Analisi matematica di base

Sto avendo una leggera difficoltà con con le notazioni di derivata parziale perché il libro e la mia professoressa ne usano differenti. (Magari è lana caprina però mi urta) In particolare: il libro scrive dato un punto $x=(x_1,x_2,...,x_n)$, $f_(x_i)(x)$ per intendere la derivata parziale rispetto alla coordinata $x_i$ nel punto $x$; invece la mia professoressa $(partial f)/(partial x_i)(x)$. Quello che non mi è chiaro è che se volessi calcolare una derivata parziale, per un certo ...

Ciao, continuo a non capire come risolvere un esercizio di cui riporto qui il testo. Calcolare la soluzione del seguente problema di Cauchy: \(\displaystyle \begin{cases} y' = \frac{\pi \cos(xy)}{x^2} \\ y(1) = \pi \end{cases} \) Ora, ho iniziato risolvendo in generale l'equazione differenziale ma continuo a bloccarmi (sostituendo z=xy ad esempio mi esce un integrale un poco bruttino). Se qualcuno ha qualche idea simpatica, vi ringrazio.

Ciao, ho una domanda che mi mette in crisi (che mi pongo) svolgendo un esercizio di fisica. Io son che dato un intevrallo $[a,b]$ la funzione integrale F(x) è defiinita come $F(x):=int_a^xf(t) dt$. Io mi trovo un esercizio del prof di fisica con integrale $-int_x^bp(t)dt$ con intervallo per le x in $(-oo,b]$ (e b

Buonasera, Sto cercando di dimostrare che la funzione logaritmo è concava senza far uso delle derivate e basandomi sulla definizione analitico-geometrica di concavità. Do per noto che la funzione logaritmo sia continua nel suo dominio e monotona crescente. Al momento mi trovo però arenato. Partendo infatti dalla definizione: $$f(\lambda x_1 + (1-\lambda x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$$ ossia $$\ln(\lambda x_1 + (1-\lambda x_2) ...

Buongiorno, in vista dell'esame di Analisi 2, sto facendo esercizi dai temi esame. Ho dei dubbi però su questi due esercizi: Esercizio 1: Io l'ho risolto in questo modo. -Fatto derivata parziale rispetto a x($2xy^2 - 21x^2y$) e y($2x^2y - 7x^3$) -Sistema con le due derivate = 0 -> Otteniamo che x=0 y=0, x=0 $ AA $ y -Matrice hessiana. nel primo caso siamo in dubbio(det = 0), nel secondo caso il det = $2y^2$ Non potendo risolverlo con la matrice ...

Salve, non saprei come risolvere il lim per x->0 di $1/x * [((1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1))^(1/3)-1]$.

Buonasera, sono ore che mi scervello con questo esercizio che non riesco a risolvere. Nello specifico non riesco a stabilire se la seconda affermazione è vera o falsa. La traccia è la seguente: Sia $ f:RR^n->RR $ una funzione continua su tutto lo spazio e sia $ E={bb"x" in RR^n: f(bb"x")>0} $ Stabilire se è vera o falsa ciascuna delle seguenti affermazioni, fornendo una dimostrazione (se vera) o un controesempio (se falsa): $ ∂ Esube {bb"x" in RR^n:f(bb"x")=0}; $ $ ∂ E= {bb"x" in RR^n:f(bb"x")=0}; $ $ barE= {bb"x" in RR^n:f(bb"x")>=0}; $ ...

Ciao a tutti, scrivo per la prima volta su questo forum. Vorrei chiedere riguardo al mio tentativo di dimostrare che inf X = - sup (-X). Come prima cosa dimostro che dato un generico sottoinsieme X di R, non vuoto e limitato superiormente max (X) = - min (-X). Sia $ X={x in R : -x in -X} $ ; se $ L=max X => L>=x $ $ AA x in R $ $vv$ $L in X$ . L è il più grande elemento di X e quindi, visto che -X contiene gli opposti di X, allora conterrà anche -L che risulta il più ...

Ciao ragazzi, Ho il seguente esercizio. Devo determinare il dominio di questa funzione in 2 variabili: \(\displaystyle f(x,y)=\sqrt{x(y+\frac{1}{y})} \) Pongo: \(\displaystyle x(y+\frac{1}{y}) \ge 0 \) e risolvendo trovo che il dominio è dato da: \(\displaystyle x \ge 0 \space \land y>0 \). Per quanto riguarda la rappresentazione grafica, ho preparato un piano cartesiano in due dimensioni, dopodichè mi basta colorare semplicemente il primo quadrante e magari sull'asse y ci metto dei segni ...

Buongiorno ragazzi, Mi viene chiesto di trovare i punti di massimo e minimo, sia relativi che assoluti, per la seguente funzione in 2 variabili: \(\displaystyle f(x,y)=x^3+y^3- \frac{3}{2} x^2-3y \) Non ho avuto grosse difficoltà a trovare i punti di max e min (e di sella) con lo studio classico tramite la matrice hessiana. In particolare, ho trovato che la funzione ammette: - \(\displaystyle (0,-1) \) punto di max - \(\displaystyle (1,1) \) punto di min - \(\displaystyle (0,1) \) e ...

Buongiorno, ho provato a risolvere il seguente esercizio ed avrei alcuni dubbi. Calcolare il flusso del campo $F(x,y,z)=(x,y,z)$ attraverso la calotta $\Sigma = {(x,y,z) : x-y+z=1, x>=0, y<=0, z>=0$ con la normale orientata in modo da formare un angolo acuto con il versore $\vec k$. Ho provato a procedere in questo modo: parametrizzo la superficie $\Sigma$ come $\sigma(u,v) = (u,v,1-u+v)$ ed il dominio di $\sigma$ che chiamo $S$ è dato da $S={(u,v) in R^2 : u>=0, v <=0, v>=u-1}$. La normale alla superficie, ...

Mi è sorto un mega dubbio che nn so bene come risolvere e vorrei capire nella teoria perché la mia idea è prendere $z^2$ sapendo che $z=re^(itheta)$ non sto a specificare r e theta perché è chiaro nel contesto cosa intendo ora. poniamo |z|=1 per comodità cosi r=1 Ora: $z^2=e^(i2theta)$ però mi è sorto un dubbio, sapendo che l'esponenziale compelsso è periodico allora di solito vale che $(e^z)^w=e^((z+2kpii)w)$ Allora mi chiedevo perchè non dovrei scrivere, prenendo ...

Ciao volevo chiedere delle delucidazioni su questa osservazione del prof sulla convergenza uniforme ho una successione di fuzioni fn in dominio S. OSS: introducendo la successione di numeri $a_n:=s up_(zinS)|f_n(z)-f(z)|<epsilon in [0,+oo]$ possiamo concludere che la successione (fn) converge uniformemente su S a $f :S->C$ se e solo se $lim_(n->oo) a_n = 0$ il mio dubbio risiede qui per definizione: $lim_(n->oo) a_n = 0$ è $forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |a_n-0|<epsilon$ ossia $forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => |(s up_(zinS)|f_n(z)-f(z)|)-0|<epsilon$ cioé $forall z, forall epsilon>0 ∃N>0 : forall n>N => s u p_(zinS)|f_n(z)-f(z)|<epsilon$ Ma qui non mi sembra andare molto ...

Salve, per il calcolo del limite (al variare di a) della successione $n^a/(sqrt(n^4+n^3)-n^2)$ per n->+inf si procede determinando a quale successione il denominatore è asintotico. Nelle slide di correzione dell'esercizio, risulta che il denominatore è asintotico a $n/2$ ma questa cosa non mi torna. $sqrt(n^4+n^3)-n^2$ = $sqrt(n^4(1+1/n))-n^2$ = $n^2(1+1/n)^(1/2)-n^2$ = $n^2((1+1/n)^(1/2)-1)$. Sappiamo che $((1+an)^b-1)/(an) -> b$ se $an -> 0$. Quindi $((1+1/n)^(1/2)-1)/(1/n) -> 1/2$ visto che $1/n ->0$ per ...

Salve, devo determinare il limite di questa successione per n->+inf: $n^2((n+1)^(1/3)-sqrt(n))$. Come primo passaggio algebrico ottengo: $n^2(n^(1/3)(1+1/n)^(1/3) - sqrt(n))$ Essendo $1/n$ -> 0 per n->+inf, vorrei utilizzare il limite notevole $((1+a_n)^(b)-1)/(a_n)$ -> b per poter scrivere in un altro modo $(1+1/n)^(1/3)$. Anche l'idea fosse corretta, non saprei come andare avanti da qui.

Ciao ho un dubbio che nasce dal rapporto incrementale ma poi si riverbera in altre circostanze Provo a spiegarlo per quanto piuttosto sciocco. quando io faccio il rapporto incrementale (che poi sfrutto per la derivata) di solito si scrive $h=x-x_0$ $(f(x+h))/(h)$ però siccome h è un incremento sia positivo che negativo nessuno mi vieta di definire $(f(x-h))/(h)$, ma auqesto punto non capisco se sia corretto definirlo così oppure così $(f(x-h))/(-h)$ Poi ovviamente per la ...

Buongiorno, ho trovato dei problemi rispetto alla soluzione che ho del seguente integrale triplo: $int_(E) y^2/(x^2+y^2) dxdydz$ dove $E={(x,y,z) in RR^3 : 1<=x^2+y^2+z^2<=4, 3x^2+3y^2-z^2<0, z>0}$ Ora fare un disegno è un po' scomodo, però ho due sfere di centro $O$ e la "parte interna" di un cono. Vorrei usare le coordinate polari sferiche: $\{(x=rcos\thetasin\phi),(y=rsin\thetasin\phi),(z=rcos\phi):}$ dove $\theta in [0, 2pi]$ e $\phi in [0,pi]$ Ora si vede subito che $1<=r<=2$, mentre ho più problemi a determinare $\phi$ e $\theta$. Graficamente ...

Ciao, volevo chiedere una cosa che ho capito a livello intutivo ma come posso dimostrare che la definizione di una g funzione in tal modo è ben posta? In un esercizio il prof scriveva data una funzione f(x,y) che se io prendo f(x,0) allora posso definire: f(x,0)=g(x) quindi il punto è che fissando y=0 ho una funzine in una variabile. Mi sembra chiaro, ma come si dimosra diciamo in modo formale questa cosa e che è ben posta g?

Buongiorno, ho riscontrato dei problemi col seguente integrale: $I=int_A (x+1) dxdy$ con $A={(x,y) in RR^2 : y<=2x, y<=-2x,y>=x^2-3}$ Ho prima di tutto provato a fare un disegno del dominio, per rendere il post più leggibile metto lo screen del disegno fatto con Geogebra, ho colorato la regione in rosso: Per com'è fatto il dominio ho pensato di dividerlo in due regioni: $A_1={(x,y) in RR^2: -3<=x<=0, x^2-3<=y<=-2x}$ $A_2={(x,y) in RR^2 : 0<=x<=3, 2x<=y<=x^2-3}$ Per cui $I=int_(A_1) (x+1)dxdy + int_(A_2) (x+1)dxdy$ $int_(A_1) (x+1)dxdy = int_(-3)^(0) ( int_(x^2-3)^(-2x) (x+1)dy)dx = int_(-3)^(0)(-x^3-3x^2+x+3)dx = -9/4$ $int_(A_2) (x+1) dxdy = int_(0)^(3)(int_(2x)^(x^2-3) (x+1) dy)dx = -81/4$ Per cui avrei che ...

Buonasera, ho riscontrato dei problemi col seguente esercizio: Calcolare $int_D (x^2+y^2)dx dy$, dove $D={(x,y) in RR^2 : (x-R)^2+y^2<=R^2}$ Vorrei usare le coordinate polari, il problema è che fino ad ora ho sempre trovato esercizi dove il centro era l'origine in qualche modo, per cui ho pensato di fare così: ${\(x=R+\rho cos(\theta)), (y=\rho sin(\theta)):}$ con $0 <= \rho <= R$ e $0 <= \theta <= 2pi$ da cui segue $f(R+\rhocos(\theta), \rhosin(\theta)) = R^2 +2R\rhocos(\theta)+\rho^2$ L'integrale diventa: $int_(0)^(2pi) ( int_(0)^(R)(R^2+2R\rhocos(\theta)+\rho^2)\rho d\rho)d\theta$ $int_(0)^(2pi) [R^2\rho^2/2+2Rcos(\theta)\rho^3/3+\rho^4/4]_(\rho=0)^(\rho=R)d\theta$ $int_(0)^(2pi) (R^4/2+2/3R^4cos(\theta)+R^4/4)d\theta$ $[R^4/2\theta+2/3R^4sin(\theta)+R^4/4\theta]_(\theta=0)^(\theta=2pi) = R^4/(2)2pi+R^4/(4)2pi=3/2piR^4$ Mi son reso ora ...