Funzione "localmente uniformemente lipschitziana"
Salve ragazzi,
sto studiando i Teoremi di Cauchy-Lipschitz di esistenza ed unicità (per e.d.o. del primo ordine in forma normale). La versione "globale" vista a lezione è la seguente.
Girovagando per il web ho notato che le ipotesi non sono "standard", ma variano a seconda dei gusti e dell'esigenze dell'autore. In particolare, ho visto utilizzare diverse "varianti" dell'ipotesi 2, quasi sempre espresse dicendo che $f$ è localmente lipschitziana in $y$, uniformemente rispetto a $x$.
Questione: leggendo la $("L")$, attribuirei senza pensarci troppo entrambi gli avverbi localmente ed uniformemente alla variabile $x$, anziché associare il primo alla $y$ ed il secondo alla $x$, come mi pare di capire che si faccia. Sbaglio?
Nella versione "locale", si suppone $f$ continua in un aperto $U\subseteq RR\times RR^n$ ed ivi localmente uniformemente lipschitziana (rispetto alla seconda variabile), questa volta intendendo che $\forall (x_0,y_0)\in U$, esistono $r,\rho>0$, $K\ge 0$ tali che[nota]Con $\bar{B}(y_0;\rho)$ denoto la palla chiusa di centro $y_0$ e raggio $\rho$.[/nota] $[x_0-r,x_0+r]\times \bar{B}(y_0;\rho)\subseteq U$ e
\[\forall x\in [x_0-r,x_0+r],\ \forall y,z\in \bar{B}(y_0;\rho),\qquad \|f(x,y)-f(x,z)\|\le K\|y-z\|\]
Qui la situazione mi sembra diversa: pare che il localmente sia riferito ad entrambe le variabili, e che l'uniformità stia ancora solamente nella $x$.
Ho visto bene o dico fesserie? In ogni caso, mi chiedo perché mai utilizzare lo stesso nome per due proprietà non poco diverse
Grazie anticipate
sto studiando i Teoremi di Cauchy-Lipschitz di esistenza ed unicità (per e.d.o. del primo ordine in forma normale). La versione "globale" vista a lezione è la seguente.
Sia $I\subseteq RR$, $(x_0,y_0)\in I\times RR^n$ e $f:I\times RR^n\to RR^n$. Si supponga che
1. $f$ sia continua;
2. per ogni intervallo compatto $J\subseteq I$, esiste $K\ge 0$ tale che
\[\forall x\in J,\ \forall y,z\in \mathbb{R}^n,\qquad \|f(x,y)-f(x,z)\|\le K\|y-z\|\tag{L}\]
(si dice che $f$ è localmente uniformemente lipschitziana rispetto alla seconda variabile). Allora il problema di Cauchy
\[
\begin{cases}
y'=f(x,y)\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}\qquad (x\in I)
\]
ammette un'unica soluzione.
Girovagando per il web ho notato che le ipotesi non sono "standard", ma variano a seconda dei gusti e dell'esigenze dell'autore. In particolare, ho visto utilizzare diverse "varianti" dell'ipotesi 2, quasi sempre espresse dicendo che $f$ è localmente lipschitziana in $y$, uniformemente rispetto a $x$.
Questione: leggendo la $("L")$, attribuirei senza pensarci troppo entrambi gli avverbi localmente ed uniformemente alla variabile $x$, anziché associare il primo alla $y$ ed il secondo alla $x$, come mi pare di capire che si faccia. Sbaglio?
Nella versione "locale", si suppone $f$ continua in un aperto $U\subseteq RR\times RR^n$ ed ivi localmente uniformemente lipschitziana (rispetto alla seconda variabile), questa volta intendendo che $\forall (x_0,y_0)\in U$, esistono $r,\rho>0$, $K\ge 0$ tali che[nota]Con $\bar{B}(y_0;\rho)$ denoto la palla chiusa di centro $y_0$ e raggio $\rho$.[/nota] $[x_0-r,x_0+r]\times \bar{B}(y_0;\rho)\subseteq U$ e
\[\forall x\in [x_0-r,x_0+r],\ \forall y,z\in \bar{B}(y_0;\rho),\qquad \|f(x,y)-f(x,z)\|\le K\|y-z\|\]
Qui la situazione mi sembra diversa: pare che il localmente sia riferito ad entrambe le variabili, e che l'uniformità stia ancora solamente nella $x$.
Ho visto bene o dico fesserie? In ogni caso, mi chiedo perché mai utilizzare lo stesso nome per due proprietà non poco diverse
Grazie anticipate
Risposte
Chi ha tenuto il corso? Francesco Altomare, vero?
"dissonance":
:-D
Chi ha tenuto il corso? Francesco Altomare, vero?
Inconfondibile eh?
[ot]La parte sulle equazioni differenziali non mi sta piacendo molto: [size=85]troppa "filosofia", troppa (finta) attenzione ai dettagli, e poca sostanza.[/size]
Tu che già c'hai combattuto, mi consiglieresti qualche testo in particolare per integrare? Per ora utilizzo il Fusco-Marcellini-Sbordone e do qualche occhiata a queste note.[/ot]EDIT. Aggiungo: perché richiedere, nella versione locale, che l'ipotesi di "lipschitzianità" sia soddisfatta intorno a ogni punto $(x_0,y_0)$ di $U$?
Altomare è un esteta, ama l'eleganza nella presentazione matematica e ha preparato delle lezioni molto curate. Per l'esame, ti conviene studiare le dimostrazioni come le ha fornite lui. Non sono male, anzi, sono una bella lezione di stile: cerca solo di non bloccarti troppo sull'ordine degli avverbi "localmente" e "uniformemente". 
Come libri, al tempo dell'esame io usai il libro di Fusco-Marcellini-Sbordone, che però su questo argomento non mi ha mai convinto del tutto. Tempo dopo ho scoperto la vecchia edizione del Pagani-Salsa, che ha un bellissimo capitoletto sulle equazioni differenziali, da cui ho attinto parecchie volte. Mi dicono però che il riferimento standard sia il vecchio classico di Coddington e Levinson. L'ho sfogliato in seguito e mi è piaciuto moltissimo, ma temo che sia una presentazione non molto compatibile con quella di Altomare.
Tieni presente che fuori dall'esame e nella realtà, la cosa più utile del teorema di esistenza e unicità è proprio la dimostrazione, che è molto flessibile e si adatta alle situazioni più disparate. Conviene impararla bene nei casi più semplici, in cui magari la funzione \(F\) è globalmente Lipaschitziana o addirittura lineare. Generalizzare è più facile che ricordare teoremi complicati con ipotesi a chili.
Come libri, al tempo dell'esame io usai il libro di Fusco-Marcellini-Sbordone, che però su questo argomento non mi ha mai convinto del tutto. Tempo dopo ho scoperto la vecchia edizione del Pagani-Salsa, che ha un bellissimo capitoletto sulle equazioni differenziali, da cui ho attinto parecchie volte. Mi dicono però che il riferimento standard sia il vecchio classico di Coddington e Levinson. L'ho sfogliato in seguito e mi è piaciuto moltissimo, ma temo che sia una presentazione non molto compatibile con quella di Altomare.
Tieni presente che fuori dall'esame e nella realtà, la cosa più utile del teorema di esistenza e unicità è proprio la dimostrazione, che è molto flessibile e si adatta alle situazioni più disparate. Conviene impararla bene nei casi più semplici, in cui magari la funzione \(F\) è globalmente Lipaschitziana o addirittura lineare. Generalizzare è più facile che ricordare teoremi complicati con ipotesi a chili.
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