Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Ciao ragazzi,
Ho il seguente esercizio. Devo determinare il dominio di questa funzione in 2 variabili:
\(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x(y+\frac{1}{y})} \)
Pongo: \(\displaystyle x(y+\frac{1}{y}) \ge 0 \) e risolvendo trovo che il dominio è dato da: \(\displaystyle x \ge 0 \space \land y>0 \).
Per quanto riguarda la rappresentazione grafica, ho preparato un piano cartesiano in due dimensioni, dopodichè mi basta colorare semplicemente il primo quadrante e magari sull'asse y ci metto dei segni ...
Buongiorno ragazzi,
Mi viene chiesto di trovare i punti di massimo e minimo, sia relativi che assoluti, per la seguente funzione in 2 variabili:
\(\displaystyle f(x,y)=x^3+y^3- \frac{3}{2} x^2-3y \)
Non ho avuto grosse difficoltà a trovare i punti di max e min (e di sella) con lo studio classico tramite la matrice hessiana.
In particolare, ho trovato che la funzione ammette:
- \(\displaystyle (0,-1) \) punto di max
- \(\displaystyle (1,1) \) punto di min
- \(\displaystyle (0,1) \) e ...
Buongiorno, ho provato a risolvere il seguente esercizio ed avrei alcuni dubbi.
Calcolare il flusso del campo $F(x,y,z)=(x,y,z)$ attraverso la calotta $\Sigma = {(x,y,z) : x-y+z=1, x>=0, y<=0, z>=0$ con la normale orientata in modo da formare un angolo acuto con il versore $\vec k$.
Ho provato a procedere in questo modo:
parametrizzo la superficie $\Sigma$ come $\sigma(u,v) = (u,v,1-u+v)$ ed il dominio di $\sigma$ che chiamo $S$ è dato da $S={(u,v) in R^2 : u>=0, v <=0, v>=u-1}$.
La normale alla superficie, ...
Mi è sorto un mega dubbio che nn so bene come risolvere e vorrei capire nella teoria perché
la mia idea è prendere $z^2$ sapendo che $z=re^(itheta)$ non sto a specificare r e theta perché è chiaro nel contesto cosa intendo ora.
poniamo |z|=1 per comodità cosi r=1
Ora: $z^2=e^(i2theta)$
però mi è sorto un dubbio, sapendo che l'esponenziale compelsso è periodico allora di solito vale che
$(e^z)^w=e^((z+2kpii)w)$
Allora mi chiedevo perchè non dovrei scrivere, prenendo ...
Ciao volevo chiedere delle delucidazioni su questa osservazione del prof sulla convergenza uniforme
ho una successione di fuzioni fn in dominio S.
OSS:
introducendo la successione di numeri $a_n:=s up_(zinS)|f_n(z)-f(z)|<epsilon in [0,+oo]$
possiamo concludere che la successione (fn) converge uniformemente su S a $f :S->C$
se e solo se
$lim_(n->oo) a_n = 0$
il mio dubbio risiede qui per definizione: $lim_(n->oo) a_n = 0$ è
$forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |a_n-0|<epsilon$
ossia
$forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |(s up_(zinS)|f_n(z)-f(z)|)-0|<epsilon$
cioé
$forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => s u p_(zinS)|f_n(z)-f(z)|<epsilon$
Ma qui non mi sembra andare molto ...
Salve, per il calcolo del limite (al variare di a) della successione $n^a/(sqrt(n^4+n^3)-n^2)$ per n->+inf si procede determinando a quale successione il denominatore è asintotico. Nelle slide di correzione dell'esercizio, risulta che il denominatore è asintotico a $n/2$ ma questa cosa non mi torna. $sqrt(n^4+n^3)-n^2$ = $sqrt(n^4(1+1/n))-n^2$ = $n^2(1+1/n)^(1/2)-n^2$ = $n^2((1+1/n)^(1/2)-1)$. Sappiamo che $((1+an)^b-1)/(an) -> b$ se $an -> 0$. Quindi $((1+1/n)^(1/2)-1)/(1/n) -> 1/2$ visto che $1/n ->0$ per ...
Salve, devo determinare il limite di questa successione per n->+inf: $n^2((n+1)^(1/3)-sqrt(n))$. Come primo passaggio algebrico ottengo: $n^2(n^(1/3)(1+1/n)^(1/3) - sqrt(n))$ Essendo $1/n$ -> 0 per n->+inf, vorrei utilizzare il limite notevole $((1+a_n)^(b)-1)/(a_n)$ -> b per poter scrivere in un altro modo $(1+1/n)^(1/3)$. Anche l'idea fosse corretta, non saprei come andare avanti da qui.
Ciao ho un dubbio che nasce dal rapporto incrementale ma poi si riverbera in altre circostanze
Provo a spiegarlo per quanto piuttosto sciocco.
quando io faccio il rapporto incrementale (che poi sfrutto per la derivata) di solito si scrive $h=x-x_0$
$(f(x+h))/(h)$
però siccome h è un incremento sia positivo che negativo nessuno mi vieta di definire
$(f(x-h))/(h)$, ma auqesto punto non capisco se sia corretto definirlo così oppure così $(f(x-h))/(-h)$
Poi ovviamente per la ...
Buongiorno, ho trovato dei problemi rispetto alla soluzione che ho del seguente integrale triplo:
$int_(E) y^2/(x^2+y^2) dxdydz$ dove $E={(x,y,z) in RR^3 : 1<=x^2+y^2+z^2<=4, 3x^2+3y^2-z^2<0, z>0}$
Ora fare un disegno è un po' scomodo, però ho due sfere di centro $O$ e la "parte interna" di un cono.
Vorrei usare le coordinate polari sferiche:
$\{(x=rcos\thetasin\phi),(y=rsin\thetasin\phi),(z=rcos\phi):}$
dove $\theta in [0, 2pi]$ e $\phi in [0,pi]$
Ora si vede subito che $1<=r<=2$, mentre ho più problemi a determinare $\phi$ e $\theta$.
Graficamente ...
Ciao, volevo chiedere una cosa che ho capito a livello intutivo ma come posso dimostrare che la definizione di una g funzione in tal modo è ben posta?
In un esercizio il prof scriveva data una funzione f(x,y) che se io prendo f(x,0) allora posso definire: f(x,0)=g(x)
quindi il punto è che fissando y=0 ho una funzine in una variabile.
Mi sembra chiaro, ma come si dimosra diciamo in modo formale questa cosa e che è ben posta g?
Buongiorno, ho riscontrato dei problemi col seguente integrale:
$I=int_A (x+1) dxdy$ con $A={(x,y) in RR^2 : y<=2x, y<=-2x,y>=x^2-3}$
Ho prima di tutto provato a fare un disegno del dominio, per rendere il post più leggibile metto lo screen del disegno fatto con Geogebra, ho colorato la regione in rosso:
Per com'è fatto il dominio ho pensato di dividerlo in due regioni:
$A_1={(x,y) in RR^2: -3<=x<=0, x^2-3<=y<=-2x}$
$A_2={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=3, 2x<=y<=x^2-3}$
Per cui $I=int_(A_1) (x+1)dxdy + int_(A_2) (x+1)dxdy$
$int_(A_1) (x+1)dxdy = int_(-3)^(0) ( int_(x^2-3)^(-2x) (x+1)dy)dx = int_(-3)^(0)(-x^3-3x^2+x+3)dx = -9/4$
$int_(A_2) (x+1) dxdy = int_(0)^(3)(int_(2x)^(x^2-3) (x+1) dy)dx = -81/4$
Per cui avrei che ...
Buonasera,
ho riscontrato dei problemi col seguente esercizio:
Calcolare $int_D (x^2+y^2)dx dy$, dove $D={(x,y) in RR^2 : (x-R)^2+y^2<=R^2}$
Vorrei usare le coordinate polari, il problema è che fino ad ora ho sempre trovato esercizi dove il centro era l'origine in qualche modo, per cui ho pensato di fare così:
${\(x=R+\rho cos(\theta)), (y=\rho sin(\theta)):}$ con $0 <= \rho <= R$ e $0 <= \theta <= 2pi$
da cui segue $f(R+\rhocos(\theta), \rhosin(\theta)) = R^2 +2R\rhocos(\theta)+\rho^2$
L'integrale diventa:
$int_(0)^(2pi) ( int_(0)^(R)(R^2+2R\rhocos(\theta)+\rho^2)\rho d\rho)d\theta$
$int_(0)^(2pi) [R^2\rho^2/2+2Rcos(\theta)\rho^3/3+\rho^4/4]_(\rho=0)^(\rho=R)d\theta$
$int_(0)^(2pi) (R^4/2+2/3R^4cos(\theta)+R^4/4)d\theta$
$[R^4/2\theta+2/3R^4sin(\theta)+R^4/4\theta]_(\theta=0)^(\theta=2pi) = R^4/(2)2pi+R^4/(4)2pi=3/2piR^4$
Mi son reso ora ...
Una funzione convessa su tutto $RR^n$ potrebbe avere min assoluto, ma mi chiedo se possa esistere contestualmente anche un min locale. La risposta secondo me è NO, ma vorrei vostra conferma.
Buonasera a tutti, mi sto esercitando per l'esame di Analisi 2 ed ho trovato problemi nel seguente esercizio:
Sia $f(x,y)=xsqrt(x^2+y^2)$. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) il dominio di $f$ è $RR text{\} {(0,0)}$
(b) $(delf)/(delx)(x,0) = 0 hArr x != 0$
(c) $\grad f \text{(}(0,0)\text{)} = (0,0)$
(d) $\grad f\text{(}(-1,1)\text{)} = (sqrt(2), -1/sqrt(2))$
Si esclude subito la (a) che credo sia un typo e fosse previsto $RR^2$, in ogni caso il dominio di f è tutto $RR^2$.
Calcolo le derivate parziali:
$(delf)/(delx)(x,y)=1*sqrt(x^2+y^2)+1/(2sqrt(x^2+y^2))*2x^2=(2x^2+y^2)/(sqrt(x^2+y^2)$
Si ...
Ho dei problemi a risolvere il seguente esercizio sui limiti con forma indeterminata 0/0:
\[\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(x) + e^{x^2} -3}{x\sin(x^3)}\]
Se sostituisco alle funzioni trascendenti i loro corrispettivi sviluppi in serie di Taylor, cosa che ho presupposto di poter fare in quanto x tende a zero, il risultato che ottengo è indefinito, perciò ho provato ad agire diversamente sfruttando il limite notevole $\lim_{x \to 0} \frac{sin(x)}{x} = 1$, il limite diventa:
\[\lim_{x\to 0} \frac{2\cos(x) + e^{x^2} ...
Salve, sto provando a dimostrare per induzione che $ab+1<=a+b$:
Passo base $(a = 1)$:
Per$ a = 1$, la disuguaglianza diventa $1*b + 1 \leq 1 + b$, che si semplifica in $b + 1 \leq 1 + b$. Questo è chiaramente vero per tutti i valori di $b <= 1$.
Passo di induzione:
supponiamo che la disuguaglianza sia vera per un certo valore $n$, cioè $n*b + 1 \leq n + b$. Dobbiamo dimostrare che la disuguaglianza è vera anche per $n + 1$, cioè ...
Buongiorno,
se non ho capito male il sistema LKKT (Lagrange karush Kuhn Tucker) per la ricerca dei minimi è una condizione necessaria per la ricerca dei min/max laddove rispettate le ipotesi di continuità di almeno classe C2 delle funzioni e se il dominio è regolare, per cui sembra che il sistema estragga tutti i possibili punti stazionari.
Ma immagino che per uno studio completo si debba aggiungere anche i punti irregolari in quanto non contemplati da tale sistema, per cui credo sia scorretto ...
Buongiorno,
dato questo teorema di convergenza per i minimi:
data una funzione coerciva (quindi esiste il minimo assoluto), il metodo del gradiente con ricerca esatta o termina in numero di finiti di passi in un punto stazionario o i suoi punti di accumulazione convergono ai punti stazionari
Non capisco la seconda parte cioè i suoi punti di accumulazione convergono ai punti stazionari.
Non riesco ad immaginarmi una funzione coerciva con tale casistica.
Mi potete fare un esempio grafico per ...
Buongiorno, data la mia preparazione incompleta in matematica chiedo un parere agli utenti di questo forum che sono decisamente più preparati. Stavo cercando un nuovo modo per rappresentare la funzione zeta di Riemann, non ho cavato un ragno dal buco ma ho trovato quella che sembrerebbe una formula esplicita in forma chiusa per il calcolo dei numeri di Bernoulli. Non ho trovato questa formula su nessuno dei paper che ho letto sull'argomento, né su Wikipedia, né su wolfram. Non sono del tutto ...
Perchè una funzione convessa, dove esiste un solo punto stazionario, abbiamo certezza che quel punto sia proprio il minimo assoluto/globale? Quale teorema ce lo garantisce?
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