Analisi superiore
Discussioni su calcolo di variabile complessa, distribuzioni, Trasformata di Fourier, Teoria della misura, Analisi funzionale, Equazioni alle derivate parziali, Calcolo delle Variazioni e oltre.
Domande e risposte
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Buona giornata!
Al corso di Istituzioni di Meccanica Quantistica ci sono stati presentati i polinomi di Laguerre per descrivere le autofunzioni dell'hamiltoniano per l'atomo di idrogeno. In base alla nostra trattazione, essi sono funzioni del tipo \(\displaystyle L_r^s(\rho) \) che soddisfano l'equazione
\(\displaystyle \frac{d^2 L_r^s}{d\rho^2} + \left( \frac{s+1}{\rho} - 1 \right) \frac{dL_r^s}{d\rho} + \frac{r-s}{\rho} L_r^s(\rho) = 0 \;\;\;\; r\geqslant 0, \; 0\leqslant s \leqslant r \;\; ...
Sia \(X\) una superficie di Riemann e \( p \in X \). Usando coordinate locali \(z=x+iy \) attorno a \(p \), otteniamo una base dello spazio tangente e dello spazio cotangente in \(p \): \(T_p X \simeq \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial x} \oplus \mathbb{R} \cdot \frac{ \partial }{\partial y} \) e \( T_p^{\ast} X = \operatorname{Hom}_{\mathbb{R}}(T_pX, \mathbb{R}) = \mathbb{R} \cdot dx \oplus \mathbb{R} \cdot dy \) rispettivamente. Dove \( (dx,dy ) \) è la base duale a \( ( ...
Supponiamo di avere $C^0([0,1],\mathbb{R})$ con la norma della convergenza uniforme. So che la successione $f_n(x):=x^n$ non converge in norma in $X$. Come posso dimostrare che non ha nessuna sottosuccessione convergente? Intendo tramite le definizioni e il criterio di Cauchy. Non mi sembra ovvio! Esistono successioni che pur non essendo convergenti hanno una o più sottosuccessioni convergenti.
Grazie in anticipo
Salve,
In un esercizio devo calcolare la trasformata di una convoluzione, il tutto secondo Fourier:
$F{e^(-|2x|cospix)**e^(-x)H(x-5)}$
$H(x)={(1, x>=0),(0, x<0):}$ è la funzione di Heaviside
Vedendo il coseno all'esponente e gli argomenti della seconda funzione ho subito scartato la proprietà: $F{f**g}=F(k)*G(k)$
Ho pensato di calcolare la convoluzione direttamente tramite la definizione (e commutando i termini), quindi:
$e^(-|2x|cospix)**e^(-x)H(x-5)=int_(-infty)^(infty)e^(y-x)H(x-y-5)e^(-|2y|cospiy)dy$
Considerando i valori che assume la funzione $H(x-y-5)$ l'integrale ...
Buongiorno a tutti,
mi è stato posto in studio il seguente insieme per valutare se è stellato e semplicemente connesso:
Il sottoinsieme aperto e limitato D di $ mathbb(R)^2 $ è un cerchio privato di un altro cerchio più piccolo, interno al primo e ad esso tangente in un punto del bordo.
Capisco da solo che D non è stellato, ma non perchè è semplicemente connesso! Il ragionamento che faccio io è che se prendessi una curva compresa tra le due circonferenze (e dunque passante per il punto di ...
Domanda legata a questa https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=54&t=223353
Mi sono reso conto di una cosa cercando di risolvere questo esercizio
Consideriamo una passeggiata aleatoria semplice modificata su \( \mathbb{Z} \) che parte da \(0\) e che salta con probabilità \( 3/4 \) a destra e con probabilità \(1/4\) a sinistra. Dimostra che il valore atteso del numero di visite di \(0\) è finito. Dimostra che è uguale al seguente integrale
\[ \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1}{1- \frac{1}{2} \cos \xi - \frac{1}{2} e^{i ...
Buonasera, ho un problema da risolvere relativo all'applicazione dell'uguaglianza di Parseval.
L'esercizio chiedeva di calcolare la trasformata di Fourier della funzione:
$f(x)=\frac{1}{(x+1-2i)\cdot (x-1+2i)}$
e questo l'ho fatto ottenendo
$F(x)=\frac{\sqrt{2\pi}i}{2i-1}\cdot \cos(\omega\cdot (i+2))$
adesso però chiede di dimostrare quest'uguaglianza
$\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\left[ (x+1)^2 +4\right]\cdot[(x-1)^2 +4] }d\omega=\frac{\pi}{20}$
utilizzando l'identità di Parseval. Ho provato a risolverlo ma non riesco ad ottenere questa uguaglianza.
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!
Esercizio: Si consideri la funzione : $f(z)=z/(1+z^3)$
a)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE POSITIVE
e specificare il cerchio di convergenza
b)Esprimere la funzione f come SERIE DI POTENZE NEGATIVE
e specificare il cerchio di convergenza
PROBLEMA: non ho capito se
1°possibilità: bisogna assumere come centro dello sviluppo: l'origine
oppure
2° possibilità:il centro è a nostra discrezione .
Ho deciso di seguire la 2°via.
La mia idea è stata quella di studiarmi ...
Salve, avrei un dubbio per quanto concerne la convergenza sul bordo .
In R e cioè data la Serie della forma: $ suma_n(x-x_0)^n $ ,
per studiare se la Serie converga o meno sugli estremi dell'Intervallo di Convergenza, mi basta:
"Sostituire il punto $x=x_0+rho$ ed il punto $x=x_0-rho$ e studiarmi il comportamento della Serie numerica ottenuta a partire da quella Serie di funzioni"
Domanda: Ma in C e cioè data la Serie della forma $ suma_n(z-z_0)^n $ , come si ragiona?
...
Calcolare:
$ int_gamma sin(2z^2+3z+1)/(z-pi)dz $ dove $ gamma={z in C: |z-pi|=1} $
Ho riconosciuto che la curva è una circonferenza di Centro: $(pi,0)$ e raggio $r=1$
e che la funzione ammette 1 POLO di Ordine I in $z=pi$
(modo1)
Siccome ho 1 sola singolarità che si trova "all'interno" del Dominio D -->
ho utilizzato la [I FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY]
ottenendo che: $ int_gamma sin(2z^2+3z+1)/(z-pi)dz=2piilim_(z->pi) sin(2z^2+3z+1)=2piisin(2pi^2+3pi+1)~= -5.96648i $
(modo2)
Dopodiché, ho provato a rifare l'integrale utilizzando la definizione
Quindi ho la ...
Ciao a tutti, non riesco a svolgere questo limite
$lim_(x->0^+)(sqrt{x})^x$
grazie mille in anticipo!
[hl][/hl]Nel calcolo del seguente integrale : $ int_(0)^(+infty) (x^3sinx)/((1+x^2)(4+x^2)) dx $
ho i seguenti problemi:
PROBLEMA1. io mi trovo che vale: $ipi [2/3isinh(2)-isinh(1)/6]$ che è diverso da $(pi(e-4))/(6e^2)$ (Risultato fornito da Wolfram)
PROBLEMA2. ho applicato il [Lemma del grande cerchio] (2°lemma di Jordan) , ma andando a verificare il $lim_( z->infty) zf(z)$ ho che questo limite non fa $0$ ma fa $infty$
Ragionamento seguito:
1.Considerato che f è PARI , ho calcolato quell'integrale come "metà" del ...
Buonasera, sto cercando di dimostrare questa uguaglianza ma non riesco in alcun modo. Mi potreste aiutare
$ Arg[(e^(-jw)-r e^(-jvartheta))/(1-re^(jvartheta)e^(-jw))]= -w-2arctan[(rsin(w-vartheta))/(1-rcos(w-vartheta ))] $
Per comodità potete supporre il numero complesso $ r*e^(jvartheta ) $ puramente reale, quindi porre $ vartheta =0 $.
Grazie mille in anticipo a chiunque potrà aiutarmi!
Come da titolo: devo classificare le singolarità della seguente funzione: $f(z)=(z(z+1))/sin(z+1)$
Il libro suggerisce che ci sono due poli semplici, ma purtroppo non mi trovo con questo risultato.
Siccome il seno è di periodicità $2pi$ ho considerato sia
A)la possibilità di ragionare nell'intervallo $[-pi,pi]$
B) che l'alternativa fornita dall'intervallo $[0,2pi]$
A)nel primo caso, ho trovato che la funzione ammette "infiniti punti di singolarità" della forma ...
Salve, ho difficolta nel risolvere questo esercizio di esame di Analisi 2 :
Calcolare utilizzando i metodi dell'analisi complessa(quindi con il teorema dei residui) l'integrale integrale da 0 a +infinito di (lnx)/(x^2 +4) dx
Il mio professore non ha mai risolto esercizi di questo tipo con il logartimo , dunque non saprei da dove inziare e come considerare per l'appunto il logaritmo. Grazie in anticipo per la risposta.
Data la funzione complessa di variabile complessa
$ f(z)=\frac{1}{\sqrt(z)-1} $
1) Determinare e caratterizzare i punti di non analiticità
$ f(z)=\frac{1}{\sqrt(z)-1}=\frac{1}{\sqrt(z)-1}\frac{\sqrt(z)+1}{\sqrt(z)+1}=\frac{\sqrt(z)+1}{z-1} $
La funzione ha una singolarità polare in $z=1$, infatti
$ lim_(z -> 1)\frac{\sqrt(z)+1}{z-1}=\infty $
Tale polo è semplice perchè annulla una volta il denominatore (ma non contemporaneamente il numeratore)
La funzione ha un punto di diramazione in $z=0$
2) Si calcoli l'integrale della funzione lungo un circonferenza di raggio ...
TRACCIA: determinare per quali valori del Parametro $ alpha in R $ , la funzione :
$u(x,y)=cosx(e^(alphay)+e^-y)$
è la PARTE REALE di una funzione olomorfa f(z) . E poi trovare tali funzioni f(z).
Problemi da me riscontrati:
L'esercizio in sé sono riuscito a farlo, ma ho dovuto apportare delle modifiche alla risoluzione fornita
dall'eserciziario , in quanto in alcuni STEP ho avuto risultati discordanti.
STEP1. Verifico per quali valori di ...
Traccia: Sia $u(x,y)=x^2+2xy-y^2$,
Determinare una funzione OLOMORFA di cui u(x,y) è la PARTE REALE
Ho svolto il seguente esercizio in due modi che però portano a due risultati differenti.
Vorrei sapere quale tra i due è quello corretto.
[metodo del libro]
1. Verifico se u(x,y) soddisfa l'EQ. di LAPLACE
$ (partial u)/(partial x)=2x+2y , (partialu)/(partial y)=-2y+2x $
$ (partial^2u)/(partialx^2) =2, (partial^2u)/(partialy^2)=-2 $
dunque: $ (partial^2u)/(partialx^2)+(partial^2u)/(partialy^2)=0---> u(x,y) è ARMONICA$
2. Conoscendo la $u(x,y)$ risaliamo alla corrispettiva $v(x,y)$
In particolare, per le ...
Buonasera, mi servirebbe un aiuto per risolvere un esercizio sullo sviluppo esponenziale di Fourier. Il testo richiedeva di trovare lo sviluppo di Fourier della funzione cosh(x) per -π
Buongiorno, avrei un dubbio sul mio svolgimento del seguente integrale da risolvere col metodo dei residui:
Il risultato dovrebbe essere π e non -π.
Non riesco a capire dove sia l'errore nel procedimento.
Siccome non è indicato nell'immagine, aggiungo che gli integrali su γ e γ' sono nulli per il Lemma di Jordan.
Grazie in anticipo dell'aiuto.
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