Delta di Dirac in forma integrale:
Buongiorno,
è molto tempo che non uso gli integrali complessi e sto dimenticando parecchie cose, così quando mi sono imbattuto nel seguente integrale che sembra molto facile ho scoperto
di non ricordarmi come si risolve.
$\int_{x_0-i\infty}^{x_0+i\infty} e^{xz}dz=2i\pi \delta (x)$
Potreste darmi una mano ?
Avevo pensato che:
Considerando una curva $\gamma={z: z=x_0+it,$ con $t \in (-\infty ,\infty)}$ allora $\int_{\gamma} e^{xz}dz=\int_{-\infty}^{\infty} e^{x x_0}e^{ixt} (i dt)=2i\pi\delta(x)e^{x x_0}$
Ma dato che sotto il segno di integrale $\delta(x)e^{x x_0}$ e $\delta(x)$ danno lo stesso risultato posso togliere $e^{x x_0}$.
Tutto sommato quindi il risultato mi pare abbia senso, ma volevo vedere se c'era un modo di ottenere il risultato con il quale $e^{x x_0}$ non comparisse.
Ricordando che spesso usavo il trucco di sfruttare il Teorema di Cauchy con un contorno chiuso avevo pensato di prendere un rettangolo di lati:
$L_1={z: z=-iR+t,$ con $ t \in (0,x_0)}$
$L_2={z: z=x_0+it,$ con $ t \in (-R,R)}$
$L_3={z: z=iR+t,$ con $ t \in (x_0,0)}$
$L_4={z: z=it,$ con $ t \in (R,-R)}$
Speravo nel fatto che al limite per $R->\infty$ gli integrali sui due lati orizzontali $L_1$ ed $L_4$ sarebbero spariti in qualche maniera, ma i conti non tornano
Dove sto sbagliando??
è molto tempo che non uso gli integrali complessi e sto dimenticando parecchie cose, così quando mi sono imbattuto nel seguente integrale che sembra molto facile ho scoperto
di non ricordarmi come si risolve.$\int_{x_0-i\infty}^{x_0+i\infty} e^{xz}dz=2i\pi \delta (x)$
Potreste darmi una mano ?
Avevo pensato che:
Considerando una curva $\gamma={z: z=x_0+it,$ con $t \in (-\infty ,\infty)}$ allora $\int_{\gamma} e^{xz}dz=\int_{-\infty}^{\infty} e^{x x_0}e^{ixt} (i dt)=2i\pi\delta(x)e^{x x_0}$
Ma dato che sotto il segno di integrale $\delta(x)e^{x x_0}$ e $\delta(x)$ danno lo stesso risultato posso togliere $e^{x x_0}$.
Tutto sommato quindi il risultato mi pare abbia senso, ma volevo vedere se c'era un modo di ottenere il risultato con il quale $e^{x x_0}$ non comparisse.
Ricordando che spesso usavo il trucco di sfruttare il Teorema di Cauchy con un contorno chiuso avevo pensato di prendere un rettangolo di lati:
$L_1={z: z=-iR+t,$ con $ t \in (0,x_0)}$
$L_2={z: z=x_0+it,$ con $ t \in (-R,R)}$
$L_3={z: z=iR+t,$ con $ t \in (x_0,0)}$
$L_4={z: z=it,$ con $ t \in (R,-R)}$
Speravo nel fatto che al limite per $R->\infty$ gli integrali sui due lati orizzontali $L_1$ ed $L_4$ sarebbero spariti in qualche maniera, ma i conti non tornano
Dove sto sbagliando??
Risposte
Non capisco. Il primo svolgimento va benissimo. Per quale motivo stai considerando contorni e robe varie?
Immagino che tu abbia ragione e che gli integrali su $L_1$ ed $L_3$ (non $L_4$) tendano a \(0\) per \(R\to \infty\), comunque.
Immagino che tu abbia ragione e che gli integrali su $L_1$ ed $L_3$ (non $L_4$) tendano a \(0\) per \(R\to \infty\), comunque.
si scusa hai ragione era $L_3$. Per risponderti 'non' c'è un buon motivo, semplice curiosità volevo vedere se si poteva fare anche così. Sebbene sia più macchinoso usavo spesso questo approccio. Visto che è un caso molto semplice mi aspettavo di poter riottenere il risultato facilmente anche così, ma qualche cosa non mi tornava. Ora penso di esserci arrivato.
$\int_{L_1}e^{xz}dz=\int_0^{x_0} e^{-iRx+tx}dt=e^{-iRx}(e^{x_0x}-1)$
$\int_{L_3}e^{xz}dz=\int_{x_0}^0 e^{iRx+tx}dt=e^{iRx}(1-e^{x_0x})$
la loro somma da:
$e^{iRx}-e^{-iRx}(1-e^{x_0x})=2i sin(Rx)(1-e^{x_0x})$
$\int_{L_2}e^{xz}dz=-\int_{L_4}e^{xz}dz-2i sin(R)(1-e^{x_0})=2i*sin(R)(e^{x_0}-1)-\int_{R}^{-R}e^{itx}(i dt)$
$\int_{L_2}e^{xz}dz= 2i sin(Rx)(e^{x_0x}-1)+i\int_{-R}^{R}e^{-itx}dt$
Dato che $\delta(x)=lim_{R\to \infty} \frac{1}{\pi}\frac{sin Rx}{x}$:
$lim_{R\to \infty} \int_{L_2}e^{xz}dz=2i\pi [\delta (x)x(e^{x x_0}-1)+\delta (x)] $
ma con lo stesso ragionamento, immaginando di integrare su x una qualche funzione
$\int f(x)\delta (x)x(e^{x x_0}-1)dx=0$
quindi conta solo il secondo pezzo
$\int_{L_1}e^{xz}dz=\int_0^{x_0} e^{-iRx+tx}dt=e^{-iRx}(e^{x_0x}-1)$
$\int_{L_3}e^{xz}dz=\int_{x_0}^0 e^{iRx+tx}dt=e^{iRx}(1-e^{x_0x})$
la loro somma da:
$e^{iRx}-e^{-iRx}(1-e^{x_0x})=2i sin(Rx)(1-e^{x_0x})$
$\int_{L_2}e^{xz}dz=-\int_{L_4}e^{xz}dz-2i sin(R)(1-e^{x_0})=2i*sin(R)(e^{x_0}-1)-\int_{R}^{-R}e^{itx}(i dt)$
$\int_{L_2}e^{xz}dz= 2i sin(Rx)(e^{x_0x}-1)+i\int_{-R}^{R}e^{-itx}dt$
Dato che $\delta(x)=lim_{R\to \infty} \frac{1}{\pi}\frac{sin Rx}{x}$:
$lim_{R\to \infty} \int_{L_2}e^{xz}dz=2i\pi [\delta (x)x(e^{x x_0}-1)+\delta (x)] $
ma con lo stesso ragionamento, immaginando di integrare su x una qualche funzione
$\int f(x)\delta (x)x(e^{x x_0}-1)dx=0$
quindi conta solo il secondo pezzo
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