Limite di funzione

[darienz]

Salve, non saprei come risolvere il lim per x->0 di $1/x * [((1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1))^(1/3)-1]$.

[moccidentale]

.

[pilloeffe]

Ciao samuele34 e sellacollesella,

@sellacollesella: non credo che sia così semplice, perché nel limite proposto già la parte con esponente $1/3$ si presenta nella forma indeterminata $0/0$, quindi non si riesce a fare una sostituzione diretta del tipo $1 + t := (1-\sqrt(1-x))/(\sqrt(1+x)-1) $, perché per $x \to 0 $ a cosa tende $t$ ?

Il limite proposto è il seguente:

$\lim_{x \to 0}1/x \cdot [((1-\sqrt(1-x))/(\sqrt(1+x)-1))^(1/3)-1] = 1/6 $

Per prima cosa razionalizzerei:

$ \lim_{x \to 0}1/x \cdot [((1-sqrt(1-x))/(sqrt(1+x)-1))^(1/3)-1] = \lim_{x \to 0}1/x \cdot [(\frac{1 + \sqrt(1+x) -\sqrt(1-x) - \sqrt(1-x^2)}{x})^{1/3} - 1] $

Sviluppando in serie il numeratore ed omettendo per comodità gli infinitesimi di ordine superiore al secondo si ha:

$\lim_{x \to 0}1/x \cdot [(\frac{1 + \sqrt(1+x) -\sqrt(1-x) - \sqrt(1-x^2)}{x})^{1/3} - 1] = \lim_{x \to 0}1/x \cdot [(1 + x/2)^{1/3} - 1] = $

$ = 1/2 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{(1 + x/2)^{1/3} - 1}{x/2} = 1/2 \cdot 1/3 = 1/6 $