Domanda su funzione
Ciao, volevo chiedere una cosa che ho capito a livello intutivo ma come posso dimostrare che la definizione di una g funzione in tal modo è ben posta?
In un esercizio il prof scriveva data una funzione f(x,y) che se io prendo f(x,0) allora posso definire: f(x,0)=g(x)
quindi il punto è che fissando y=0 ho una funzine in una variabile.
Mi sembra chiaro, ma come si dimosra diciamo in modo formale questa cosa e che è ben posta g?
In un esercizio il prof scriveva data una funzione f(x,y) che se io prendo f(x,0) allora posso definire: f(x,0)=g(x)
quindi il punto è che fissando y=0 ho una funzine in una variabile.
Mi sembra chiaro, ma come si dimosra diciamo in modo formale questa cosa e che è ben posta g?
Risposte
"snusolino":
In un esercizio il prof scriveva data una funzione f(x,y) che se io prendo f(x,0) allora posso definire: f(x,0)=g(x)
quindi il punto è che fissando y=0 ho una funzine in una variabile.
Stai definendo $g$ qui, no? Dichiari che $g(x)=f(x,0)$ per definizione e $f$ la conosciamo già?
Sì, esatto. Però il mio dubbio sciocco è questo: io definisco così g(x) partendo da una funzine a due entrate di cui ne fisso una (f). Ma come faccio a essere sicuro che in effetti quella funzione diventa una funzione della sola x con la scrittura tipica di una funzione a una sola variabile?
Mi è chiaro con degli esempi cioè f(x,y)= x^2+3xy per esempio diventa g(x)=f(x,0)=x^2 che è a tutto diritto auna variabile. Ma non posso procedere solo con esempi, come dimosro che tutte si riducono a un caso del genere? Mi ero "indubbiato" su questo
Mi è chiaro con degli esempi cioè f(x,y)= x^2+3xy per esempio diventa g(x)=f(x,0)=x^2 che è a tutto diritto auna variabile. Ma non posso procedere solo con esempi, come dimosro che tutte si riducono a un caso del genere? Mi ero "indubbiato" su questo
"snusolino":
Ma come faccio a essere sicuro che in effetti quella funzione diventa una funzione della sola x con la scrittura tipica di una funzione a una sola variabile?
Mi è chiaro con degli esempi cioè f(x,y)= x^2+3xy per esempio diventa g(x)=f(x,0)=x^2
Ma, per rispondere alla tua domanda, non devi stare a pensare alla formula che rappresenta una funzione, perché una funzione non è necessariamente descritta da una formula, ma da qualunque 'regola', se vogliamo richiamare la definizione di funzione di Dirichlet.
Tu cosa intendi dire con 'ben posta'? Che rispetta la definizione di funzione? E allora quale è la definizione di funzione che hai studiato?
Effettivamente ho peccato di pensare alle funzoni come le formule che la definiscono ma il tuo appunto è giusto.
Quindi, si, rivedendo la domanda alla luce della tua consederazione mi verrebbe da dire che vorrei capire perché fissando in una funzione f(x,y) la y allora trovo che è ben posta (quindi rispetta la definizione) di essere una funzione a una variabile.
Diciamo che io avevo preso un sottocaso, cioè quelle analitiche diciamo cosi, però capito il caso generico di cui parli tu in effetti anche il mio sottocaso f(x,y)= x^2+3xy per esempio diventa g(x)=f(x,0)=x^2 prende valore di correttezza.
Quindi si, vorrei capire quello che dici tu.
Quindi, si, rivedendo la domanda alla luce della tua consederazione mi verrebbe da dire che vorrei capire perché fissando in una funzione f(x,y) la y allora trovo che è ben posta (quindi rispetta la definizione) di essere una funzione a una variabile.
Diciamo che io avevo preso un sottocaso, cioè quelle analitiche diciamo cosi, però capito il caso generico di cui parli tu in effetti anche il mio sottocaso f(x,y)= x^2+3xy per esempio diventa g(x)=f(x,0)=x^2 prende valore di correttezza.
Quindi si, vorrei capire quello che dici tu.
Ma come te la hanno data la definizione di funzione? Credo quella più consueta che parla di una legge, o regola o quello che è.
Allora tu devi vedere, punto per punto, se la tua nuova funzione $g$ (che è quello che poi si chiama una restrizione della $f$) rispetta quella definizione.
Ti scrivo qui sotto la definizione di funzione a cui mi riferisco, ce ne sono altre ma questa è quella consueta nei corsi di analisi.
Definizione di funzione. Siano $X$ e $Y$ insiemi. Si dice che è data una funzione di $X$ in $Y$, o da $X$ a $Y$, se è data una regola (o legge) che ad ogni elemento di $X$ associa uno, ed un solo elemento di $Y$.
Come vedi si parla di regola o legge genericamente, può essere di qualsiasi natura, non c'è nessun riferimento a espressioni analitiche.
Il concetto di regola o legge è lasciato indefinito, ma non è certo una novità che ci siano dei concetti indefiniti, o primitivi, come si dice, in matematica.
E allora guardati punto per punto la tua nuova funzione $g$ in relazione alla definizione.
Ce li hai i due insiemi $X$ e $Y$? Ce l'ha la legge? E soprattutto, è vero che a ad ogni elemento di $X$ associa uno, ed un solo elemento di $Y$?
Se rispondi sì a queste domande la tua $g$ è 'ben posta', cioè è effettivamente una funzione così come nella definizione.
Allora tu devi vedere, punto per punto, se la tua nuova funzione $g$ (che è quello che poi si chiama una restrizione della $f$) rispetta quella definizione.
Ti scrivo qui sotto la definizione di funzione a cui mi riferisco, ce ne sono altre ma questa è quella consueta nei corsi di analisi.
Definizione di funzione. Siano $X$ e $Y$ insiemi. Si dice che è data una funzione di $X$ in $Y$, o da $X$ a $Y$, se è data una regola (o legge) che ad ogni elemento di $X$ associa uno, ed un solo elemento di $Y$.
Come vedi si parla di regola o legge genericamente, può essere di qualsiasi natura, non c'è nessun riferimento a espressioni analitiche.
Il concetto di regola o legge è lasciato indefinito, ma non è certo una novità che ci siano dei concetti indefiniti, o primitivi, come si dice, in matematica.
E allora guardati punto per punto la tua nuova funzione $g$ in relazione alla definizione.
Ce li hai i due insiemi $X$ e $Y$? Ce l'ha la legge? E soprattutto, è vero che a ad ogni elemento di $X$ associa uno, ed un solo elemento di $Y$?
Se rispondi sì a queste domande la tua $g$ è 'ben posta', cioè è effettivamente una funzione così come nella definizione.
Il concetto di regola o legge è lasciato indefinito, ma non è certo una novità che ci siano dei concetti indefiniti, o primitiviSe il concetto di funzione fosse primitivo saremmo a posto...
Invece: dati tre insiemi \(X,Y,Z\) il motivo per cui è ben posta la funzione \(f(x,-)\) a partire dalla funzione \(f : X\times Y\to Z\) è che la collezione \(Z^Y\) delle funzioni \(Y\to Z\) è un insieme (è un sottoinsieme dell'insieme delle parti di \(Y\times Z\), e dati \(Y,Z\) sono degli assiomi di ZF ad assicurare che puoi costruire \(X\times Y\), e \(P(X\times Y)\) (in particolare, la cosa "non banale" è la seconda: ci sono molti modi di farlo senza costruire anche un sacco di altra roba, che piacciono a chi fa logica ma non a chi fa set theory...)). Allora, la regola che manda \(x\in X\) nell'elemento \(f(x,-)\) dell'insieme \(Z^Y\subset P(Y\times Z)\) è una funzione, perché rispetta la definizione di cosa significa essere una funzione; il fatto che rende questa definizione leggermente elusiva è che \(f(x,-)\) è un elemento di un insieme i cui elementi sono funzioni. Del resto, questo è scioccante all'inizio, ma poi diventa una semplice applicazione della costruzione nota come currying
Va vista un altro po' di matematica per iniziare a maneggiare questa definizione (e ti consiglio, procurati un essiccatore)
Stiamo parlando di un ragazzo credo di primo anno o giù di lì forse nemmeno di matematica.
La definizione che ho dato è quella che sta su tutti i libri di analisi.
Poi ce ne sono altre, ma non è questa la sede per spiegarle, stiamo parlando all'OP per aiutarlo nei suoi studi, non al globo terracqueo
.
Ma lo vedi che non ha nemmeno presente una definizione base di funzione, e tu gli parli di currying e di ZF?
Non ho mai detto che il concetto di funzione è indefinito, infatti ho dato la definizione di funzione, vedi un po', ma quello di regola o legge, come di consueto nella definizione di Dirichlet, in tutti i libri di analisi.
E mo' che sarebbe l'essiccatore?
La definizione che ho dato è quella che sta su tutti i libri di analisi.
Poi ce ne sono altre, ma non è questa la sede per spiegarle, stiamo parlando all'OP per aiutarlo nei suoi studi, non al globo terracqueo
.Ma lo vedi che non ha nemmeno presente una definizione base di funzione, e tu gli parli di currying e di ZF?
Non ho mai detto che il concetto di funzione è indefinito, infatti ho dato la definizione di funzione, vedi un po', ma quello di regola o legge, come di consueto nella definizione di Dirichlet, in tutti i libri di analisi.
E mo' che sarebbe l'essiccatore?
"gabriella127":
[quote="snusolino"]Ma come faccio a essere sicuro che in effetti quella funzione diventa una funzione della sola x con la scrittura tipica di una funzione a una sola variabile?
Mi è chiaro con degli esempi cioè f(x,y)= x^2+3xy per esempio diventa g(x)=f(x,0)=x^2
Ma, per rispondere alla tua domanda, non devi stare a pensare alla formula che rappresenta una funzione, perché una funzione non è necessariamente descritta da una formula, ma da qualunque 'regola', se vogliamo richiamare la definizione di funzione di Dirichlet.[/quote]
Chiedo scusa per la mancanza di risposta. Ho dormito quasi tutto il giorno. Ormai sono superfluo. gabriella fa quello che avrei fatto io, e meglio.
ghira, ti ringrazio, se intervieni è meglio, fa piacere, è bene sentire più punti di vista.
Ho risposto prima di te per cortesia verso un ragazzo appena iscritto, visto che a agosto le risposte non fioccano, non volevo scavalcarti.
Ho risposto prima di te per cortesia verso un ragazzo appena iscritto, visto che a agosto le risposte non fioccano, non volevo scavalcarti.
"gabriella127":
ghira, ti ringrazio, se intervieni è meglio, fa piacere, è bene sentire più punti di vista.
Ho risposto prima di te per cortesia verso un ragazzo appena iscritto, visto che a agosto le risposte non fioccano, non volevo scavalcarti.
Ho capito. Ti ringrazio ma continua pure se vuoi in quanto sei più brava ma sì rispondo anch'io se non sembra in alcun modo un insulto, uno schiaffo, un rimprovero di alcun tipo. Cerco di essere fin troppo sensibile a queste cose dopo errori ormai molti anni fa.
Me ne pento ancora e mi sento molto in colpa per le offese provocate. Devo fare di meglio. Magari non sono la persona più adatta e Tom Lehrer dice: "I feel that if a person can't communicate, the very least he can do is to shut up!" Controllato su https://www.azquotes.com/quote/921307 ma vedo anche altre versioni altrove. Notiamo "he" qui. Oggi sarebbe forse consueto "they".
Eventualmente "La ringrazio, continui, vuole, è" ma non mi pare che sia l'usanza qui. Se preferisce ovviamente Le do del Lei. Non sono un incosciente o un barbaro. Magari controllo specificamente il regolamento e altri messaggi. Avrei dovuto farlo prima di intervenire e ho letto il regolamento senza NOTARE nulla ma potrei essere stato distratto, pigro. Non costituisce una scusa. Anzi. Sarebbe anche peggiore, dato che dico di essere così sensibile. Naturalmente ho visto che Lei mi dà del tu. Non mi dà il diritto di darLe del tu. (Adesso immagino: ma ghira quanto sei buffo.)
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