Limiti notevoli

[Calabi]

Buonasera. Ho difficoltà a capire un passaggio in un limite (preso da una dispensa di es. svolti)...

Questo:
$lim_(y->0)sin(pi/2*y)/y*y/(sqrt(y+1)-1) = pi/2*2=pi$

Per la cronaca il limite di partenza era questo:
$lim_(x->1)cos(pi/2*x)/(1-sqrt(x))$

(Io lo avevo svolto nello stesso modo (mettendo $y=x-1$)
Solo che a quel punto anziché moltiplicare e dividere per $y$ avevo moltiplicato e diviso per $pi/2*y$:

$lim_(y->0)sin(pi/2*y)/(pi/2*y)*(pi/2*y)/(sqrt(y+1)-1) = 1*0/0$

e non esce...)

[minomic]

Ciao, prova a razionalizzare il denominatore e vedrai che viene...

[gugo82]

@ Calabi: Guarda che questo:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{1+y} - 1}{y} =\frac{1}{2}
\]
è un limite notevole, che si ottiene particolarizzando il seguente:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{(1+y)^a - 1}{y} = a
\]
in cui \(\alpha \in \mathbb{R}\).

[Calabi]

"minomic":Ciao, prova a razionalizzare il denominatore e vedrai che viene...

Non mi viene

[Calabi]

"gugo82":@ Calabi: Guarda che questo:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{\sqrt{1+y} - 1}{y} =\frac{1}{2}
\]
è un limite notevole, che si ottiene particolarizzando il seguente:
\[
\lim_{y\to 0} \frac{(1+y)^a - 1}{y} = a
\]
in cui \(\alpha \in \mathbb{R}\).

E' veroo! Non ci avevo fatto caso! Grazie mille!! Ora mi è chiarissimo!!!

[minomic]

"Calabi":Non mi viene

Considera la frazione \[\frac{y}{\sqrt{y+1}-1}\] e moltiplica sopra e sotto per $sqrt(y+1)+1$. Ottieni \[\frac{y\left(\sqrt{y+1}+1\right)}{y+1-1} = \sqrt{y+1}+1\] Passando al limite questo tende a $2$ e moltiplicando per $pi/2$ ottieni $pi$.