Analisi superiore

Ciao ragazzi, avrei bisogno di una mano con un esercizio di analisi funzionale: la consegna chiede di dimostrare che un operatore $T : H -> H$ (con $H$ spazio di Hilbert complesso) è continuo, sapendo che $<< Tx,y >> = i << x,Ty >>$ per ogni $x,y in H$. Vorrei dimostrarlo usando il teorema del grafico chiuso: facendo vedere che $"graf"(T) = \{ (x,Tx) |\ x in H\}$ è un insieme chiuso si ottiene la continuità dell'operatore $T$. Sono un po' a corto di idee su come utilizzare ...

Salve a tutti, sto studiando per l'esame di meccanica statistica e sto avendo un po' di problemi nel risolvere gli integrali, potreste spiegarmi cosa sto sbagliando ad esempio in questo \( \int_{0}^{2^{1/3}R} r^2 dr\vartheta (\epsilon -V(1-(r/R)^3) \) dove la theta indica la funzione di Heaviside. ho provato a risolverlo per sostituzione \( V(1-r^3/R^3)=t \rightarrow dt=-3Vr^2/R^3 \) ma non mi sembra di arrivare a conclusioni sensate.. avete qualche suggerimento?

Salve ragazzi, ho alcuni problemi con un esercizio sulla serie di Laurent. Allora la traccia chiede: trovare la serie di Laurent centrata in z=-1 in 0

Ciao, in un tema d'esame ho trovato la seguente domanda: Una funzione f:\(\mathbb{R}\) -> \(\mathbb{R}\) $$ ammette sempre l'estremo superiore essenziale (eventualmente $+\infty$)? la cui risposta è Falso Ora... l'estremo superiore essenziale è per definizione il più piccolo dei maggioranti che maggiora $f$ quasi ovuque in \(\mathbb{R}\). Utilizzando un linguaggio non molto formale, possiamo dire (?) che, a meno di un insieme di misura nulla, il ...

Buona giornata! Al corso di Istituzioni di Meccanica Quantistica ci sono stati presentati i polinomi di Laguerre per descrivere le autofunzioni dell'hamiltoniano per l'atomo di idrogeno. In base alla nostra trattazione, essi sono funzioni del tipo \(\displaystyle L_r^s(\rho) \) che soddisfano l'equazione \(\displaystyle \frac{d^2 L_r^s}{d\rho^2} + \left( \frac{s+1}{\rho} - 1 \right) \frac{dL_r^s}{d\rho} + \frac{r-s}{\rho} L_r^s(\rho) = 0 \;\;\;\; r\geqslant 0, \; 0\leqslant s \leqslant r \;\; ...

Sia \(X\) una superficie di Riemann e \( p \in X \). Usando coordinate locali \(z=x+iy \) attorno a \(p \), otteniamo una base dello spazio tangente e dello spazio cotangente in \(p \): \(T_p X \simeq \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial x} \oplus \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \) e \( T_p^{\ast} X = \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{R}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus \mathbb{R} \cdot dy \) rispettivamente. Dove \( (dx,dy ) \) è la base duale a \( ( ...

Supponiamo di avere $C^0([0,1],\mathbb{R})$ con la norma della convergenza uniforme. So che la successione $f_n(x):=x^n$ non converge in norma in $X$. Come posso dimostrare che non ha nessuna sottosuccessione convergente? Intendo tramite le definizioni e il criterio di Cauchy. Non mi sembra ovvio! Esistono successioni che pur non essendo convergenti hanno una o più sottosuccessioni convergenti. Grazie in anticipo

Salve, In un esercizio devo calcolare la trasformata di una convoluzione, il tutto secondo Fourier: $F{e^(-|2x|cospix)**e^(-x)H(x-5)}$ $H(x)={(1, x>=0),(0, x<0):}$ è la funzione di Heaviside Vedendo il coseno all'esponente e gli argomenti della seconda funzione ho subito scartato la proprietà: $F{f**g}=F(k)*G(k)$ Ho pensato di calcolare la convoluzione direttamente tramite la definizione (e commutando i termini), quindi: $e^(-|2x|cospix)**e^(-x)H(x-5)=int_(-infty)^(infty)e^(y-x)H(x-y-5)e^(-|2y|cospiy)dy$ Considerando i valori che assume la funzione $H(x-y-5)$ l'integrale ...

Buongiorno a tutti, mi è stato posto in studio il seguente insieme per valutare se è stellato e semplicemente connesso: Il sottoinsieme aperto e limitato D di $ mathbb(R)^2 $ è un cerchio privato di un altro cerchio più piccolo, interno al primo e ad esso tangente in un punto del bordo. Capisco da solo che D non è stellato, ma non perchè è semplicemente connesso! Il ragionamento che faccio io è che se prendessi una curva compresa tra le due circonferenze (e dunque passante per il punto di ...

Domanda legata a questa https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=223353 Mi sono reso conto di una cosa cercando di risolvere questo esercizio Consideriamo una passeggiata aleatoria semplice modificata su \( \mathbb{Z} \) che parte da \(0\) e che salta con probabilità \( 3/4 \) a destra e con probabilità \(1/4\) a sinistra. Dimostra che il valore atteso del numero di visite di \(0\) è finito. Dimostra che è uguale al seguente integrale \[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1- \frac{1}{2} \cos \xi - \frac{1}{2} e^{i ...

Buonasera, ho un problema da risolvere relativo all'applicazione dell'uguaglianza di Parseval. L'esercizio chiedeva di calcolare la trasformata di Fourier della funzione: $f(x)=\frac{1}{(x+1-2i)\cdot (x-1+2i)}$ e questo l'ho fatto ottenendo $F(x)=\frac{\sqrt{2\pi}i}{2i-1}\cdot \cos(\omega\cdot (i+2))$ adesso però chiede di dimostrare quest'uguaglianza $\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\left[ (x+1)^2 +4\right]\cdot[(x-1)^2 +4] }d\omega=\frac{\pi}{20}$ utilizzando l'identità di Parseval. Ho provato a risolverlo ma non riesco ad ottenere questa uguaglianza. Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!

Esercizio: Si consideri la funzione : $f(z)=z/(1+z^3)$ a)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE POSITIVE e specificare il cerchio di convergenza b)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE NEGATIVE e specificare il cerchio di convergenza PROBLEMA: non ho capito se 1°possibilità: bisogna assumere come centro dello sviluppo: l'origine oppure 2° possibilità:il centro è a nostra discrezione . Ho deciso di seguire la 2°via. La mia idea è stata quella di studiarmi ...

Salve, avrei un dubbio per quanto concerne la convergenza sul bordo . In R e cioè data la Serie della forma: $ suma_n(x-x_0)^n $ , per studiare se la Serie converga o meno sugli estremi dell'Intervallo di Convergenza, mi basta: "Sostituire il punto $x=x_0+rho$ ed il punto $x=x_0-rho$ e studiarmi il comportamento della Serie numerica ottenuta a partire da quella Serie di funzioni" Domanda: Ma in C e cioè data la Serie della forma $ suma_n(z-z_0)^n $ , come si ragiona? ...

Calcolare: $ int_gamma sin(2z^2+3z+1)/(z-pi)dz $ dove $ gamma={z in C: |z-pi|=1} $ Ho riconosciuto che la curva è una circonferenza di Centro: $(pi,0)$ e raggio $r=1$ e che la funzione ammette 1 POLO di Ordine I in $z=pi$ (modo1) Siccome ho 1 sola singolarità che si trova "all'interno" del Dominio D --> ho utilizzato la [I FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY] ottenendo che: $ int_gamma sin(2z^2+3z+1)/(z-pi)dz=2piilim_(z->pi) sin(2z^2+3z+1)=2piisin(2pi^2+3pi+1)~= -5.96648i $ (modo2) Dopodiché, ho provato a rifare l'integrale utilizzando la definizione Quindi ho la ...

Ciao a tutti, non riesco a svolgere questo limite $lim_(x->0^+)(sqrt{x})^x$ grazie mille in anticipo!

[hl][/hl]Nel calcolo del seguente integrale : $ int_(0)^(+infty) (x^3sinx)/((1+x^2)(4+x^2)) dx $ ho i seguenti problemi: PROBLEMA1. io mi trovo che vale: $ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]$ che è diverso da $(pi(e-4))/(6e^2)$ (Risultato fornito da Wolfram) PROBLEMA2. ho applicato il [Lemma del grande cerchio] (2°lemma di Jordan) , ma andando a verificare il $lim_( z->infty) zf(z)$ ho che questo limite non fa $0$ ma fa $infty$ Ragionamento seguito: 1.Considerato che f è PARI , ho calcolato quell'integrale come "metà" del ...

Buonasera, sto cercando di dimostrare questa uguaglianza ma non riesco in alcun modo. Mi potreste aiutare $ Arg[(e^(-jw)-r e^(-jvartheta))/(1-re^(jvartheta)e^(-jw))]= -w-2arctan[(rsin(w-vartheta))/(1-rcos(w-vartheta ))] $ Per comodità potete supporre il numero complesso $ r*e^(jvartheta ) $ puramente reale, quindi porre $ vartheta =0 $. Grazie mille in anticipo a chiunque potrà aiutarmi!

Come da titolo: devo classificare le singolarità della seguente funzione: $f(z)=(z(z+1))/sin(z+1)$ Il libro suggerisce che ci sono due poli semplici, ma purtroppo non mi trovo con questo risultato. Siccome il seno è di periodicità $2pi$ ho considerato sia A)la possibilità di ragionare nell'intervallo $[-pi,pi]$ B) che l'alternativa fornita dall'intervallo $[0,2pi]$ A)nel primo caso, ho trovato che la funzione ammette "infiniti punti di singolarità" della forma ...

Salve, ho difficolta nel risolvere questo esercizio di esame di Analisi 2 : Calcolare utilizzando i metodi dell'analisi complessa(quindi con il teorema dei residui) l'integrale integrale da 0 a +infinito di (lnx)/(x^2 +4) dx Il mio professore non ha mai risolto esercizi di questo tipo con il logartimo , dunque non saprei da dove inziare e come considerare per l'appunto il logaritmo. Grazie in anticipo per la risposta.

Data la funzione complessa di variabile complessa $ f(z)=\frac{1}{\sqrt(z)-1} $ 1) Determinare e caratterizzare i punti di non analiticità $ f(z)=\frac{1}{\sqrt(z)-1}=\frac{1}{\sqrt(z)-1}\frac{\sqrt(z)+1}{\sqrt(z)+1}=\frac{\sqrt(z)+1}{z-1} $ La funzione ha una singolarità polare in $z=1$, infatti $ lim_(z -> 1)\frac{\sqrt(z)+1}{z-1}=\infty $ Tale polo è semplice perchè annulla una volta il denominatore (ma non contemporaneamente il numeratore) La funzione ha un punto di diramazione in $z=0$ 2) Si calcoli l'integrale della funzione lungo un circonferenza di raggio ...