Spettro puntuale

[Spook]

Sia $H=l^2$ dotato del prodotto interno $(x,y) = \sum_{k=1}^{\infty} x_k y_k$. Sia $T:H \rightarrow H$ definito come segue defined by

$$ \left( Tx \right)_k = \frac{1}{1+k^4} x_k, \quad k \in \mathbb{N}, \;\; x = (x_{k})_{k} \in H.$$

Come è possibile trovare lo spettro puntuale $\sigma_p (T)$? E' possibile provare che $0 \in \sigma (T)$.

[dissonance]

Non mi pare difficile, hai una famiglia di autovalori proprio sotto gli occhi. Per provare che \(0\in \sigma(T)\) ricordati che lo spettro è un insieme chiuso.

[Spook]

Qual'è la famiglia di autovalori? La base ortonormale per l^2? Se è così la risposta è semplicemente la base naturale? Come faccio a collegare il fatto che lo spettro è chiuso con lo zero?

[dissonance]

Come fai, devi ragionare. La definizione di autovalore la sai? Non mi pare tu l'abbia molto chiara. Valla a rivedere. Comunque, sei sulla buona strada con la tua base ortonormale.

[Mathita]

Non tocco queste cose da una vita, però ho l'impressione che l'operatore T non abbia autovalori. Usando la definizione, $\lambda$ dovrebbe dipendere da $k$, e non va bene.

[Spook]

Scusa ero stanco. Certamente gli autovalori sono $\lambda = \frac{1}{k^4 + 1}$. Poi devo capire perchè lo zero di trova nello spettro.

[Mathita]

@Spook, per come interpreto io la traccia, quello non può essere un autovalore di $T$. Da come è scritta, la traccia dà la componente k-esima di $Tx$.

[Spook]

Quindi gli autovalori non sono $\lambda_k = \frac{1}{k^4+1}$?

[dissonance]

Non capisco il problema, MathIta. Gli autovalori sono la successione \(1/(k^4+1)\) dove \(k\in\mathbb N\). Come dire, data la matrice diagonale \(\text{diag}(\lambda_k\ :\ k\in\{1,2,\ldots, n\})\), gli autovalori sono \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\). Ah forse stai protestando per l'ultimo messaggio di Spook, dove scrive \(\lambda =...\)? Si, sarebbe meno ambiguo scrivere \(\lambda_k=...\), ma insomma, sono dettagli.

[Spook]

"dissonance":Non capisco il problema, MathIta. Gli autovalori sono la successione \(1/(k^4+1)\) dove \(k\in\mathbb N\). Come dire, data la matrice diagonale \(\text{diag}(\lambda_k\ :\ k\in\{1,2,\ldots, n\})\), gli autovalori sono \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\). Ah forse stai protestando per l'ultimo messaggio di Spook, dove scrive \(\lambda =...\)? Si, sarebbe meno ambiguo scrivere \(\lambda_k=...\), ma insomma, sono dettagli.

Grazie. Quindi ho trovato lo spettro puntuale. Ora cerco di capire il problema dello zero? Qualche indicazione?

[Mathita]

Aspettate, non voglio fare casino, però sono da smart e mi viene difficile essere dettagliato. Io sono partito dall'idea che un autovalore $\lambda$ debba soddisfare $Tx=\lambda x$. Riscrivendo l'equazione per componenti diventa $(Tx)_k=\lambda x_k. $

La tentazione di dedurre $\lambda=1/(k^4+1)$ è molta, però lambda non può dipendere da $k$ (sempre per come interpreto io la traccia.)

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Mathita, gli autovettori sono i vettori $e_k$ (che hanno $1$ nella $k$-esima componente e $0$ altrove).

[Mathita]

Sì, vero @Martino. Mi sono accorto della cazzata qualche minuto dopo. Scusate, mi ritiro nella vergogna.

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

ma figurati

[dissonance]

Era una osservazione corretta, perché io non ho mai detto chi fossero gli autovettori. Infatti, finora ancora non sappiamo se gli autovettori siano tutti e soli i vettori \(e_k\). Non lo abbiamo ancora dimostrato. Ce ne potrebbero essere degli altri.

Comunque, @Spook: per risolvere la questione dello zero, rileggi il mio primo messaggio per favore. "Lo spettro è chiuso..."

[Spook]

Perchè lo zero si trova nello spettro? Ha a che fare col fatto che lo spettro è chiuso?

[dissonance]

Ma certo che si, l'ho già detto cento volte!



Come puoi usare questa informazione per concludere che \(0\) è nello spettro? Ricordati che già conosci gli autovalori.