riflessione sulla definizione di holderianità per esponenti fuori da $(0,1]$
Pensando alle funzioni holderiane, mi sono chiesto perchè si definissero solo in $(0,1]$.
Ovviamente era una cosa che mi ero già chiesto ad Analisi 1 e che consideravo conclusa, per $\alpha>1$, $\alpha$-holderiana implica costante, e per $\alpha<=0$ non implica (uniformemente) continua, che è il motivo per cui si introduce questo concetto.
Però ultimamente (come anche accennato qui) stavo mettendo in dubbio la decisione di considerare chiusa la questione.
Per $\alpha=0$ la definizione diventa quella di limitatezza della funzione, inoltre la dimostrazione del fatto che l'insieme degli esponenti per cui la funzione è holderiana sia un intervallo contenuta nel link precedente è valida anche per la definizione estesa.
Per $\alpha>1$, prima ho detto che $\alpha$-holderiana implica costante, e senz'altro è vero su un intervallo, ma più in generale su uno spazio metrico cosa succede? Resta vero almeno sulle componenti connesse? Comunque anche su sottoinsiemi di $RR$ più strani che succede? Perchè di solito si mostra che implica che la derivata è nulla, ma in realtà l'informazione è più forte di quella perchè nelle componenti connesse le costanti non sono libere di essere in qualsiasi modo, ma poi a parte questo, se non si può derivare? Tipo in $QQ$?
Per $\alpha<0$ ho l'impressione che sia un caso meno interessante ma sarebbe interessante capire che tipo di informazioni dà, ok non la continuità ma qualcosa di più debole? Senz'altro che il grafico non è denso, immagino anche che sia misurabile, magari boreliana, o persino che ha almeno un tipo di semicontinuità, anche solo puntualmente.
Ovviamente era una cosa che mi ero già chiesto ad Analisi 1 e che consideravo conclusa, per $\alpha>1$, $\alpha$-holderiana implica costante, e per $\alpha<=0$ non implica (uniformemente) continua, che è il motivo per cui si introduce questo concetto.
Però ultimamente (come anche accennato qui) stavo mettendo in dubbio la decisione di considerare chiusa la questione.
Per $\alpha=0$ la definizione diventa quella di limitatezza della funzione, inoltre la dimostrazione del fatto che l'insieme degli esponenti per cui la funzione è holderiana sia un intervallo contenuta nel link precedente è valida anche per la definizione estesa.
Per $\alpha>1$, prima ho detto che $\alpha$-holderiana implica costante, e senz'altro è vero su un intervallo, ma più in generale su uno spazio metrico cosa succede? Resta vero almeno sulle componenti connesse? Comunque anche su sottoinsiemi di $RR$ più strani che succede? Perchè di solito si mostra che implica che la derivata è nulla, ma in realtà l'informazione è più forte di quella perchè nelle componenti connesse le costanti non sono libere di essere in qualsiasi modo, ma poi a parte questo, se non si può derivare? Tipo in $QQ$?
Per $\alpha<0$ ho l'impressione che sia un caso meno interessante ma sarebbe interessante capire che tipo di informazioni dà, ok non la continuità ma qualcosa di più debole? Senz'altro che il grafico non è denso, immagino anche che sia misurabile, magari boreliana, o persino che ha almeno un tipo di semicontinuità, anche solo puntualmente.
Risposte
In effetti, su uno spazio metrico puoi parlare di funzioni \(\alpha\)-Hölder con \(\alpha>1\), e non sono necessariamente costanti. L'esempio più estremo è lo spazio metrico banale \(X=\{x_1, x_2\}\), dove tutte le funzioni \(f\colon X\to \mathbb R\) sono \(\alpha\)-Hölder rispetto a qualsiasi \(\alpha\). Non che sia un esempio illuminante perché è totalmente disconnesso.
Tu chiedi una cosa interessante: esiste uno spazio metrico connesso che supporta funzioni \(\alpha\)-Hölder non costanti con \(\alpha>1\)? Ci ho pensato un po' e alla fine ho fatto una ricerca su internet, ed ecco qua cosa ho trovato. Sembra proprio che la risposta sia affermativa.
Quanto a \(\alpha<0\), è una condizione completamente diversa, è significativa ad infinito, non localmente. Su un aperto limitato, tutte le funzioni limitate sono \(-\alpha\)-Hölder con \(\alpha>0\). Mentre su \((0, \infty)\), nemmeno \(f(x)=1/x\) è \(-\alpha\)-Hölder, qualsiasi sia \(\alpha>0\). Credo proprio che basti per accantonare questa nozione come inutile.
Tu chiedi una cosa interessante: esiste uno spazio metrico connesso che supporta funzioni \(\alpha\)-Hölder non costanti con \(\alpha>1\)? Ci ho pensato un po' e alla fine ho fatto una ricerca su internet, ed ecco qua cosa ho trovato. Sembra proprio che la risposta sia affermativa.
Quanto a \(\alpha<0\), è una condizione completamente diversa, è significativa ad infinito, non localmente. Su un aperto limitato, tutte le funzioni limitate sono \(-\alpha\)-Hölder con \(\alpha>0\). Mentre su \((0, \infty)\), nemmeno \(f(x)=1/x\) è \(-\alpha\)-Hölder, qualsiasi sia \(\alpha>0\). Credo proprio che basti per accantonare questa nozione come inutile.
Grazie dissonance, bella risposta che hai mi trovato 
Mi sono stupito che su domini connessi ci siano funzioni del genere non costanti (addirittura pensavo bastasse anche una condizione più debole tipo la $\epsilon$-connessione, cioè $AA\epsilon$ si possono collegare due punti con una sequenza finita di punti che distano da quelli adiacenti meno di $\epsilon$), al chè ho pensato se almeno con un intervallo aperto come dominio (codominio generico) le funzioni dovessero essere costanti.
La seconda risposta mi ha fatto capire che vale nel caso in cui (adattando quella dimostrazione, nella quale per inciso manca un $L$ alla fine) il dominio sia uno spazio metrico connesso per archi rettificabili (ricordami una cosa al volo, variazione limitata era equivalente a rettificabile giusto?) e il dominio uno spazio metrico qualsiasi.
Ma sei sicuro? Se $f:(0,1)->(0,1)$ ha grafico denso in $(0,1)^2$ non mi pare possa essere holderiana per nessun esponente. Penso che essere holderiana anche solo per un esponente negativo implichi almeno la misurabilità, mi piacerebbe capire almeno questo.
Curioso comunque che $1/x$ non sia $-1$-holderiana; comunque anche nel primo messaggio avevo detto che mi sembrava meno interessante questo caso.
Mi sono stupito che su domini connessi ci siano funzioni del genere non costanti (addirittura pensavo bastasse anche una condizione più debole tipo la $\epsilon$-connessione, cioè $AA\epsilon$ si possono collegare due punti con una sequenza finita di punti che distano da quelli adiacenti meno di $\epsilon$), al chè ho pensato se almeno con un intervallo aperto come dominio (codominio generico) le funzioni dovessero essere costanti.
La seconda risposta mi ha fatto capire che vale nel caso in cui (adattando quella dimostrazione, nella quale per inciso manca un $L$ alla fine) il dominio sia uno spazio metrico connesso per archi rettificabili (ricordami una cosa al volo, variazione limitata era equivalente a rettificabile giusto?) e il dominio uno spazio metrico qualsiasi.
"dissonance":
Quanto a \( \alpha<0 \), è una condizione completamente diversa, è significativa ad infinito, non localmente. Su un aperto limitato, tutte le funzioni limitate sono \( -\alpha \)-Hölder con \( \alpha>0 \). Mentre su \( (0, \infty) \), nemmeno \( f(x)=1/x \) è \( -\alpha \)-Hölder, qualsiasi sia \( \alpha>0 \). Credo proprio che basti per accantonare questa nozione come inutile.
Ma sei sicuro? Se $f:(0,1)->(0,1)$ ha grafico denso in $(0,1)^2$ non mi pare possa essere holderiana per nessun esponente. Penso che essere holderiana anche solo per un esponente negativo implichi almeno la misurabilità, mi piacerebbe capire almeno questo.
Curioso comunque che $1/x$ non sia $-1$-holderiana; comunque anche nel primo messaggio avevo detto che mi sembrava meno interessante questo caso.
"otta96":
Grazie dissonance, bella risposta che hai mi trovato
Vero, è interessante. In realtà ho cercato di leggere l'articolo nel link ma ad una prima lettura non ho mica capito come si costruisce questo arco di Jordan che supporta una funzione $3/2$-Hölder non costante. Se dovessi riuscire a capirlo e a spiegarlo sarei interessato a leggere la tua spiegazione. Ma naturalmente solo se hai tempo e ti va.
Su un aperto limitato, tutte le funzioni limitate sono \( -\alpha \)-Hölder con \( \alpha>0 \). [...]
Ma sei sicuro?
Beh senti, si, sono sicuro, ma faccio un ragionamento super banale. Prendi \(f\colon \Omega\to \mathbb R\) dove \(\Omega\) è un insieme limitato di \(\mathbb R^n\), non serve nemmeno che sia aperto. Supponiamo che \(\lvert f(x)\rvert\le M\) per ogni \(x\in\Omega\). Sia ora
\[
m:=\inf\{ |x-y|^{-\alpha}\ :\ x, y\in\Omega\}.\]
Questo numero è finito e diverso da zero perché \(\Omega\) è limitato. Allora possiamo concludere che
\[
\lvert f(x)-f(y)\rvert \le 2M\le \frac{2M}{m}\lvert x-y\rvert^{-\alpha}, \]
quindi \(f\) è \((-\alpha)\)-Hölder con costante \(\frac{2M}{m}\).
Ci ho provato ma non si capisce niente di come definisce $J$ (che è uno step necessario per quello che ci interessa), non è minimamente chiaro nelle spiegazioni.
Però mi sembra di aver capito che per $\alpha>2$ o $\alpha>=2$ le funzioni siano costanti, sarà vero in generale?
Comunque sospettavo fosse un motivo abbastanza semplice che non mi veniva in mente. Ok, lasciamo stare il caso di esponente negativo.
Però mi sembra di aver capito che per $\alpha>2$ o $\alpha>=2$ le funzioni siano costanti, sarà vero in generale?
Comunque sospettavo fosse un motivo abbastanza semplice che non mi veniva in mente. Ok, lasciamo stare il caso di esponente negativo.
"otta96":
Però mi sembra di aver capito che per $\alpha>2$ o $\alpha>=2$ le funzioni siano costanti, sarà vero in generale?
Non credo. A questo punto la congettura è che, per ogni \(\alpha>0\), esiste uno spazio metrico connesso che supporta una funzione \(\alpha\)-Hölder non costante. Ci pensiamo nei ritagli di tempo.
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