Derivata non finita
Salve a tutti. Pensando ai punti del dominio di una funzione in cui la derivata è infinita (tangente verticale), mi sono posto il seguente quesito, curioso di sapere se finirà nella sezione "controesempi in analisi", oppure se la tale congettura è dimostrabile: sia una funzione $ f(x) $, e un punto $ c $ del dominio in cui essa è continua, e tale per cui la derivata destra è uguale a $ +oo $; è possibile dimostrare l'esistenza di un intorno destro bucato di $ c $, tale per cui la derivata è sempre positiva? In caso contrario, fornire cortesemente un controesempio.
Risposte
Non capisco ... non è la definizione di derivata?
La derivata non può essere infinita.
A parte questo, la domanda è una cosa simile (per semplicità mi metto nelle ipotesi $f:[a,b] -> RR$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$): se $lim_(x->a) (f(x) - f(a))/(x - a) = + oo$ è vero che esiste un intorno di $a$ in cui $f'(x)>0$?
A parte questo, la domanda è una cosa simile (per semplicità mi metto nelle ipotesi $f:[a,b] -> RR$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$): se $lim_(x->a) (f(x) - f(a))/(x - a) = + oo$ è vero che esiste un intorno di $a$ in cui $f'(x)>0$?
"gugo82":
La derivata non può essere infinita.
A parte questo, la domanda è una cosa simile (per semplicità mi metto nelle ipotesi $f:[a,b] -> RR$ continua in $[a,b]$ e derivabile in $]a,b[$): se $lim_(x->a) (f(x) - f(a))/(x - a) = + oo$ è vero che esiste un intorno di $a$ in cui $f'(x)>0$?
Infinita in senso lato, ovvio che poi, per definizione, la funzione non può essere considerata derivabile in quel punto. A parte questo, a me interessa rispondere al quesito a partire dalle mie ipotesi... ergo, limitiamoci a considerare un funzione semplicemente definita e continua in [a,b] e tale per cui $ lim_(x->a+) (f(x) - f(a))/(x - a) = + oo $; la mia congettura, è dimostrabile?
Scritta così secondo me il problema è questo: $f$ non è definita in $x=a$, devi prendere per forza l'aperto e quindi stai comunque riscrivendo la definizione di derivata ma non è la definizione di derivata perché non è finito il limite.
"Mephlip":
Scritta così secondo me il problema è questo: $f$ non è definita in $x=a$, devi prendere per forza l'aperto e quindi stai comunque riscrivendo la definizione di derivata ma non è la definizione di derivata perché non è finito il limite.
Assolutamente no. Secondo le mie ipotesi, $ f(x) $ è definita e continua in $ [a,b] $, ma semplicemente non derivabile in $ x=a $, visto che $ lim_(x -> a+) (f(x)-f(a))/(x-a)=+oo $.
Oh sì, avevo letto solo $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$; scusa la svista!
"Mephlip":
Oh sì, avevo letto solo $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$; scusa la svista!
Ci mancherebbe.
Considera un intorno \( (c,c+\epsilon) \) laddove \(f'(x) \) è definita, allora \( \lim_{x \to c^+ } f'(x) = + \infty \) e per definizione di limite destro per ogni \( N > 0 \) esiste \( \delta \) tale che se \( 0< x-c \leq \delta \) risulta che \( f'(x) > N \).
Fertig.
Fertig.
"Daken97":
... ergo, limitiamoci a considerare un funzione semplicemente definita e continua in [a,b] e tale per cui $ lim_(x->a+) (f(x) - f(a))/(x - a) = + oo $; la mia congettura, è dimostrabile?
Scusami, ma è la definizione di limite ovvero se il limite di quella espressione è $+infty$ significa che esiste (sempre) un intorno di $a$ per cui $ (f(x) - f(a))/(x - a)>M$ (ovviamente l'intorno dipende dall'$M$ fissato).
E siccome quel limite è la derivata della funzione (che esiste nell'intorno, esclusa $a$), la derivata è positiva in quell'intorno.
No?
Cordialmente, Alex
Non ha senso parlare di intorni di \(a\). Quello che infatti puoi dire, è che esiste un \(a < c\le b\) tale che \(f\) è derivabile e continua in \(]a, c[\) e \(f'(x) > 0\) per ogni \(x\in ]a,c[\). Nota che \(]a,c[\) non è un intorno di \(a\) e nulla si sa su quale sia il comportamento di \(f\) al di fuori di \([a, b]\).
Il problema fondamentale, è proprio "l'ipotesi aggiuntiva" che inserite voi, ovvero che la funzione debba essere quantomeno derivabile in un intorno destro bucato di $ a $. Allora, io vi pongo quest'altra domanda: se la funzione è continua in $ [a,b] $, e $ lim_(x -> a+) (f(a)-f(x))/(a-x)=+oo $, è possibile che non esista un intorno destro bucato di $ a $ in cui la funzione è interamente derivabile?
Scusami ma la domanda che ti ha posto gugo coincide con la tua o no? Se non coincide, dov'è la differenza? Se coincide, come risponderesti?
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
@ Draken97: Guarda che non ho aggiunto nessuna ipotesi.
Hai parlato tu di derivata nel post d'apertura.
Prendiamo:
$f(x) := \{ (sqrt(x) * (2 + sin(1/x)), ", se " x!=0), (0, ", se " x=0):}$
definita in $[0,+oo[$.
Chiaramente $f$ è continua ovunque, derivabile in $]0,+oo[$ ed ha limite del rapporto incrementale uguale a $+oo$ in $0$.
D'altra parte, la $f$ non è monotona in nessun intorno di $0$, dunque la sua derivata non può avere segno costante.
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="dodgerblue";
plot("sqrt(x)*(2+sin(1/x))",0.001,2);[/asvg]
Hai parlato tu di derivata nel post d'apertura.
Prendiamo:
$f(x) := \{ (sqrt(x) * (2 + sin(1/x)), ", se " x!=0), (0, ", se " x=0):}$
definita in $[0,+oo[$.
Chiaramente $f$ è continua ovunque, derivabile in $]0,+oo[$ ed ha limite del rapporto incrementale uguale a $+oo$ in $0$.
D'altra parte, la $f$ non è monotona in nessun intorno di $0$, dunque la sua derivata non può avere segno costante.
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="dodgerblue";
plot("sqrt(x)*(2+sin(1/x))",0.001,2);[/asvg]
"gugo82":
@ Draken97: Guarda che non ho aggiunto nessuna ipotesi.
Hai parlato tu di derivata nel post d'apertura.
Prendiamo:
$f(x) := \{ (sqrt(x) * (2 + sin(1/x)), ", se " x!=0), (0, ", se " x=0):}$
definita in $[0,+oo[$.
Chiaramente $f$ è continua ovunque, derivabile in $]0,+oo[$ ed ha limite del rapporto incrementale uguale a $+oo$ in $0$.
D'altra parte, la $f$ non è monotona in nessun intorno di $0$, dunque la sua derivata non può avere segno costante.
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="dodgerblue";
plot("sqrt(x)*(2+sin(1/x))",0.001,2);[/asvg]
Benissimo, hai trovato un controesempio, perciò hai risposto alla mia domanda iniziale: la risposta è negativa, la mia congettura era confutabile.
"axpgn":
Scusami ma la domanda che ti ha posto gugo coincide con la tua o no? Se non coincide, dov'è la differenza? Se coincide, come risponderesti?
Cordialmente, Alex
Alex, guarda l'ultima risposta di Gugo. Partendo dalle ipotesi che ho citato nel primo post, ha trovato un controesempio, che smentisce inesorabilmente la mia congettura.
Ma io l'avevo chiesto a te 
"axpgn":
Ma io l'avevo chiesto a te
Appunto...
Avete ragione voi, più che altro io volevo partire dall'ipotesi che la funzione fosse semplicemente non derivabile in $ x=a $, senza sapere nulla della derivabilità (la continuità sì) in un intorno destro bucato di quel punto. Ma per il resto, la domanda originaria di Gugo era valida, solo che avevo la necessità di una dimostrazione (fosse stata vera la congettura), o semplicemente di un controesempio, che successivamente mi è stato fornito. Fossi stato in grado di rispondere, nemmeno avrei aperto il topic.
"gugo82":
@ Draken97: Guarda che non ho aggiunto nessuna ipotesi.
Hai parlato tu di derivata nel post d'apertura.
Prendiamo:
$f(x) := \{ (sqrt(x) * (2 + sin(1/x)), ", se " x!=0), (0, ", se " x=0):}$
definita in $[0,+oo[$.
Chiaramente $f$ è continua ovunque, derivabile in $]0,+oo[$ ed ha limite del rapporto incrementale uguale a $+oo$ in $0$.
D'altra parte, la $f$ non è monotona in nessun intorno di $0$, dunque la sua derivata non può avere segno costante.
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
strokewidth=2; stroke="dodgerblue";
plot("sqrt(x)*(2+sin(1/x))",0.001,2);[/asvg]
Gugo,scusami se ti assillo, ma mi potresti cortesemente dimostrare che il limite del rapporto incrementale di quella funzione, fa $ +oo $?
Perché citare tutto?
$lim_(h->0^+) (2+sin(1/h))/sqrt(h)$
$lim_(h->0^+) (2+sin(1/h))/sqrt(h)$
"axpgn":
Perché citare tutto?
$lim_(h->0^+) (2+sin(1/h))/sqrt(h)$
In breve, sì... ma chi è capace, può cortesemente dimostrare che il risultato di quel limite fa $ +oo $ ? Perché sinceramente, a me risulta che tale limite addirittura non esista.
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