Analisi matematica di base

Ciao a tutti, ho un problema con la condizione sufficiente per poter affermare che una funzione è differenziabile in un punto: se una funzione in un punto $(x0,y0)$ esistono tutte le derivate parziali ed esse sono continue in un intorno del punto, allora in quel punto è differenziabile...dunque...per esempio, se abbiamo $f(x,y)=(2xy^(2))/(x^2+y^4)$ per $x,y !=0$ mentre per $x,y=0$ $f(x,y)=0$ Io parto calcolando le derivate parziali ed osservo che nell'origine queste sono ...

Ciao a tutti, oggi sto cercando di risolvere questo Problema di Cauchy: \(\displaystyle \left\{-\frac{e^{-x}}{x^2 (y x)^2}+x y'+\frac{x y}{x}=0, y(1)=1\right\} \) ho provato con il metodo semplice, ovvero: \(\displaystyle y'=\frac{e^{-x}}{x^2 y^2}-\frac{y}{x} \) \(\displaystyle \int y' \, dy=\int \frac{e^{-x}}{x^2 y^2} \, dy-\int \frac{y}{x} \, dy \) \(\displaystyle y=-\frac{e^{-x}}{x^2 y}-\frac{x y^2}{2} \) risolvendo poi il p.d.C. l'integrale generale viene \(\displaystyle ...

Ciao a tutti. Ho il seguente problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione delle onde: $\{({del^2 u}/ {del t^2} = c^2 {del^2 u}/ {del x^2}),(u(0,t)=0),(u(L,t)=0),(u(x,0)=f(x)),({del u} / {del t} = g(x)):}$ Devo scrivere la soluzione di tale problema usando esclusivamente le trasformate di Laplace. Ora la mia domanda è: come si procede? Le derivate parziali vanno considerate come derivate ordinarie e considerare la trasformata $L<span class="b-underline">$ e poi procedere normalmente come le normali equazioni differenziali ordinarie? Vorrei sapere il ragionamento che sta alla base del ...

Salve a tutti , nel capito dedicato all'analisi di Che cos'è la matematica, gli autori dimostrano che la successione $ n^(s)/a^(n) $ tende a $ 0 $ per ogni $ s>0, a>1 $. Poi estendono questo limite dalla successione alla funzione, cioè dimostrano che $ x^(s)/a^(x) $ tende a 0 al divergere di $ x $, dicendo semplicemente che essendo $ x^(s)/a^(x)<n^(s)/a^(n-1) $ per $ n-1<=x<=n$, e tendendo la quantità a destra della diseguaglianza a $ 0 $, allora anche ...

Tre domandine per sapere se i miei procedimenti sono corretti... [*:2q35tuw2]La prima è: quando in una somma di limiti uno di essi è inesistente come si procede? Lo si può scartare? Ad esempio nella successione che segue posso dire: $\lim_{n \to \infty}(n^3 - sen(n))/(2n^3+(-1)^n-1)=lim_{n \to \infty}n^3/(2n^3-1)=1/2$ ?[/*:2q35tuw2] [*:2q35tuw2]La seconda domanda. Nei casi di questo tipo (frazioni con un logaritmo con la stessa base a numeratore e uno a denominatore): $\lim_{n \to \infty}ln(n+1)/ln(n-1)$ Basta ragionare sugli argomenti? $\lim_{n \to \infty}ln(n+1)/ln(n-1)=lim_{n \to \infty}(n+1)/(n-1)=1$ Io ho proceduto in modo ...

Salve ragazzi. Non so come operare su questa equazione differenziale che presenta, nel polinomio, delle radici complesse. $ y''+y=xcos(2x) $ Grazie in anticipo.

Considero l'equazione differenziale omogenea $y'=A(t)y$ con $y\inRR^n$ e $A(t)\inM_n(CC)$. Se $phi_1$,...,$phi_n$ sono soluzioni dell'equazione differenziale omogenea linearmente indipendenti allora dico che $Phi=[phi_1 ... phi_n]$ è una "matrice risolvente" (è la matrice che ha per colonne n soluzioni linearmente indipendenti). Voglio provare che ogni altra matrice risolvente della mia equazione differenziale omogenea è un prodotto $Phi*C$ dove ...

Ciao a tutti. Sto studiando le serie di Fourier e mi da non poco fastidio vedere diversi libri che mi stampano direttamente la "formula" della serie di Fourier senza fare un minimo di ragionamento per ricavarla. E' questo il mio intento, ma mi sono incartato. Per quanto ho capito fino ad ora il discorso è questo: ho uno spazio $F_n$ delle funzioni continue generato da un sistema di funzioni ortogonali $1/2$, $sin nx$, $cos nx$ per ...

Ciao a tutti, sto facendo esercizi guidati di analisi II e non capisco una cosa. Il sistema è facile: $ dot(x) =Ax $ quando la matrice è questa $ A=( ( 4 , -1 ),( 1 , 2 ) ) $ con due autovalori reali coincidenti, l'eserciziario la scompone come A = S + N dove $ S=( ( 3 , 0 ),( 0 , 3 ) ) $ e N è una matrice nilpotente che posso trovare facendo N = A - S. Fin qui ok. Ma se la matrice è $ A=( ( 2 , -1 , 2 ),( 2 , 0 , 4 ),( 1 , 1 , 0 ) ) $ con due autovalori a = 2 di molteplicità 2 e un autovalore b = -2 di molteplicità 1, il libro dice che ...

Salve a tutti... mi trovo un pò in difficoltà con la terminologia e i simboli usati nella teoria dell'ascissa curvilinea, non avendo seguito la lezione. Mi spiegate in breve a parole cosa è un'ascissa curvilinea? Ho un mix di definizioni che non so se vanno bene.. dovrebbe essere la lunghezza di una certa parte di curva ( quindi non calcolata da A a B estremi di integrazione), e viene usata per parametrizzare una curva. Grazie... siate pure sintetici

Salve a tutti, sto studiando autonomamente Aanlisi Matematica 1 per Ingegneria e mi trovo dinnanzi ai limiti destri e sinistri per la ricerca degli asintoti nello studio di funzione. Ho le idee un pò confuse e tra gli argomenti non ho trovato quello che cercavo. Vorrei se possibbile uno specchietto "elementare" (ad ora tale è la mia preparazione su questo argomento) da consultare per risolvere questi limiti, quindi una serie di regole e/o trucchi da tenere a portata di mano. Ho capito che ...

Stavo svolgendo un esame di Idraulica e imponendo il distaccamento di un oggetto da un natante ottengo questa disequazione: $h > h - (R^2 \pi)/(2(b + R\ \sin \phi)) + (R\ \pi)/(2\ \sin \phi)$ Dalla quale negli svolgimenti c'è scritto che $b < 0$ di conseguenza, ma non capisco il motivo o come accorgermene. Siccome $b$ rappresenta una distanza, è assurdo il risultato, quindi l'oggetto non si può distaccare dal natante...grazie mille

Ciao a tutti, sto provando a dare come query su wolfram alpha alcune trasformate... ne prendo una a caso. $f(t)=1$ chiedo a wolfram alpha la trasformata e mi dice: $F(\omega)=sqrt(2pi)\delta(\omega)$ quando in teoria dovrebbe essere $2pi \delta(\omega)$ non capisco come mai... eppure il mio libro penso non dica il falso... sono sicuro che è $2pi \delta(\omega)$ grazie

Ciao ragazzi, ho un dubbio sul grafico di una funzione banalissima: y^2>0. Il grafico è quello della parte esterna di una parabola centrata nell'origine con concavità positiva; quel che non capisco è che se io prendo empiricamente i valori che teoricamente dovrebbero essere esclusi, come per esempio il punto P (0,1), questo confermerebbe l'equazione (1^2=1>0) eppure è escluso dallo stesso. Intuitivamente io avrei detto che il grafico di questa funzione è tutto il piano escludendo l'asse x sul ...

Non mi trovo dopo alcuni passaggi di quest'esercizio: Verificare le identità (dette formule di triplicazione): 1) $sin(3\alpha)=3sin\alpha-4sin^3\alpha$ 2) $cos(3\alpha)=4cos^3\alpha-3cos\alpha$ Comincio col porre nelle formule di addizione $\beta=2\alpha$ e mi trovo: 1) $sin(\alpha+2\alpha)=sin\alphacos2\alpha+sin2\alphacos\alpha=$ $=sin\alpha(cos^2\alpha-sin^2\alpha)+(2sin\alphacos\alpha)cos\alpha=$ $=sin\alphacos^2\alpha-sin^3\alpha+2sin\alphacos^2\alpha=3sin\alphacos^2\alpha-sin^3\alpha$ 2) $cos(\alpha+2\alpha)=cos\alphacos2\alpha-sin\alphasin2\alpha=$ $=cos\alpha(cos^2\alpha-sin^2\alpha)-sin\alpha(2sin\alphacos\alpha)=$ $=cos^3\alpha-sin^2\alphacos\alpha-2sin^2\alphacos\alpha=cos^3\alpha-3sin^2\alphacos\alpha$ E dagli svolgimenti non mi trovo con le due formule dell'esercizio. Come devo proseguire? Ho sbagliato qualche passaggio?

Salve ragazzi, sto studiando i Teoremi di Cauchy-Lipschitz di esistenza ed unicità (per e.d.o. del primo ordine in forma normale). La versione "globale" vista a lezione è la seguente. Sia $I\subseteq RR$, $(x_0,y_0)\in I\times RR^n$ e $f:I\times RR^n\to RR^n$. Si supponga che 1. $f$ sia continua; 2. per ogni intervallo compatto $J\subseteq I$, esiste $K\ge 0$ tale che \[\forall x\in J,\ \forall y,z\in \mathbb{R}^n,\qquad \|f(x,y)-f(x,z)\|\le K\|y-z\|\tag{L}\] (si dice che ...

ciao a tutti, ho la funzione: $f(x)=(3x-4)/(x^2-3x+2)$ devo dimostrare che è analitica in un intorno dell'origine, determinare lo sviluppo in serie di ML, calcolare $f^v(0)$ Siccome f è definita su $D=R-{2,1}$, l'intorno dell'origine e del tipo $I=(-r,r)$ con $0<r<1$ Essendo un polinomio $f\inC^(oo)(I)$ Ho calcolato le derivate in 0: $f(0)=-2=a_0$ $f'(0)=-3/2=a_1$ $f''(0)=-25/4=2a_2$ ($\sum f^((k))(0)x^k/ (k!)= \sum a_k x^K$) Non riesco però a trovare una formula generale per ...

ciao a tutti! ho il seguente esercizio: sia $ x(t)={ ( 1per -2<=t<=-1 ),( t^2per -1<=t<=1 ),( 1per1<=t<=2 ),( 0ALTRIMENTI ):} $ (a)ricavare i coefficenti $c_n$ della serie di Fourier del segnale periodico di periodo $T=4$, definito da $ y(t)=sum_(k=-oo)^oox(t-4kT) $ b) discutere l'andamento asintotico dei coefficenti $c_n$ quanto $n->oo$ svolgendo l'esercizio ottengo che $ c_k=sinc(k)+(cos((kpi)/2))/((pi^2k^2)/4)-(sinc(k/2))/((pi^2k^2)/4) $ il punto B sono dovuto andare a vedere le soluzioni e dicono che i coefficenti $c_k$ hanno un andamento ...

Devo calcolare la distanza del punto da una retta data nello spazio, ma il risultato non mi viene come quello nel libro. $P=(1,2,3)$ $ { ( x=2+t ),( y=2-3t ),( z=5t ):} $ Ora, se prendo l'equazione cartesiana di un piano, dove sostituisco il vettore della direzione $(a,b,c)=(1,-3,5)$ ottengo $x-3y+5z+d=0$ Imponendo il passaggio per $P$ diventa $1-6+15+d=0$ quindi $d=-10$ Il piano che cerco ha quindi equazione $x-3y+5z-10=0$ e sostituendo le equazioni parametriche ho ...

Ciao a tutti, ecco un altro esercizio di probabilità e statistica! Viene eseguito un test di qualità su dei pezzi la cui garanzia di efficienza dichiarata è 100. Vengono poi effettuate delle misure e si ottengono invece i seguenti valori: 92.2 95.8 97.0 96.5 Cosa possiamo dire? In particolare con probabilità 95% che affermazioni possiamo fare? Attenzione, implicitamente si intende che la precisione delle misure è dello 0.1!