Una legge distributiva tra $D$ ed \(\ell^1\)
Sto cercando di costruire una legge distributiva che mi permetta di liftare la monade delle distribuzioni finite agli spazi di Banach, e non so come fare.
In parole povere, c'è una corrispondenza \(D : Set\to Set\) che manda un insieme $X$ nell'insieme delle distribuzioni di probabilità finite su $X$, cioè nell'insieme di tutte le funzioni \(p : X\to [0,1]\) che sono zero ovunque a parte un insieme finito (detto "supporto" di $p$) e tali che \(\sum_x p(x)\) (che è definita, perché in fin dei conti sto sommando un numero finito di termini non nulli) fa 1.
D'altra parte c'è \(\ell^1 : Set \to Ban\) che manda un insieme $X$ nell'insieme di tutte le funzioni \(f : X\to \mathbb R\) con la proprietà che \(\sum |fx| < \infty\); se proprio volete, aggiungiamo anche che il supporto di $f$, nella stessa accezione di prima, è al più un insieme numerabile, e quindi la condizione diventa proprio quella di considerare successioni a modulo sommabile. Il risultato è lo spazio di Banach \((\ell^1(X), \|\_\|_1)\).
Entrambe le corrispondenze sono funtoriali, ma questo non vi interessa. Quello che sto cercando di costruire io è una maniera di "alzare" la definizione di $D$ agli spazi di Banach, producendo per ogni spazio di Banach $X$ uno spazio di banach \(\bar DX\) fatto all'incirca come $DX$ ma "mindful del fatto che $X$ è Banach", per così dire.
Per motivi che non sto qui a spiegare, questa cosa è fattibile se e solo se si può fare quanto segue: costruire, per ogni insieme $X$, una funzione \(\lambda_X : \ell^1(DX)\to D(\ell^1(X))\) (dove a codominio prendo \(\ell^1(X)\) solo come insieme), soggetta a certi assiomi.
Con gli assiomi mi arrangio io, se mi trovate la funzione \(\lambda_X\), o meglio ancora se mi dite dove avete visto una roba simile prima d'ora.
Quello che per il momento mi sembra di saper fare è trovare una \(\pi_X \) nella direzione opposta, mappa che però non mi dice niente di interessante: \(\pi\) dice che se parto da uno spazio convesso, \(\ell^1(X)\) è ancora uno spazio convesso in maniera canonica. Ma è uno spazio vettoriale, è convesso anche grazie al ca
In parole povere, c'è una corrispondenza \(D : Set\to Set\) che manda un insieme $X$ nell'insieme delle distribuzioni di probabilità finite su $X$, cioè nell'insieme di tutte le funzioni \(p : X\to [0,1]\) che sono zero ovunque a parte un insieme finito (detto "supporto" di $p$) e tali che \(\sum_x p(x)\) (che è definita, perché in fin dei conti sto sommando un numero finito di termini non nulli) fa 1.
D'altra parte c'è \(\ell^1 : Set \to Ban\) che manda un insieme $X$ nell'insieme di tutte le funzioni \(f : X\to \mathbb R\) con la proprietà che \(\sum |fx| < \infty\); se proprio volete, aggiungiamo anche che il supporto di $f$, nella stessa accezione di prima, è al più un insieme numerabile, e quindi la condizione diventa proprio quella di considerare successioni a modulo sommabile. Il risultato è lo spazio di Banach \((\ell^1(X), \|\_\|_1)\).
Entrambe le corrispondenze sono funtoriali, ma questo non vi interessa. Quello che sto cercando di costruire io è una maniera di "alzare" la definizione di $D$ agli spazi di Banach, producendo per ogni spazio di Banach $X$ uno spazio di banach \(\bar DX\) fatto all'incirca come $DX$ ma "mindful del fatto che $X$ è Banach", per così dire.
Per motivi che non sto qui a spiegare, questa cosa è fattibile se e solo se si può fare quanto segue: costruire, per ogni insieme $X$, una funzione \(\lambda_X : \ell^1(DX)\to D(\ell^1(X))\) (dove a codominio prendo \(\ell^1(X)\) solo come insieme), soggetta a certi assiomi.
Con gli assiomi mi arrangio io, se mi trovate la funzione \(\lambda_X\), o meglio ancora se mi dite dove avete visto una roba simile prima d'ora.
Quello che per il momento mi sembra di saper fare è trovare una \(\pi_X \) nella direzione opposta, mappa che però non mi dice niente di interessante: \(\pi\) dice che se parto da uno spazio convesso, \(\ell^1(X)\) è ancora uno spazio convesso in maniera canonica. Ma è uno spazio vettoriale, è convesso anche grazie al ca
Risposte
"megas_archon":Non è ovvio che se \( \sum_{x\in X}\lvert{f(x)}\rvert < +\infty \) allora \( \operatorname{spt}(f) \) è al più numerabile? Per ogni \( \epsilon > 0 \) esistono solo finiti \( x\in X \) tali che \( \lvert f(x)\rvert > \epsilon \) (altrimenti, se hai \( \lvert f(x)\rvert > \epsilon \) per qualche \( \epsilon > 0 \) per un numero infinito di \( x \), per ogni \( M > 0 \) puoi trovare un \( Y\subset X \) finito tale che \( \sum_{y\in Y}\lvert f(x)\rvert > M \): ti basta prendere \( Y \) fatto solo da \( x\in X \) tali che \( \lvert f(x)\rvert > \epsilon \) di cardinalità abbastanza grande; a questo punto osserva che \( \operatorname{spt}(f) = \bigcup_{n\in \mathbb N}\{x\in X : \lvert f(x)\rvert > 1/n\} \), amen).
D'altra parte c'è \( \ell^1 : Set \to Ban \) che manda un insieme $ X $ nell'insieme di tutte le funzioni \( f : X\to \mathbb R \) con la proprietà che \( \sum |fx| < \infty \); se proprio volete, aggiungiamo anche che il supporto di $ f $, nella stessa accezione di prima, è al più un insieme numerabile, e quindi la condizione diventa proprio quella di considerare successioni a modulo sommabile. Il risultato è lo spazio di Banach \( (\ell^1(X), \|\_\|_1) \).
"megas_archon":Due cose scritte a **** duro senza aver paura di mettermi in ridicolo:
costruire, per ogni insieme \( X \), una funzione \( \lambda_X\colon \ell^1(DX)\to D(\ell^1(X)) \) (dove a codominio prendo \( \ell^1(X) \) solo come insieme), soggetta a certi assiomi.
1) Per ogni \( p\in DX \) denota con \( \mathbb P_p \) la misura di probabilità associata, e presa una successione \( (a_p)_{p\in DX} \) in \( \ell^1(DX) \) prova a definire una distribuzione discreta \( q\colon \ell^1(X)\to \left[0,1\right] \) considerando, per ogni \( f = (f(x))_{x\in X}\in \ell^1(X) \), l'insieme (numerabile) di tutti gli integrali \( \int_X a_p f\,\mathrm d\mathbb P_p \) al variare di \( p\in DX \).
2) Trova un modo per costruire una densità discreta su \( \ell^1(X) \) a partire dal dato di una \( (a_p)_{p\in DX}\in \ell^1(DX) \); la tua \( q \) allora è la sua distribuzione associata.
"marco2132k":Data la successione \( (a_p)_{p\in DX} \), e fissata \(f\in\ell^1(X)\), l'integrale \( \int_X a_p f\,\mathrm dp \) è il termine di una successione indicizzata da $p$: a me serve un numero reale, perché serve un elemento di \(D\ell^1(X)\) -tra l'altro a supporto finito. Ma per ottenere dalla successione \(p\mapsto \int_X a_p f\,\mathrm dp\) un numero reale, a questo punto, cosa stiamo considerando?
Per ogni \( p\in DX \) denota con \( \mathbb P_p \) la misura di probabilità associata, e presa una successione \( (a_p)_{p\in DX} \) in \( \ell^1(DX) \) prova a definire una distribuzione discreta \( q\colon \ell^1(X)\to \left[0,1\right] \) considerando, per ogni \( f = (f(x))_{x\in X}\in \ell^1(X) \), l'insieme (numerabile) di tutti gli integrali \( \int_X a_p f\,\mathrm d\mathbb P_p \) al variare di \( p\in DX \).
1. \(\sum_p \left|\int_X a_p f\,\mathrm dp\right|\)
2. \(\sup_p\left|\int_X a_p f\,\mathrm dp\right|\)
3. ...altro?
Con un po' di maggiorazioni adesso potrebbe partire la magia, ma è tardi e non voglio pensare, fammi tu il conto e ti metto negli acknowledgements.
Dunque, mi sembra che succeda una robina del genere: voglio definire innanzitutto una funzione
\[
\begin{CD}\lambda : \ell^1(DX) @>>> \hat D(\ell^1(X)) \end{CD}
\] ove \(\hat D\) è lo spazio delle distribuzioni non normalizzate (\(\sum_x px\) fa un numero finito non nullo). Dato un elemento \(a\in \ell^1(DX)\) è una buona idea definire l'integrale
\[
\int_X a(p)f(x) dp(x)
\] dove le notazioni sono come nel post precedent, il che signific che \(dp\) è la misura associata a \(p\) e sto integrando su tutto \(X\) rispetto alla misura costì definìta.
Ora, il fatto è che \(\int_X a(p)f(x)dp(x)\) è limitata, perché \(\sup_p \int_x a(p)f(x) dp(x) < \|a\|_\infty \cdot \|f\|_\infty\), le quali sono finite perché la norma infinito è ovviamente minore della norma \(\ell^1\). Ma allora perché non definire \(\lambda_X(a)(f) := \sup_p\int_X a(p)f(x) dp(x)\)? Questo numero è finito (e maggiore di zero se non considero le successioni costanti in 0, questo posso farlo perché il mio problema dice che posso trattare quel caso a parte, quindi zero preocupe), quindi posso normalizzarlo: \(a\mapsto(f\mapsto \frac 1{\lambda_X(a)(f)}\lambda_X(a)(f))\) è un buon candidato per la cosa che voglio.
\[
\begin{CD}\lambda : \ell^1(DX) @>>> \hat D(\ell^1(X)) \end{CD}
\] ove \(\hat D\) è lo spazio delle distribuzioni non normalizzate (\(\sum_x px\) fa un numero finito non nullo). Dato un elemento \(a\in \ell^1(DX)\) è una buona idea definire l'integrale
\[
\int_X a(p)f(x) dp(x)
\] dove le notazioni sono come nel post precedent, il che signific che \(dp\) è la misura associata a \(p\) e sto integrando su tutto \(X\) rispetto alla misura costì definìta.
Ora, il fatto è che \(\int_X a(p)f(x)dp(x)\) è limitata, perché \(\sup_p \int_x a(p)f(x) dp(x) < \|a\|_\infty \cdot \|f\|_\infty\), le quali sono finite perché la norma infinito è ovviamente minore della norma \(\ell^1\). Ma allora perché non definire \(\lambda_X(a)(f) := \sup_p\int_X a(p)f(x) dp(x)\)? Questo numero è finito (e maggiore di zero se non considero le successioni costanti in 0, questo posso farlo perché il mio problema dice che posso trattare quel caso a parte, quindi zero preocupe), quindi posso normalizzarlo: \(a\mapsto(f\mapsto \frac 1{\lambda_X(a)(f)}\lambda_X(a)(f))\) è un buon candidato per la cosa che voglio.
Adesso però devo dimostrare che
1. \(\Phi : a\mapsto(f\mapsto \frac 1{\lambda_X(a)(f)}\lambda_X(a)(f))\) è naturale in $X$;
2. Valgono questi assiomi qua: https://ncatlab.org/nlab/show/distributive+law
...questi sono i momenti in cui vorrei che i proof assistant si digi-evolvessero all'istante.
1. \(\Phi : a\mapsto(f\mapsto \frac 1{\lambda_X(a)(f)}\lambda_X(a)(f))\) è naturale in $X$;
2. Valgono questi assiomi qua: https://ncatlab.org/nlab/show/distributive+law
...questi sono i momenti in cui vorrei che i proof assistant si digi-evolvessero all'istante.
Ho fatto un po' di esperimenti stupidi e non vedo per quale motivo, data una funzione \(u : X\to Y\), il quadrato
\[
\begin{CD}
\ell^1(DX) @>>> \ell^1(DY) \\
@VVV@VVV \\
D(\ell^1 X) @>>> D(\ell^1 Y)
\end{CD}
\] debba essere commutativo. Però mi è venuta un'altra idea per normalizzare la distribuzione ottenuta, cioè usare l'anti-isomorfismo \(x\mapsto \exp(-x) : [0,\infty)\to (0,1]\) per ottenere, da un "funzionale" \(\ell^1(X)\to [0,\infty)\) uno \(\ell^1(X)\to (0,1]\) per composizione. Non dico che funzioni, è solo più ganzo da scrivere. Del resto, ora, data una funzione \(u : X\to Y\) vedi un motivo per cui debba essere vera una oscenità come
\[\exp\left(-\,{\textstyle\sup_q}\int_X\left(\textstyle\sum_{\{p\mid Du(p)=q\}} a(p) \right )g(x)dq(x)\right) =
\sum_{\{f\mid \ell^1u(f)=g\}} \exp\left(-\textstyle\sup_p\int_X a(p)f(x)dp(x) \right )\]per ogni \(g\in \ell^1(Y)\).
\[
\begin{CD}
\ell^1(DX) @>>> \ell^1(DY) \\
@VVV@VVV \\
D(\ell^1 X) @>>> D(\ell^1 Y)
\end{CD}
\] debba essere commutativo. Però mi è venuta un'altra idea per normalizzare la distribuzione ottenuta, cioè usare l'anti-isomorfismo \(x\mapsto \exp(-x) : [0,\infty)\to (0,1]\) per ottenere, da un "funzionale" \(\ell^1(X)\to [0,\infty)\) uno \(\ell^1(X)\to (0,1]\) per composizione. Non dico che funzioni, è solo più ganzo da scrivere. Del resto, ora, data una funzione \(u : X\to Y\) vedi un motivo per cui debba essere vera una oscenità come
\[\exp\left(-\,{\textstyle\sup_q}\int_X\left(\textstyle\sum_{\{p\mid Du(p)=q\}} a(p) \right )g(x)dq(x)\right) =
\sum_{\{f\mid \ell^1u(f)=g\}} \exp\left(-\textstyle\sup_p\int_X a(p)f(x)dp(x) \right )\]per ogni \(g\in \ell^1(Y)\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo