Equazione differenziale a variabili separabili
Ciao a tutti, sto svolgendo un esercito sulle equazioni differenziali e mi è richiesto di considerare la soluzione del problema di Cauchy al variare del parametro reale $ alpha $ .
Ecco il problema di Cauchy:
$ { ( y'=(2y+y^2)/(1+x^2) ),( y(0)=alpha ):} $
Io ho trovato la soluzione finale, che è
$ y(x)=(2e^(2arctg(x)))/(((2+alpha)/(alpha))-e^(2arctg(x))) $
La mia domanda è: il primo punto è finito qui così? Nel senso, devo discutere ulteriormente il parametro alpha? L'unica cosa che mi è venuta in mente è stata quella che per alpha=-2 la soluzione diventa y(x)=-2 che è una soluzione costante e per alpha=0 otterrei y(x)=0 che è anche questa una soluzione costante.
Sarebbe sbagliato?
Altra domanda: in generale quando mi viene data un'equazione differenziale di questo tipo devo dire in che intervallo è definita la soluzione e se ci sono soluzioni costanti? (se lo facessi ponendo $ 2y+y^2=0 $ otterrei esattamente quelle due.
La seconda domanda invece vuole che io trovi dei valori di alpha per cui la soluzione sia definita su tutto R. Credo basti porre il denominatore diverso da 0 e trovare l'intervallo di alpha che soddisfa la condizione...
Grazie mille
Ecco il problema di Cauchy:
$ { ( y'=(2y+y^2)/(1+x^2) ),( y(0)=alpha ):} $
Io ho trovato la soluzione finale, che è
$ y(x)=(2e^(2arctg(x)))/(((2+alpha)/(alpha))-e^(2arctg(x))) $
La mia domanda è: il primo punto è finito qui così? Nel senso, devo discutere ulteriormente il parametro alpha? L'unica cosa che mi è venuta in mente è stata quella che per alpha=-2 la soluzione diventa y(x)=-2 che è una soluzione costante e per alpha=0 otterrei y(x)=0 che è anche questa una soluzione costante.
Sarebbe sbagliato?
Altra domanda: in generale quando mi viene data un'equazione differenziale di questo tipo devo dire in che intervallo è definita la soluzione e se ci sono soluzioni costanti? (se lo facessi ponendo $ 2y+y^2=0 $ otterrei esattamente quelle due.
La seconda domanda invece vuole che io trovi dei valori di alpha per cui la soluzione sia definita su tutto R. Credo basti porre il denominatore diverso da 0 e trovare l'intervallo di alpha che soddisfa la condizione...
Grazie mille
Risposte
Qui sei nel caso speciale in cui riesci a calcolarla esplicitamente.
Altrimenti: cerca le soluzioni stazionarie, come hai scritto, che sono date da $f(x,y)=0$ e cioè $y=0$ e $y=-2$ e ragiona utilizzando esistenza e unicità
Altrimenti: cerca le soluzioni stazionarie, come hai scritto, che sono date da $f(x,y)=0$ e cioè $y=0$ e $y=-2$ e ragiona utilizzando esistenza e unicità
Anche senza risolvere la ODE esplicitamente possiamo dire molte cose sull'intervallo di definizione: innanzitutto se $\alpha \in (-2,0)$, allora la soluzione resterà intrappolata (per esistenza e unicità) nella striscia $S= \mathbb{R} \times (-2,0)$. Poiché in $S$ si ha che $y'\leq0$, allora per decrescenza deve essere che $\lim_{x \rightarrow +\infty} y(x)=-2$ in $S$.
Se $y_0 \in (-\infty,0)$, hai che $y(x)$ è limitata dall'alto da $-2$, e poiché $y'(x)>0$ in questa regione, allora la soluzione sarà crescente con limite $\lim_{x \rightarrow +\infty} y(x)=-2$
Per $y_0>0$ invece le cose sono un pelo diverse. Sappiamo solo che la soluzione resterà positiva, ma non sappiamo a priori se è definita su tutto l'intervallo. In pratica, dobbiamo poter escludere che esploda in un tempo finito. Tuttavia, poiché $y(x)>0$ si ha che $$y'(x) = \frac{2y + y^2}{1+x^2} > \frac{y^2}{1+x^2}$$
da cui $$\frac{y'(x)}{y^2(x)} > \frac{1}{1+x^2}$$
Integrando ambo i membri trovi che $$y(x)>\frac{\alpha}{1- \alpha \arctan(x)} \quad \star$$. Qualora $\arctan(x)=\frac{1}{\alpha}$ allora la tua soluzione cesserà di esistere. In particolare, $$\arctan(x)=\frac{1}{\alpha}$$ ha soluzione solo per $\frac{1}{\alpha} \in (0, \frac{\pi}{2})$, perciò $\alpha \in (\frac{2}{\pi}, + \infty)=I$. Perciò, per $\alpha \in I$ sicuramente hai che la soluzione esploderà in un tempo finito. Tuttavia, questo intervallo non è "sharp", nel senso che anche per $\alpha = \frac{1}{2}$ la soluzione esplode in tempo finito. Questo non è una contraddizione: la disuguaglianza ($\star$) vale ancora (a sx hai una quantità che esplode, mentre a destra è ancora finita). Infatti, $\frac{y^2}{1+x^2}$ cresce più lentamente del membro di destra di partenza per $y(x)>0$.
Risolvendo esplicitamente come suggerivi, si trova che per $\alpha \in (0,\frac{2}{e^{pi} -1})$ la soluzione non diverge (nota che non è in contraddizione con quello trovato solamente tramite analisi qualitativa)
Integrando numericamente per diversi valori di $\alpha$ quanto scritto sopra risulta evidente. Mi sono fermato ad $\alpha = 0.9 \approx \frac{2}{e^{pi} -1}$ altrimenti andavo in overflow e non era possibile visualizzare bene il risultato
Se $y_0 \in (-\infty,0)$, hai che $y(x)$ è limitata dall'alto da $-2$, e poiché $y'(x)>0$ in questa regione, allora la soluzione sarà crescente con limite $\lim_{x \rightarrow +\infty} y(x)=-2$
Per $y_0>0$ invece le cose sono un pelo diverse. Sappiamo solo che la soluzione resterà positiva, ma non sappiamo a priori se è definita su tutto l'intervallo. In pratica, dobbiamo poter escludere che esploda in un tempo finito. Tuttavia, poiché $y(x)>0$ si ha che $$y'(x) = \frac{2y + y^2}{1+x^2} > \frac{y^2}{1+x^2}$$
da cui $$\frac{y'(x)}{y^2(x)} > \frac{1}{1+x^2}$$
Integrando ambo i membri trovi che $$y(x)>\frac{\alpha}{1- \alpha \arctan(x)} \quad \star$$. Qualora $\arctan(x)=\frac{1}{\alpha}$ allora la tua soluzione cesserà di esistere. In particolare, $$\arctan(x)=\frac{1}{\alpha}$$ ha soluzione solo per $\frac{1}{\alpha} \in (0, \frac{\pi}{2})$, perciò $\alpha \in (\frac{2}{\pi}, + \infty)=I$. Perciò, per $\alpha \in I$ sicuramente hai che la soluzione esploderà in un tempo finito. Tuttavia, questo intervallo non è "sharp", nel senso che anche per $\alpha = \frac{1}{2}$ la soluzione esplode in tempo finito. Questo non è una contraddizione: la disuguaglianza ($\star$) vale ancora (a sx hai una quantità che esplode, mentre a destra è ancora finita). Infatti, $\frac{y^2}{1+x^2}$ cresce più lentamente del membro di destra di partenza per $y(x)>0$.
Risolvendo esplicitamente come suggerivi, si trova che per $\alpha \in (0,\frac{2}{e^{pi} -1})$ la soluzione non diverge (nota che non è in contraddizione con quello trovato solamente tramite analisi qualitativa)
Integrando numericamente per diversi valori di $\alpha$ quanto scritto sopra risulta evidente. Mi sono fermato ad $\alpha = 0.9 \approx \frac{2}{e^{pi} -1}$ altrimenti andavo in overflow e non era possibile visualizzare bene il risultato
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