Dubbio numero complesso
Mi è sorto un mega dubbio che nn so bene come risolvere e vorrei capire nella teoria perché
la mia idea è prendere $z^2$ sapendo che $z=re^(itheta)$ non sto a specificare r e theta perché è chiaro nel contesto cosa intendo ora.
poniamo |z|=1 per comodità cosi r=1
Ora: $z^2=e^(i2theta)$
però mi è sorto un dubbio, sapendo che l'esponenziale compelsso è periodico allora di solito vale che
$(e^z)^w=e^((z+2kpii)w)$
Allora mi chiedevo perchè non dovrei scrivere, prenendo $w=2$ e $z=itheta$ nella precedente ho
$(e^(itheta))^2=e^((itheta+2kpii)2)$
la mia idea è prendere $z^2$ sapendo che $z=re^(itheta)$ non sto a specificare r e theta perché è chiaro nel contesto cosa intendo ora.
poniamo |z|=1 per comodità cosi r=1
Ora: $z^2=e^(i2theta)$
però mi è sorto un dubbio, sapendo che l'esponenziale compelsso è periodico allora di solito vale che
$(e^z)^w=e^((z+2kpii)w)$
Allora mi chiedevo perchè non dovrei scrivere, prenendo $w=2$ e $z=itheta$ nella precedente ho
$(e^(itheta))^2=e^((itheta+2kpii)2)$
Risposte
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Ciao e grazie. Quello che dici torna.
Ma il mio dubbio era molto più scemo: io voglio fare $z^2$ alché ho scritto semplciemente in forma esponenziale $(rhoe^(itheta))$. Scelgo $rho=1$ per comodità
Ecco qui io so che per un w numero complesso genercio vale: $(e^z)^w=e^((z+2kpii)w)$ (*) proprio per il motivo che dici tu.
Però non capisco perché se faccio $(e^(itheta))^2$ scrivo $(e^(itheta))^2=e^(i2theta)$ e non seguendo la (*): $(e^(itheta))^2=e^((itheta+2kpii)2)$
Ma il mio dubbio era molto più scemo: io voglio fare $z^2$ alché ho scritto semplciemente in forma esponenziale $(rhoe^(itheta))$. Scelgo $rho=1$ per comodità
Ecco qui io so che per un w numero complesso genercio vale: $(e^z)^w=e^((z+2kpii)w)$ (*) proprio per il motivo che dici tu.
Però non capisco perché se faccio $(e^(itheta))^2$ scrivo $(e^(itheta))^2=e^(i2theta)$ e non seguendo la (*): $(e^(itheta))^2=e^((itheta+2kpii)2)$
PS: comunque rileggendo la tua risposta che già sapevo in reealtà ragionandomi mi ha fatto sorgere altre domande, vediamo:
come dicevi tu la periodicita della rappresentazione trigonometrica /esponenziale non ci interessa quando guardiamo il numero complesso in se per se, tuttavia è importantissima per potenze e radici ad esempio.
Ora il dubbio: nelle radici la periodicità è proprio quella che mi garanstisce l'esistenza di n valori per una radice n-esima. Tuttavia la periodicità è a parer mio solo un artificio dovuto alla rappresentaizone, cioè cheporantomi sul piano di Argand gauss ho gli angoli che si ripetono e mi danno il medesimo punto. Ma questo artificio diventano valori veri, nel senso che mi danno il numero di radici, ora se io invece rimanessi in rappresentazione algebrica quella periodicità non la avrei mai, però le radici rimangono comunque in numero n, ed escono non più per l'artificio della periodicità dell'angolo ma da altri fattori.
Questa cosa mi stupisce, cioè non comprendo appieno perché una periodicita dovuta solo a un fatto di rappresentazione poi diventi un fatto concreto che corrisponde alle n radici che trovo anche per una rappresentazione che non sarebbe periodica (quella algebrica). intimamente questa cosa mi lascia stranito XD
come dicevi tu la periodicita della rappresentazione trigonometrica /esponenziale non ci interessa quando guardiamo il numero complesso in se per se, tuttavia è importantissima per potenze e radici ad esempio.
Ora il dubbio: nelle radici la periodicità è proprio quella che mi garanstisce l'esistenza di n valori per una radice n-esima. Tuttavia la periodicità è a parer mio solo un artificio dovuto alla rappresentaizone, cioè cheporantomi sul piano di Argand gauss ho gli angoli che si ripetono e mi danno il medesimo punto. Ma questo artificio diventano valori veri, nel senso che mi danno il numero di radici, ora se io invece rimanessi in rappresentazione algebrica quella periodicità non la avrei mai, però le radici rimangono comunque in numero n, ed escono non più per l'artificio della periodicità dell'angolo ma da altri fattori.
Questa cosa mi stupisce, cioè non comprendo appieno perché una periodicita dovuta solo a un fatto di rappresentazione poi diventi un fatto concreto che corrisponde alle n radici che trovo anche per una rappresentazione che non sarebbe periodica (quella algebrica). intimamente questa cosa mi lascia stranito XD
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Credo che quello che confonde znature sia per esempio il fatto che da un lato $1^(1/4)=1$, dall'altro le radici quarte di $1$ sono $4$, cioè $pm 1$, $pm i$. Quindi la sua domanda è (potrebbe essere) "come si definisce la potenza tra numeri complessi?". Cioè come si deve interpretare la scrittura $z^w$ volendo farlo in modo univoco?
Se $z,w$ sono due numeri complessi, con $z ne 0$, allora $z^w$ è per definizione $e^(w log(z))$ dove $log$ è un logaritmo complesso, definito sui numeri complessi non nulli. Di solito si prende il valore principale del logaritmo, cioè $log(z)=ln(|z|)+i theta$ dove $theta$ è l'argomento di $z$ scelto in $(-pi,pi]$, cioè $z=|z|e^(i theta)$ con $theta in (-pi,pi]$.
Quindi per esempio $i^i=e^(i log(i)) = e^(i*i pi/2) = e^(-pi/2)$.
E anche $i^(1/2)=e^(log(i)/2)=e^(i pi/4)$ e $(-1)^i = e^(i log(-1)) = e^(i^2 pi) =e^(-pi)$.
Inoltre $1^w=1$ per ogni $w in CC$.
Bisogna stare attenti perché la potenza tra numeri complessi è controintuitiva, uguaglianze del tipo $(ab)^c=a^c b^c$ e $a^(bc) =( a^b)^c$ non valgono più in generale.
Per esempio $(-1)^i=e^(-pi)$ ma $1^i=1$ e quindi $(-1)^i (-1)^i ne ((-1)(-1))^i$. Lo stesso esempio mostra che $(-1)^(2i)=e^(-2pi)$ e $((-1)^2)^i=1$ sono diversi.
Questi problemi sono dovuti al fatto che non esiste un logaritmo complesso continuo definito in $CC-{0}$. Il logaritmo definito sopra è discontinuo in tutti i numeri reali negativi. Per esempio se $t in (-pi,0)$ allora $log(e^(it))=it$ tende a $-i pi$ quando $t to -pi$, d'altra parte $log(e^(-i pi))=log(-1)=i pi$.
E ovviamente $log(e^z)$ non è sempre uguale a $z$ (la funzione $e^z$ non è iniettiva, non può ammettere inversa). Per esempio $log(e^(-i pi))=log(-1)=i pi$.
Invece $e^(log(z))=z$ per ogni $z ne 0$.
Suggerisco una lettura attenta di questo e poi studio su libri seri.
Se $z,w$ sono due numeri complessi, con $z ne 0$, allora $z^w$ è per definizione $e^(w log(z))$ dove $log$ è un logaritmo complesso, definito sui numeri complessi non nulli. Di solito si prende il valore principale del logaritmo, cioè $log(z)=ln(|z|)+i theta$ dove $theta$ è l'argomento di $z$ scelto in $(-pi,pi]$, cioè $z=|z|e^(i theta)$ con $theta in (-pi,pi]$.
Quindi per esempio $i^i=e^(i log(i)) = e^(i*i pi/2) = e^(-pi/2)$.
E anche $i^(1/2)=e^(log(i)/2)=e^(i pi/4)$ e $(-1)^i = e^(i log(-1)) = e^(i^2 pi) =e^(-pi)$.
Inoltre $1^w=1$ per ogni $w in CC$.
Bisogna stare attenti perché la potenza tra numeri complessi è controintuitiva, uguaglianze del tipo $(ab)^c=a^c b^c$ e $a^(bc) =( a^b)^c$ non valgono più in generale.
Per esempio $(-1)^i=e^(-pi)$ ma $1^i=1$ e quindi $(-1)^i (-1)^i ne ((-1)(-1))^i$. Lo stesso esempio mostra che $(-1)^(2i)=e^(-2pi)$ e $((-1)^2)^i=1$ sono diversi.
Questi problemi sono dovuti al fatto che non esiste un logaritmo complesso continuo definito in $CC-{0}$. Il logaritmo definito sopra è discontinuo in tutti i numeri reali negativi. Per esempio se $t in (-pi,0)$ allora $log(e^(it))=it$ tende a $-i pi$ quando $t to -pi$, d'altra parte $log(e^(-i pi))=log(-1)=i pi$.
E ovviamente $log(e^z)$ non è sempre uguale a $z$ (la funzione $e^z$ non è iniettiva, non può ammettere inversa). Per esempio $log(e^(-i pi))=log(-1)=i pi$.
Invece $e^(log(z))=z$ per ogni $z ne 0$.
Suggerisco una lettura attenta di questo e poi studio su libri seri.
"Martino":posso chiederti come hai fatto a tirare fuori immediatamente queste cose su due piedi, ci ho messo mezz'ora a afferrarle del tutto. Che trucco posso usare per visualizzarle in modo "rapido"?
Bisogna stare attenti perché la potenza tra numeri complessi è controintuitiva, uguaglianze del tipo $(ab)^c=a^c b^c$ e $a^(bc) =( a^b)^c$ non valgono più in generale.
Per esempio $(-1)^i=e^(-pi)$ ma $1^i=1$ e quindi $(-1)^i (-1)^i ne ((-1)(-1))^i$. Lo stesso esempio mostra che $(-1)^(2i)=e^(-2pi)$ e $((-1)^2)^i=1$ sono diversi.
Questi problemi sono dovuti al fatto che non esiste un logaritmo complesso continuo definito in $CC-{0}$. Il logaritmo definito sopra è discontinuo in tutti i numeri reali negativi. Per esempio se $t in (-pi,0)$ allora $log(e^(it))=it$ tende a $-i pi$ quando $t to -pi$, d'altra parte $log(e^(-i pi))=log(-1)=i pi$.
E ovviamente $log(e^z)$ non è sempre uguale a $z$ (la funzione $e^z$ non è iniettiva, non può ammettere inversa). Per esempio $log(e^(-i pi))=log(-1)=i pi$.
Invece $e^(log(z))=z$ per ogni $z ne 0$.
Detto questo devo dire che i vostri messaggi sono stati molto utili, nel senso che ho imparato cose interessanti ma non credo rispondessero a quello che era il mio dubbio iniziale. per questo volevo spiegarmi meglio.
I punti dubbi erano due
1) il professore mi definiva $e^z:=e^x(cos(y)+isin(y))$ da questo dato che abbiamo la periodicità dell'esponenziale cosi definito valeva la regola $(e^z)^w=e^((z+2kpii)w)$ con $z,w in CC$
La mia domanda era, se volgio fare $(e^(itheta))^2$ essendo $w=2$ e $itheta=z$ in modo completo dovrei dire che $(e^(itheta))^2=e^((itheta+2kpii)2)$? E poi la periodicità elimina il problema perché avrò $e^((itheta+2kpii)2)=e^(i2theta)$?
2) la seconda cosa era semplicmente una domanda sorta ragionando su questo fatto: mi è stato spiegato come ricavare le radici n-esime di un complesso che sono n. Il punto è che nella dimostrazione si usa a piene mani la rappresentazione trigonometrica/esponenziale, cioè le radici n-esime escono fuori proprio per via della periodicità del punto sul piano di argand-gauss in rappresentazione trigonometrica. Cioè sembra quasi che, data la periodicità $theta+2kpi$ dell'argomento di z (punto del piano) escano fuori n radici.
Tuttavia io mi dico, quando rappresento un numero complesso z come esponenziale la periodicità è un "artificio" della mia rappresentazione, perché z è unico, semplicemente usando più angoli multipli 2 pigrego di theta mi trovo lo stesso punto.
Quindi, quando ricavo la radice trovo n radici come risultato della periodicità, che era un artificio della mia rappresentazione, e questa cosa mi stupisce. Cioè qualcosa dovuto a un mio modo di rappresentare quel punto fa si che mi permetta però di trovare proprio le radici n-esime di quel numero/punto del piano.
Stavo rileggendo il messaggio e c'è una cosa che forse mi sfugge:
però come facevi notare poco sopra "la funzione $e^z$ non è iniettiva, non può ammettere inversa", perché qui invece sembra ammetterla, alla fine scrivere $e^log(z)$ è piazzare l'inversa ad esponente, se esiste quell'inversa, ma non esistendo mi aspetterei di non avere z come risultato ultimo[nota](proprio come nell'esempio di $log(e^(−iπ))$[/nota], e invece... ho z.
Invece $e^log(z)=z$ per ogni $z≠0$.
però come facevi notare poco sopra "la funzione $e^z$ non è iniettiva, non può ammettere inversa", perché qui invece sembra ammetterla, alla fine scrivere $e^log(z)$ è piazzare l'inversa ad esponente, se esiste quell'inversa, ma non esistendo mi aspetterei di non avere z come risultato ultimo[nota](proprio come nell'esempio di $log(e^(−iπ))$[/nota], e invece... ho z.
"znature":Non le ho tirate fuori su due piedi, sono cose che ho studiato e comunque le trovi nei libri.
posso chiederti come hai fatto a tirare fuori immediatamente queste cose su due piedi, ci ho messo mezz'ora a afferrarle del tutto. Che trucco posso usare per visualizzarle in modo "rapido"?
se volgio fare $(e^(itheta))^2$ essendo $w=2$ e $itheta=z$ in modo completo dovrei dire che $(e^(itheta))^2=e^((itheta+2kpii)2)$? E poi la periodicità elimina il problema perché avrò $e^((itheta+2kpii)2)=e^(i2theta)$?Qui mi sembra che ti stai attorcigliando, in ogni caso l'uguaglianza $(e^(i theta))^2 = e^(2i theta)$ è corretta e se usi la periodicità non cambia niente, come hai osservato. Quindi non capisco quale sia il problema.
Quindi, quando ricavo la radice trovo n radici come risultato della periodicità, che era un artificio della mia rappresentazione, e questa cosa mi stupisce. Cioè qualcosa dovuto a un mio modo di rappresentare quel punto fa si che mi permetta però di trovare proprio le radici n-esime di quel numero/punto del piano.Se vedi le cose nel modo corretto non ci sono "artifici" né ambiguità. Se vuoi risolvere l'equazione $z^n=1$ puoi scrivere $z=e^(i theta)$ e $1=e^0$ da cui $e^(n i theta) = e^0$, ora semplicemente usi il fatto che $e^a=e^b$ se e solo se $a-b$ è una cosa del tipo $i 2k pi$ con $k$ intero. Quindi $n theta=2k pi$. Eccetera. Non ci sono artifici, stai semplicemente usando la descrizione delle coppie $(a,b)$ tali che $e^a = e^b$.
"znature":Qui penso tu debba ripassare qualcosa sulle funzioni iniettive, suriettive, biiettive.Invece $e^log(z)=z$ per ogni $z≠0$.
però come facevi notare poco sopra "la funzione $e^z$ non è iniettiva, non può ammettere inversa", perché qui invece sembra ammetterla, alla fine scrivere $e^log(z)$ è piazzare l'inversa ad esponente, se esiste quell'inversa, ma non esistendo mi aspetterei di non avere z come risultato ultimo, e invece... ho z.
La funzione $f: CC to CC-{0}$, $z to e^z$ non è iniettiva ma è suriettiva, come dimostra appunto l'uguaglianza $e^(log(z))=z$. Se chiamiamo $g:CC-{0} to CC$, $g(z)=log(z)$ abbiamo che $f circ g$ è l'identità di $CC-{0}$, cioè $f(g(z))=z$ per ogni $z in CC-{0}$. Questo significa che $g$ è una inversa destra di $f$ (il nome deriva dal fatto che $f circ g = 1$, dove $1$ indica la funzione identica - come vedi $g$ appare a destra). D'altra parte $g$ non è inversa sinistra di $f$ (cioè $g circ f ne 1$) perché $g(f(z)) ne z$ in generale (come ho osservato nel post precedente). Quindi $f$ ammette una inversa destra che però non è inversa sinistra. Una funzione è iniettiva se e solo se ammette un'inversa sinistra, è suriettiva se e solo se ammette un'inversa destra. Vedi qui (ma sarebbe meglio studiare queste cose sui libri).
Un esempio più semplice: $f:RR to RR_(ge 0)$, $f(x)=x^2$ è suriettiva, $g:RR_(ge 0) to RR$, $g(x)=sqrt(x)$ è inversa destra di $f$ perché $(sqrt(x))^2=x$ (cioè $f(g(x))=x$) per ogni $x in RR_(ge 0)$. Tuttavia $g$ non è inversa sinistra di $f$ perché $sqrt(x^2)=|x|$ (cioè $g(f(x))=|x|$) non è uguale a $x$ se $x$ è negativo.
Sarebbe utile sapere se stai facendo l'università e nel caso che corso di studi stai facendo.
Grazie ancora, sei un pozzo di informazioni 
Ti rispondo subito: sono uno studente di fisica, queste cose sui complessi ce le hanno infilate nel corso di analisi 1, che in realtà ho passato ma c'erano delle cose che come a volte capita non erano chiarissime e volevo riprendere in mano i concetti perché ahimé penso che il solo passare l'esame non voglia dire aver Capito davvero. E infatti avevo molte lacune come vedi.
per quanto riguarda l'inversa destra e sinistra non ci sono state spiegate nel corso (mi pare che voi a matematica le facciate in modo più esteso in algebra), tuttavia me le ero guardate per conto mio. E non ci avevo pensato in questo contesto, cioè io avevo piazzato f(g(z)) non pensando che devo anche guardare l'altra per definire l'inversa (giustamente) ma in quel conteso mi ero confuso e non ci sono spiegazioni sul perché non ci ho pensato proprio.
In poche parole $e^log(z)=z, forall z$ ci dice che esiste inversa destra ma come da tuo controesempio con $z=-ipi$: $log(e^z)$ non sempre è uguale a z. Non ho inversa sinistra => $e^z$ non è invertibile. Questo era il ragonamento che dovevo fare, invece. Se ho capito bene, e spero di si XD.
io immagino il numero complesso graficamente come un punto sul piano 2D, ora: un punto è un punto, lo vedo come singolo oggetto coppia (a,ib), insomma (a,b).
Ecco, poi introduco la rappresentazione esponenziale e mi permette di scrivere $a+ib=re^(itheta)$ e ci si accorge che theta non è unico volendo ma ha una periodicità, cioè più theta mi danno quel punto del piano.
A questo punto ci piacerebbe poter calcolare le radici dei numeri complessi e si ricava (dimostrandola) la formuletta e ci si accorge che proprio in virtù della periodicita e della divisione dell'angolo $theta$ ho n radici.
E qui viene il mio problema "filosofico", ma se theta è un angolo che uso per la rappresentazione, e la periodicità è solo frutto del fatto che esprimo quel punto sul piano con più angoli possibili, perché questo fatto mi fa discendere di poter avere n radici? Cioè, le n radici sono garantite dalla rappresentazione che ne do io di quel punto del piano/numero complesso, ho introdotto io theta eppure quel theta e la periodicità della rappresentazione esponenziale è proprio quello che poi mi fa uscire la possibilità di avere n radici.
Anche nella spiegazione che fai tu, "usi il fatto che $e^a=e^b$ se e solo se a−b è una cosa del tipo i2kπ" usi quella periodicità della rappresentazione di cui parlo. Cioè mi sembra una proprietà di come rappresento quel punto, non del punto in sé (ma le radici sono una proprietà di quel punto/numero).
Ti rispondo subito: sono uno studente di fisica, queste cose sui complessi ce le hanno infilate nel corso di analisi 1, che in realtà ho passato ma c'erano delle cose che come a volte capita non erano chiarissime e volevo riprendere in mano i concetti perché ahimé penso che il solo passare l'esame non voglia dire aver Capito davvero. E infatti avevo molte lacune come vedi.
per quanto riguarda l'inversa destra e sinistra non ci sono state spiegate nel corso (mi pare che voi a matematica le facciate in modo più esteso in algebra), tuttavia me le ero guardate per conto mio. E non ci avevo pensato in questo contesto, cioè io avevo piazzato f(g(z)) non pensando che devo anche guardare l'altra per definire l'inversa (giustamente) ma in quel conteso mi ero confuso e non ci sono spiegazioni sul perché non ci ho pensato proprio.
In poche parole $e^log(z)=z, forall z$ ci dice che esiste inversa destra ma come da tuo controesempio con $z=-ipi$: $log(e^z)$ non sempre è uguale a z. Non ho inversa sinistra => $e^z$ non è invertibile. Questo era il ragonamento che dovevo fare, invece. Se ho capito bene, e spero di si XD.
Qui mi sembra che ti stai attorcigliando, in ogni caso l'uguaglianza (eiθ)2=e2iθ è corretta e se usi la periodicità non cambia niente, come hai osservato. Quindi non capisco quale sia il problema.sì, diciamo che sentendomi insicuro volevo capire se avessi capito bene, il senso della domanda era quello.
il discorso che fai qui direi che mi è chiaro, lo capisco bene però forse non ho del tutto tramandato il dubbio che avevo o forse è talmente stupido che incomprensibile. vediamo se riesco a sistemarlo:
Se vedi le cose nel modo corretto non ci sono "artifici" né ambiguità.
io immagino il numero complesso graficamente come un punto sul piano 2D, ora: un punto è un punto, lo vedo come singolo oggetto coppia (a,ib), insomma (a,b).
Ecco, poi introduco la rappresentazione esponenziale e mi permette di scrivere $a+ib=re^(itheta)$ e ci si accorge che theta non è unico volendo ma ha una periodicità, cioè più theta mi danno quel punto del piano.
A questo punto ci piacerebbe poter calcolare le radici dei numeri complessi e si ricava (dimostrandola) la formuletta e ci si accorge che proprio in virtù della periodicita e della divisione dell'angolo $theta$ ho n radici.
E qui viene il mio problema "filosofico", ma se theta è un angolo che uso per la rappresentazione, e la periodicità è solo frutto del fatto che esprimo quel punto sul piano con più angoli possibili, perché questo fatto mi fa discendere di poter avere n radici? Cioè, le n radici sono garantite dalla rappresentazione che ne do io di quel punto del piano/numero complesso, ho introdotto io theta eppure quel theta e la periodicità della rappresentazione esponenziale è proprio quello che poi mi fa uscire la possibilità di avere n radici.
Anche nella spiegazione che fai tu, "usi il fatto che $e^a=e^b$ se e solo se a−b è una cosa del tipo i2kπ" usi quella periodicità della rappresentazione di cui parlo. Cioè mi sembra una proprietà di come rappresento quel punto, non del punto in sé (ma le radici sono una proprietà di quel punto/numero).
no, certo, però le hai ritirate fuori con una certa maestria e mi ha colpito, perché pur avendole studiate anche io sui libri non sarei riuscito a replicare il discorso così profondo e completo e volevo capire come divolo fare a pensarci in modo così completo e poterlo replicare a piacere. Noncapisco il percorso mentale da dove appigliarmi come prima cosa per diciamo riesporre tutte queste proprietà "a memoria". Lo chiedo perché pur studiando tantissimo, vorrei ancor di più migliorare.
Non le ho tirate fuori su due piedi, sono cose che ho studiato e comunque le trovi nei libri.
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"sellacollesella":Lo so sono sempre incasinato nell'espormi
perché desidererei capirci qualcosa di 'sti discorsi!
perdonami se non mi sono fatto capire . Cercherò di migliorarmi nel futuro.Però se mi dici dove provo a esprimermi meglio
, promesso.
Cioè mi sembra una proprietà di come rappresento quel punto, non del punto in sé (ma le radici sono una proprietà di quel punto/numero).Fai un esempio più semplice: $e^z=1$ ha come soluzioni $z=2 k pi i$ con $k$ intero qualsiasi, e questo non dipende da nessuna "rappresentazione" o notazione, è un fatto. Cioè segue proprio dalla definizione di $e^z$.
Noncapisco il percorso mentale da dove appigliarmi come prima cosa per diciamo riesporre tutte queste proprietà "a memoria". Lo chiedo perché pur studiando tantissimo, vorrei ancor di più migliorare.Se sei al primo anno di fisica ne hai di tempo davanti, non ti preoccupare
comunque io mi sono laureato più di 15 anni fa e nel risponderti mi sono andato a rivedere le definizioni per evitare di dire cose inesatte. Non è che sono andato a memoria (in matematica è meglio non andare a memoria).Purtroppo a fisica queste cose non sono trattate in profondità.
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Purtroppo a fisica queste cose non sono trattate in profondità.Eh per nulla, te lo assicuro ahimé
. Perché sono tutte cose che mi sono guardato da solo soprattutto quelle sulle funzioni come dicevamo prima, manco era stata definita la funzione come sottoinsieme del prodotto cartesiano, per dire...Fai un esempio più semplice: $e^z=1$ ha come soluzioni $z=2 k pi i$ con $k$ intero qualsiasi, e questo non dipende da nessuna "rappresentazione" o notazione, è un fatto. Cioè segue proprio dalla definizione di $e^z$.qui sicuramente pecco di ignornaza io, ma vorrei eliminare quella ignoranza
.Quello che voglio dire è che (in realtà per $e^z$ vedo che ci sono diverse definizioni, ad esempio potrei vederla come quella che mi hai dato tu col logaritmo o quella data a lezione, ma cambia poco nel senso che da una parte definisco una cosa e discendono le altre).
Comunque se io scrivo $e^z=1$ posso vederlo come $e^z=e^0$, quindi mi sembra discendere proprio dalla periodicità di cui parlavo: $z=0+i2kpi$.
In ogni caso discende dalla rappresentazine esponenziale, per non conflittare con la notazione scrivo $e^r=1$ perché anche vedendola come: $z^w$ allora $z:=e$ e $r:=w$ da cui posso sfruttare latua sostituendo e ed r in $e^(wlog(z))$ e mi trovo l$og(z)=ln(|z|)+iθ$ con $θ$ argomento e va bene, ma quel theta è pur sempre frutto della rappresentazione. E' qui che mi impappino, da una parte o dall'altra le radici me le trovo per via del theta e quel theta mi sembra solo frutto di una rappresentazione... e finché non faccio uscire gli angoli non riesco a parlare di periodicità. Per questo dico che le radici mi sembrano intrinsecamente legate a quel diavolo di theta e la sua periodicità, ma che io introduco solo per rappresentare qualcosa del piano.
PS:
1) alcuni edit
2) @sellacollesella: ti ringrazio
Supponiamo di voler risolvere $e^z=1$ (*) nei complessi.
Se $z=a+ib$ con $a,b in RR$ allora $e^z=1$ si scrive $e^a e^(ib)=1$ e prendendo i moduli $e^a=1$ da cui $a=0$. Quindi abbiamo $e^(ib)=1$. Siccome $e^(ib)=cos(b)+i sin(b)$, perché questo sia uguale a $1$ la sua parte immaginaria deve annullarsi, cioè $sin(b)=0$. Questa equazione ha infinite soluzioni, $b=k pi$ con $k$ intero qualsiasi. Ricordando che $cos(b)=1$ segue che le soluzioni di (*) sono $2k pi i$ con $k$ intero qualsiasi.
Se questo non ti ha chiarito i dubbi, mi fermo qui perché non capisco di cosa parli
Se $z=a+ib$ con $a,b in RR$ allora $e^z=1$ si scrive $e^a e^(ib)=1$ e prendendo i moduli $e^a=1$ da cui $a=0$. Quindi abbiamo $e^(ib)=1$. Siccome $e^(ib)=cos(b)+i sin(b)$, perché questo sia uguale a $1$ la sua parte immaginaria deve annullarsi, cioè $sin(b)=0$. Questa equazione ha infinite soluzioni, $b=k pi$ con $k$ intero qualsiasi. Ricordando che $cos(b)=1$ segue che le soluzioni di (*) sono $2k pi i$ con $k$ intero qualsiasi.
Se questo non ti ha chiarito i dubbi, mi fermo qui perché non capisco di cosa parli
sì, è esattamente quello a turbarmi: il passaggio alla forma trigonometrica del numero complesso. quando scrivi $e^(ib)=cos(b)+isin(b)$ esprimi l'esponenziale complesso che alla fin fine è dovuto alla formula di eulero la quale mi porta scrivere sin e cos.
D'altra partequando io prendo un numero z e dico voglio estrarne le radici n-esime di questo, sfrutto la formula che si dimostra essere: $r^(1/n)(cos((theta+2pik)/n)+isin((theta+2pik)/n))$
La molteplicità della radice è porprio dovuta a $(theta+2pik)/n$, quindi alla rappresentazione trigonometrica del compelsso perché lì appare il $theta$.
E non so perché quel theta che mi permette dividendolo di ottenere piu radici mi sembra un artificio, nel senso che theta lo introduco io per rappresentare un punto, è una coordinata, e non mi capacito del perché poi sia proprio quest'ultimo a dare la possibilità di vedere che le radici sono molteplici, lui e la sua periodicità danno questa possibilità. Quando guardo invece in faccia z=a+ib nella rappresentazione algebrica questa periodicità che sfrutto per trovare n radici non ce la vedo.
Nn so perché questa cosa mi infasidice.
D'altra partequando io prendo un numero z e dico voglio estrarne le radici n-esime di questo, sfrutto la formula che si dimostra essere: $r^(1/n)(cos((theta+2pik)/n)+isin((theta+2pik)/n))$
La molteplicità della radice è porprio dovuta a $(theta+2pik)/n$, quindi alla rappresentazione trigonometrica del compelsso perché lì appare il $theta$.
E non so perché quel theta che mi permette dividendolo di ottenere piu radici mi sembra un artificio, nel senso che theta lo introduco io per rappresentare un punto, è una coordinata, e non mi capacito del perché poi sia proprio quest'ultimo a dare la possibilità di vedere che le radici sono molteplici, lui e la sua periodicità danno questa possibilità. Quando guardo invece in faccia z=a+ib nella rappresentazione algebrica questa periodicità che sfrutto per trovare n radici non ce la vedo.
Nn so perché questa cosa mi infasidice.
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Ups, edit: correggo typo
@sellacollesella
noi consideriamo le divisioni con \(k=0,1,\dots,n-1\) e quindi quella rappresentazione polare innocua di prima che indicava lo stesso punto della nave, ora diventa un modo per estrarre da quella descrizione angolare le radici che sono n. Ma sono n per via di quel $\theta+2k\pi$, cioè, vedi, la periodicita che sembrava innocua descrivendo lo stesso punto a meno di k distinti ora diventa una informazione fondamentale per trovare le radici n-esime (è dividendo per n quella periodicità che trovo n radici con k da o a n-1).
E quindi per questo dicevo il $theta$ introdotto con la sua periodicità che non dava problemi indicando lo stesso punto ora permette di trovare numeri (ossia radici) diverse, è questo a colpirmi.
Che quella periodicità che prima indicava solo lo stesso punto girando più volte sul piano ed usciva come mero "artificio" della mia rappresentazione polare, ora non è più tanto innocua perché è quella che senza la quale non troverei n radici, o meglio non riuscirei a giustificare che sono in numero n.
@sellacollesella
"sellacollesella":ecco è proprio qui il punto dubbio, cioè quello che mi rimane indigesto, perché non è un vero dubbio, so che è cosi.
Allo stesso modo, nel calcolo delle sue radici \(n\)-esime, ossia delle soluzioni di \(w^n=z\), scrivere: \[
w_k=\rho^{1/n}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{n}},\quad k\in\mathbb{Z}
\] è altrettanto superfluo per via della \(2n\pi\)-periodicità, basta considerare \(k=0,1,\dots,n-1\).
noi consideriamo le divisioni con \(k=0,1,\dots,n-1\) e quindi quella rappresentazione polare innocua di prima che indicava lo stesso punto della nave, ora diventa un modo per estrarre da quella descrizione angolare le radici che sono n. Ma sono n per via di quel $\theta+2k\pi$, cioè, vedi, la periodicita che sembrava innocua descrivendo lo stesso punto a meno di k distinti ora diventa una informazione fondamentale per trovare le radici n-esime (è dividendo per n quella periodicità che trovo n radici con k da o a n-1).
E quindi per questo dicevo il $theta$ introdotto con la sua periodicità che non dava problemi indicando lo stesso punto ora permette di trovare numeri (ossia radici) diverse, è questo a colpirmi
.Che quella periodicità che prima indicava solo lo stesso punto girando più volte sul piano ed usciva come mero "artificio" della mia rappresentazione polare, ora non è più tanto innocua perché è quella che senza la quale non troverei n radici, o meglio non riuscirei a giustificare che sono in numero n.
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