Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Assegnato il problema di cauchy:
$ { ( y''(t)+4y'(t)+3y(t)=0 ),( y(0)=3),( y'(0)=1 ):} $
e se ne calcoli, se esiste, la soluzione usando la trasformata di laplace.
Mio svolgimento:
1. trasformo l'equazione differenziale in una equazione algebrica utilizzando la proprietà di trasformazione della derivata seconda e della derivata prima
Dato $s in C$,
$s^2Y-sy(0)-y'(0)+4(sY-y(0))+3Y=0$
$s^2Y-3s-1+4(sY-3)+3Y=0$
ed esplicito la L-trasformata della soluzione:
$(s^2+4s+3)Y=3s+12+1$
$Y(s)= (3s+13)/(s^2+4s+3)$
2. anti-trasformo i due membri dell'equazione ...
Sono passati un po' di anni dal corso di Analisi Complessa, quindi tanto vale chiedere a chi ha più fresche queste cose...
Avete sotto mano qualche mappa conforme del piano nel cerchio unitario?
Ho provato con la proiezione stereografica, $w = z/sqrt(1+|z|^2)$, ma chiaramente non è conforme (perché dipende da $bar(z)$); quindi mi chiedevo se ci fosse qualcosa di semplice per fare quello che ho in mente.
Grazie.
Buongiorno, data la seguente funzione in s:
$ 1/((s-p)(s-p^{**}) $ con $ p=alpha +jomega $
vorrei capire come si arriva alla antitrasformata nota (esponenziale che moltiplica la funzione armonica).
Ho provato a sviluppare la funzione in frazioni parziali per poi utilizzare le antitrasformate note, ma poi non so come procedere, penso che si debba utilizzare la definizione di antitrasformata.
Salve, ho svolto questo esercizio di Teoria dei Segnali ma non sono sicuro del risultato ottenuto.
"Sia dato il sistema LTI con risposta in frequenza $ H(f)=sin^2(\pifT/2), |f|<= 2/T $ .
1) Determinare l'uscita $ y(t) $ del sistema quando l'ingresso è $ x(t)= sum_(n=-\infty)^(+ \infty) rect((t-nT)/(T/2)) $ ;
2) Determinare la trasformata di Fourier della sequenza $ y[n] $ ottenuta campionando a passo $ T_c=(2T)/3 $ il segnale $ y(n) $ ;
3) Stabilire se la sequenza $ y[n] $ è periodica. Se lo è, ...
Salve ragazzi devo fare un progetto di dimanica e controllo non lineare. Devo controllare un sistema non lineare con vari tipologia di controllo e avevo intenzione di fare un modello con il DeepMPC. Avete da consigliarmi qualche modello non lineare da controllare? E avete da passarmi qualche materiale di DeepMPC? Preferibilemte qualche modello non lineare con al massimo 3 variabili di stato? Anche script di matlab toolbox da consigliare ecc...?
Non posso portare questi modelli perchè ...
Teoria delle distribuzioni
Dal capitolo introduttivo alla Teoria delle Distribuzioni , leggo dal testo : Metodi di Analisi Matematica per l’Ingegneria del prof. Marco Bramanti :
Consideriamo l’equazione di Poisson per il potenziale newtoniano :
$\nabla^2$ u = f
Dove la funzione u ( incognita ) rappresenta il potenziale ( elettrostatico o gravitazionale ) et f ha il significato di densità ( di carica o di massa ).
Dal punto di vista matematico classico , per un’equazione di questo ...
Ciao, sto provando a risolvere questo esercizio, ma ho alcuni dubbi: il punto (b) mi sembra giusto, mi manca il punto (a).
Sia X uno spazio topologico di Hausdorff localmente compatto e sia µ: S → [0, +∞]
una misura positiva di Radon in X.
Posto $T = \bigcup{V : V \text{ è aperto e }\mu(V) = 0}$ e $\text{supp}(mu)=T^C$, provare che:
a) T è aperto e $ mu(T)=0 $
b) $ x in \text{supp}(mu) hArr int_X phi \ dmu >0 $ $ \ AA \phi in C_c(X) \ |\ {x} \ ≺ phi$.
a) T è aperto perchè è unione di insiemi aperti.
Come dimostro che ha misura nulla?
Inizialmente pensavo di usare la ...
Mostrare che $sin(x)/x$ in $[1,+infty[$ non è integrabile secondo Lebesgue.
Essendo all'inizio della teoria di Lebesgue il professore ci ha dato il suggerimento di mostrare che $C(x)=max{sin(x)/x,0}>=0$ ha integrale di Lebesgue $+infty$ (rispetto alla misura $L^1$) in $[1,+infty[$
( analogamente dovrebbe essere per la funzione $max{-sin(x)/x,0}$).Allora io ho osservato che $|sin(x)/x|>=sin^2(x)/x$ e che la funzione $sin(x)/x$ in $[1,+infty[$ si annulla nei ...
Salve,
non capisco come si possano conciliare le ipotesi di questo corollario.
Sia $A$ un campo a un sol contorno e $z_0$ un punto interno ad $A$. Sia $f(z)$ una funzione olomorfa nel campo $A'=A-{z_0}$ e sia $C$ una curva generalmente regolare, semplice e chiusa, il cui grafico $C^$ è tale che $C^*\subset A'$ e $z_0$ sia interno a $C^*$. Allora l'integrale
\[ \int_{+C}f(z)dz \]
è ...
Sia $u^**$ la misura esterna di Lebesgue in $2$ dimensioni. Mostrare che $u^**([0,1]\\QQxx[0,1])=1$.
Non ho una precisa idea di come farlo, pensavo o di sfruttare qualche proprietà delle misure esterne oppure forse che:
$u^**([0,1]\\QQxx[0,1])="inf"\{\sum_{i=0}^(+\infty) u^**(R_i)| (R_i)_i text( è un ricoprimento Lebesguiano di ) [0,1]\\QQxx[0,1]\}$.
Un aiuto? Grazie.
Ciao ragazzi! Sto finendo di preparare Analisi Funzionale e avrei qualche esercizio che non riesco a portare a termine; dopo tanti anni di matematica sono ancora una frana a "inventare" le dimostrazioni...
Il primo è semplice, ma non riesco a concludere la seconda parte:
Considera gli spazi normati $ X:= (C[0,1] , norm(*)_oo) $ e $ Y:= (C[0,1], norm(*)_1) $ con le norme date da $ norm(f)_oo := max_{0 <= x <=1} |f(x)| $ e $ norm(f(x))_1:=\int_{0}^{1}|f(x)|dx$.
Dimostra che la mappa biiettiva $ I:X \rightarrow Y$ data da $I(f)=f$ è continua ma non è ...
Sia $f:[a,b]->RR$ Riemann-integrabile. Provare che $graf(f)={(x,f(x))inRR^2| x in[a,b]}$ ha $L^2$-misura nulla (dove $L^2$ è la misura di Lebesgue in dimensione $2$).
Allora mi basta dimostrare che presa $u^**$ misura esterna di $L^2$ si ha che $AAepsilon>0$ $EE{R_i}_i$ ricomprimento Lebesguiano di $graf(f)$ tali che $\sum_{i=0}^(+\infty) u^**(R_i)<epsilon$. Intanto sono partito dal criterio di Riemann: siccome f è Riemann-integrabile allora ...
Mostrare che $L^1([0,1]\\QQ)=1$ dove $L^1$ è la misura di Lebesgue in $RR$.
Allora intanto credo che per correttezza si dovrebbe scrivere $L^1([0,1]\\(QQnn[0,1]))$ (correggetemi se sbaglio), detto ciò ho pensato di fare cosi: siccome $QQnn[0,1]$ è contenuto in $[0,1]$ posso usare la proprietà sottrattiva delle misure, ovvero $L^1([0,1]\\(QQnn[0,1]))=L^1[0 , 1]+L^1(QQnn[0,1])$, dove $L^1[0 , 1]=1-0=1$ e siccome $QQnn[0,1]$ è un sottoinsieme infinito di $QQ$ (che è numerabile) ...
Considero l'equazione differenziale lineare omogenea $\doty(t)=A(t)y(y)$ in $R^n$ con la condizione iniziale $y(t_0)=y_0$, dove la matrice $A(t)$ è misurabile (quindi non necessariamente continua).
Sia $\Phi$ la matrice fondamentale associata all'equazione differenziale di cui sopra.
Si può dimostrare che $"sup"_{0<=t_0<=t<=1}|\Phi(t,t_0)|<="costante"$?
Trovare una funzione \( f: \mathbb{Z}^3 \to \mathbb{R} \) che sia discreta armonica su \( \mathbb{Z}^3 \) tranne che in \( (0,0,0) \) e che sia limitata ma non costante.
Non riesco proprio. Una funzione armonica ha la proprietà che il massimo/minimo sta ai bordi quindi ho pensato che ad un certo punto deve essere periodoca in modo strano e oscillare e il massimo dev'essere nel orogine
Buonasera,
Ho qualche difficoltà nel risolvere il seguente esercizio sulla compattezza di un operatore tra spazi di funzioni, definito mediante convoluzione.
Sia $C_0^0(\mathbb{R}) = \{f \in C^0(\mathbb{R}) : \lim_{|x| \to \infty} f(x) = 0\}$ munito della norma del sup. Sia $\phi \in C_0^\infty(\mathbb{R})$ una funzione infinitamente differenziabile a supporto compatto.
Definiamo, per ogni $f \in C_0^0(\mathbb{R})$ e per ogni $x \in \mathbb{R}$,
$$(Tf)(x) = \phi(x) \cdot (f \ast \phi)(x)$$
Dove $\ast$ rappresenta l'usuale convoluzione: ...
Ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano con un esercizio di analisi funzionale: la consegna chiede di dimostrare che un operatore $T : H -> H$ (con $H$ spazio di Hilbert complesso) è continuo, sapendo che $<< Tx,y >> = i << x,Ty >>$ per ogni $x,y in H$.
Vorrei dimostrarlo usando il teorema del grafico chiuso: facendo vedere che $"graf"(T) = \{ (x,Tx) |\ x in H\}$ è un insieme chiuso si ottiene la continuità dell'operatore $T$.
Sono un po' a corto di idee su come utilizzare ...
Salve a tutti,
sto studiando per l'esame di meccanica statistica e sto avendo un po' di problemi nel risolvere gli integrali, potreste spiegarmi cosa sto sbagliando ad esempio in questo
\( \int_{0}^{2^{1/3}R} r^2 dr\vartheta (\epsilon -V(1-(r/R)^3) \)
dove la theta indica la funzione di Heaviside.
ho provato a risolverlo per sostituzione \( V(1-r^3/R^3)=t \rightarrow dt=-3Vr^2/R^3 \) ma non mi sembra di arrivare a conclusioni sensate..
avete qualche suggerimento?
Salve ragazzi, ho alcuni problemi con un esercizio sulla serie di Laurent.
Allora la traccia chiede: trovare la serie di Laurent centrata in z=-1 in 0
Ciao,
in un tema d'esame ho trovato la seguente domanda:
Una funzione f:\(\mathbb{R}\) -> \(\mathbb{R}\) $$ ammette sempre l'estremo superiore essenziale (eventualmente $+\infty$)?
la cui risposta è Falso
Ora... l'estremo superiore essenziale è per definizione il più piccolo dei maggioranti che maggiora $f$ quasi ovuque in \(\mathbb{R}\). Utilizzando un linguaggio non molto formale, possiamo dire (?) che, a meno di un insieme di misura nulla, il ...
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