Concavità del logaritmo: una semplice dimostrazione?
Buonasera,
Sto cercando di dimostrare che la funzione logaritmo è concava senza far uso delle derivate e basandomi sulla definizione analitico-geometrica di concavità.
Do per noto che la funzione logaritmo sia continua nel suo dominio e monotona crescente.
Al momento mi trovo però arenato. Partendo infatti dalla definizione:
$$f(\lambda x_1 + (1-\lambda x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$$
ossia
$$\ln(\lambda x_1 + (1-\lambda x_2) \geq \lambda \ln(x_1) + (1-\lambda) \ln(x_2)$$
Sono riuscito a pensare solo a riscrivere il tutto come
$$\ln(\lambda x_1 + (1-\lambda x_2) \geq \ln(x_1^{\lambda} \cdot x_2^{(1-\lambda)})$$
Che attualmente non mi aiuta.
Ho trovato in giro dimostrazioni che fanno uso della cosiddetta AM-GM pesata, ossia una disuguaglianza media aritmentica, media geometrica ma con dei pesi davanti ossia
$$\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2 \geq x_1^{\lambda} x_2^{1-\lambda}$$
che incredibilmente è ciò che servirebbe qui. Tuttavia io lo vedo come argomento circolare, e non mi piace (lo so che in matematica se una dimostrazione è valida dire "non mi piace" è da stupidi).
Ma davvero non c'è altro modo di procedere mediante la definizione?
Nota1: ho pensato di usare la funzione esponenziale e giocare con la funzione inversa, ma anche in questo caso vorrei qualcosa di più puro
Nota2: ho provato a usare la AM-GM normale, ossia
$$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$$
prendendo poi il logaritmo poiché continuo e crescente:
$$\ln\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \frac{1}{2}\ln(x) + \frac{1}{2}\ln(y)$$
Conosco un TEOREMA che asserisce che se $f$ è continua su $(a, b)$ e soddisfa la disuguaglianza
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{1}{2}f(x) + \frac{1}{2}f(y)$$
allora $f$ è convessa su $(a, b)$.
Ebbene, io sopra ho trovato la stessa cosa ma con $\geq$ invece che $\leq$, e allora ho pensato: ok il teorema lo applico comunque, e mi dice che è concava e non convessa.
Eppure anche qui mi sembra di "imbrogliare". La AM-GM è fantastica, ma non c'è proprio altro modo per dimostrare la concavità del logaritmo con la definizione?
Sto cercando di dimostrare che la funzione logaritmo è concava senza far uso delle derivate e basandomi sulla definizione analitico-geometrica di concavità.
Do per noto che la funzione logaritmo sia continua nel suo dominio e monotona crescente.
Al momento mi trovo però arenato. Partendo infatti dalla definizione:
$$f(\lambda x_1 + (1-\lambda x_2) \geq \lambda f(x_1) + (1-\lambda) f(x_2)$$
ossia
$$\ln(\lambda x_1 + (1-\lambda x_2) \geq \lambda \ln(x_1) + (1-\lambda) \ln(x_2)$$
Sono riuscito a pensare solo a riscrivere il tutto come
$$\ln(\lambda x_1 + (1-\lambda x_2) \geq \ln(x_1^{\lambda} \cdot x_2^{(1-\lambda)})$$
Che attualmente non mi aiuta.
Ho trovato in giro dimostrazioni che fanno uso della cosiddetta AM-GM pesata, ossia una disuguaglianza media aritmentica, media geometrica ma con dei pesi davanti ossia
$$\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2 \geq x_1^{\lambda} x_2^{1-\lambda}$$
che incredibilmente è ciò che servirebbe qui. Tuttavia io lo vedo come argomento circolare, e non mi piace (lo so che in matematica se una dimostrazione è valida dire "non mi piace" è da stupidi).
Ma davvero non c'è altro modo di procedere mediante la definizione?
Nota1: ho pensato di usare la funzione esponenziale e giocare con la funzione inversa, ma anche in questo caso vorrei qualcosa di più puro
Nota2: ho provato a usare la AM-GM normale, ossia
$$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$$
prendendo poi il logaritmo poiché continuo e crescente:
$$\ln\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \frac{1}{2}\ln(x) + \frac{1}{2}\ln(y)$$
Conosco un TEOREMA che asserisce che se $f$ è continua su $(a, b)$ e soddisfa la disuguaglianza
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{1}{2}f(x) + \frac{1}{2}f(y)$$
allora $f$ è convessa su $(a, b)$.
Ebbene, io sopra ho trovato la stessa cosa ma con $\geq$ invece che $\leq$, e allora ho pensato: ok il teorema lo applico comunque, e mi dice che è concava e non convessa.
Eppure anche qui mi sembra di "imbrogliare". La AM-GM è fantastica, ma non c'è proprio altro modo per dimostrare la concavità del logaritmo con la definizione?
Risposte
Ciao GoldenRatio,
Non so se risponde al criterio della "semplicità" di cui al titolo dell'OP, ma prova a dare un'occhiata qui.
"GoldenRatio":
La AM-GM è fantastica, ma non c'è proprio altro modo per dimostrare la concavità del logaritmo con la definizione?
Non so se risponde al criterio della "semplicità" di cui al titolo dell'OP, ma prova a dare un'occhiata qui.
Nota2: ho provato a usare la AM-GM normale, ossia
$$\frac{x+y}{2} \geq \sqrt{xy}$$
prendendo poi il logaritmo poiché continuo e crescente:
$$\ln\left(\frac{x+y}{2}\right) \geq \frac{1}{2}\ln(x) + \frac{1}{2}\ln(y)$$
Conosco un TEOREMA che asserisce che se $f$ è continua su $(a, b)$ e soddisfa la disuguaglianza
$$f\left(\frac{x+y}{2}\right) \leq \frac{1}{2}f(x) + \frac{1}{2}f(y)$$
allora $f$ è convessa su $(a, b)$.
Cosa ti turba? Che vuoi usare quel teorema per funzioni concave, mentre te lo hanno enunciato per funzioni convesse? Non ci sono problemi. Dimostra che \(-\log\) è una funzione convessa usando quel teorema. E' facile poi vedere che una funzione \(f\) è concava se e solo se \(-f\) è convessa.
Eppure anche qui mi sembra di "imbrogliare". La AM-GM è fantastica, ma non c'è proprio altro modo per dimostrare la concavità del logaritmo con la definizione?
Devi usare la versione pesata di AM-GM. Non stai imbrogliando più di quanto non imbrogli usando la versione \(1/2\).
-----
Se vuoi continuare su questa strada, devi aprire un vaso di Pandora: la definizione della funzione esponenziale. E' matematica fondamentale ma c'è parecchio da dire. Ci sono vari modi di definire l'esponenziale, e quindi il logaritmo, e poi bisogna dimostrare che sono tutti equivalenti. Le varie AM-GM sono tutti corollari di questa roba qua.
Se trovi il libro di Giovanni Prodi in biblioteca, leggiti il capitolo dedicato. Se non ricordo male si chiama "funzioni esponenziali e circolari". E' bellissimo.
"dissonance":
Se trovi il libro di Giovanni Prodi in biblioteca, leggiti il capitolo dedicato. Se non ricordo male si chiama "funzioni esponenziali e circolari". E' bellissimo.
"Le funzioni esponenziali e le funzioni circolari", concordo assolutamente, è un capolavoro. Comunque butto lì un'idea, non ci ho pensato minimamente, ma potrebbe essere interessante considerare il logaritmo come $ln(x)=\int_1^x1/tdt$.
"otta96":
[quote="dissonance"]Se trovi il libro di Giovanni Prodi in biblioteca, leggiti il capitolo dedicato. Se non ricordo male si chiama "funzioni esponenziali e circolari". E' bellissimo.
"Le funzioni esponenziali e le funzioni circolari", concordo assolutamente, è un capolavoro. Comunque butto lì un'idea, non ci ho pensato minimamente, ma potrebbe essere interessante considerare il logaritmo come $ln(x)=\int_1^x1/tdt$.[/quote]
È un punto di vista che considererò in futuro, ma al momento vorrei rimanere in ambito "base", ossia senza dover utilizzare derivate seconde o integrali. Quello che a volte mi chiedo è: se una definizione matematica è stata data per un certo concetto, perché non riusciamo ad applicarla direttamente? Se uso la definizione di convessità per $x^2$ o per $|x|$ non faccio fatica.
Il logaritmo è sicuramente una funzione molto meno semplice da trattare, ma "mi scoccia" che non si possa dimostrare la sua concavità in modo più terra-terra, senza dover invocare AM-GM, o altri trucchi. Non so se mi spiego, forse sono nel torto... Sicuramente è più interessante e divertente collegare metodi più che stare nella staticità di una definizione... Però uff
Eppure anche qui mi sembra di "imbrogliare". La AM-GM è fantastica, ma non c'è proprio altro modo per dimostrare la concavità del logaritmo con la definizione?
Devi usare la versione pesata di AM-GM. Non stai imbrogliando più di quanto non imbrogli usando la versione \(1/2\).
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Se vuoi continuare su questa strada, devi aprire un vaso di Pandora: la definizione della funzione esponenziale. E' matematica fondamentale ma c'è parecchio da dire. Ci sono vari modi di definire l'esponenziale, e quindi il logaritmo, e poi bisogna dimostrare che sono tutti equivalenti. Le varie AM-GM sono tutti corollari di questa roba qua.
Se trovi il libro di Giovanni Prodi in biblioteca, leggiti il capitolo dedicato. Se non ricordo male si chiama "funzioni esponenziali e circolari". E' bellissimo.
Ho letto della versione pesata, e probabilmente ho letto poco e male, ma mi è sembrato un argomento un po' circolare. Da quanto ho visto si usa logaritmo e concavità per dimostrarla, e allo stesso tempo la si usa per dimostrare la concavità del logaritmo... Help!
Per quanto riguarda il testo di Prodi, lo dico in onestà: l'ho sempre visto in giro, negli scaffali di biblioteche e anche a volte tra consigli e recensioni, e l'ho sempre ignorato. Forse è tempo di rimediare...
Hai già dimostrato che $e^x$ è strettamente crescente e convessa?
Se sì, mi pare che là concavità di $log x$ segua facilmente da questo… Ed è un caso particolare di un fatto più generale.
Se comunque ti interessa l’argomento convessità, puoi leggere un po’ questi appunti.
Se sì, mi pare che là concavità di $log x$ segua facilmente da questo… Ed è un caso particolare di un fatto più generale.
Se comunque ti interessa l’argomento convessità, puoi leggere un po’ questi appunti.
Non sempre ci sono delle soluzioni elementari quanto vorremmo ai problemi, si potrebbe dire che le funzioni esponenziali e logaritmiche siano intrinsecamente analitiche, non puoi esulare dell'analisi per definirle o per dimostrarne anche proprietà non prettamente analitiche come la convessità. Qualcosa la devi dimostrare con l'analisi come ad esempio la convessità dell'esponenziale, poi come ha notato gugo82 puoi non usare più l'analisi per dimostrarne il corrispettivo per il logaritmo.
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