Integrale multiplo con $e^(z^2)$
ciao a tutti,
sto preparando l'esame di analisi 2 e mi sono imbattuta in un esercizio che mi chiede di calcolare l'integrale di f(x) in A, definiti come segue:
$A={(x, y, z)∈R^3: x^2+y^2≤z≤1}, f(x)=e^(z^2)$
ho definito $0≤z≤1, -1≤y≤1, -sqrt(1-y^2)≤x≤sqrt(1-y^2)$ e integrato per sostituzione in x e in y e mi sono ritrovata a dover integrare $e^(z^2)$ per z che varia tra 0 e 1 ma non so proprio come fare.
potreste aiutarmi?
sto preparando l'esame di analisi 2 e mi sono imbattuta in un esercizio che mi chiede di calcolare l'integrale di f(x) in A, definiti come segue:
$A={(x, y, z)∈R^3: x^2+y^2≤z≤1}, f(x)=e^(z^2)$
ho definito $0≤z≤1, -1≤y≤1, -sqrt(1-y^2)≤x≤sqrt(1-y^2)$ e integrato per sostituzione in x e in y e mi sono ritrovata a dover integrare $e^(z^2)$ per z che varia tra 0 e 1 ma non so proprio come fare.
potreste aiutarmi?
Risposte
Innanzitutto, il dominio individuato dalle disuguaglianze che hai utilizzato non è quello assegnato nell'esercizio. Perché?
Quindi, anche se fossi riuscita ad integrare, avresti trovato un risultato sbagliato.
Hai provato ad usare coordinate cilindriche, ad esempio?
Quindi, anche se fossi riuscita ad integrare, avresti trovato un risultato sbagliato.
Hai provato ad usare coordinate cilindriche, ad esempio?
ho provato come segue:
$x=\rho*cos(theta)$
$y=\rho*sen(theta)$
ho anche provato ad assegnare $z=\rho^2$
calcolo il determinante dello jacobiano e mi risulta pari a $\rho$
successivamente inizio a integrare con $0\leq\rho\leq1$ e $0\leq\theta\leq2*pi$
con questo arrivo a dover integrare $2*pi*e^(\rho^2)*\rho$ tra gli estremi 0 e 1 e trovo come soluzione $pi*(e-1)$
ho quindi risolto il problema legato all'esponenziale però il risultato non è corretto. dovrebbe infatti essere $pi/2*(e-1)$. dove ho sbagliato?
$x=\rho*cos(theta)$
$y=\rho*sen(theta)$
ho anche provato ad assegnare $z=\rho^2$
calcolo il determinante dello jacobiano e mi risulta pari a $\rho$
successivamente inizio a integrare con $0\leq\rho\leq1$ e $0\leq\theta\leq2*pi$
con questo arrivo a dover integrare $2*pi*e^(\rho^2)*\rho$ tra gli estremi 0 e 1 e trovo come soluzione $pi*(e-1)$
ho quindi risolto il problema legato all'esponenziale però il risultato non è corretto. dovrebbe infatti essere $pi/2*(e-1)$. dove ho sbagliato?
Ciao catetac,
Benvenuta sul forum!
Scusa, ma che cosa significa questa locuzione? Dove varia $z$?
Benvenuta sul forum!
"catetac":
ho anche provato ad assegnare $z=\rho^2 $
Scusa, ma che cosa significa questa locuzione? Dove varia $z$?
L'integrale è triplo, quindi ti servono tre coordinate per un cambiamento di coordinate.
Il passaggio in coordinate cilindriche è descritto dalle formule:
$\{(x = rho cos theta), (y = rho sin theta), (z = h):}$,
ed ha jacobiano $rho$; le disuguaglianze che individuano il tuo dominio si riscrivono:
$0 <= theta <= 2pi$, $rho >= 0$, $r^2 <= h <= 1$
dunque il tuo integrale diventa:
$int_0^(2pi) "d"theta (int_0^1 "d" rho (int_(rho^2)^1 e^(h^2) rho "d"h))$
che non è risolubile elementarmente; quindi cambiamo l'ordine di integrazione, scambiando $rho$ ed $h$, ed otteniamo:
$int_0^(2pi) "d"theta (int_0^1 "d" h (int_0^(sqrt(h)) e^(h^2) rho "d"rho)) = 2pi * int_0^1 e^(h^2) [1/2 rho^2]_0^(sqrt(h)) "d"h = pi*int_0^1 h e^(h^2)"d"h$
da cui segue immediatamente il risultato del libro.
Il passaggio in coordinate cilindriche è descritto dalle formule:
$\{(x = rho cos theta), (y = rho sin theta), (z = h):}$,
ed ha jacobiano $rho$; le disuguaglianze che individuano il tuo dominio si riscrivono:
$0 <= theta <= 2pi$, $rho >= 0$, $r^2 <= h <= 1$
dunque il tuo integrale diventa:
$int_0^(2pi) "d"theta (int_0^1 "d" rho (int_(rho^2)^1 e^(h^2) rho "d"h))$
che non è risolubile elementarmente; quindi cambiamo l'ordine di integrazione, scambiando $rho$ ed $h$, ed otteniamo:
$int_0^(2pi) "d"theta (int_0^1 "d" h (int_0^(sqrt(h)) e^(h^2) rho "d"rho)) = 2pi * int_0^1 e^(h^2) [1/2 rho^2]_0^(sqrt(h)) "d"h = pi*int_0^1 h e^(h^2)"d"h$
da cui segue immediatamente il risultato del libro.
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