Problema nel calcolo del gradiente in un punto
Buonasera a tutti, mi sto esercitando per l'esame di Analisi 2 ed ho trovato problemi nel seguente esercizio:
Sia $f(x,y)=xsqrt(x^2+y^2)$. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) il dominio di $f$ è $RR text{\} {(0,0)}$
(b) $(delf)/(delx)(x,0) = 0 hArr x != 0$
(c) $\grad f \text{(}(0,0)\text{)} = (0,0)$
(d) $\grad f\text{(}(-1,1)\text{)} = (sqrt(2), -1/sqrt(2))$
Si esclude subito la (a) che credo sia un typo e fosse previsto $RR^2$, in ogni caso il dominio di f è tutto $RR^2$.
Calcolo le derivate parziali:
$(delf)/(delx)(x,y)=1*sqrt(x^2+y^2)+1/(2sqrt(x^2+y^2))*2x^2=(2x^2+y^2)/(sqrt(x^2+y^2)$
Si vede subito che la (b) è sbagliata.
$(delf)/(dely)(x,y)=x*1/(2sqrt(x^2+y^2))*2y=(xy)/sqrt(x^2+y^2)$
Ora calcolo $\grad f\text{(}(-1,1)\text{)}=((2+1)/sqrt(2), -1/sqrt(2))$ quindi la (d) è sbagliata.
Segue che la (c) è vera ma vorrei dimostrarlo come esercizio:
$lim_(h->0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h = 0$
$lim_(k->0) (f(0,0+k)-f(0,0))/k=0$
e quindi $\grad f \text{(}(0,0)\text{)} = (0,0)$.
Vorrei capire se i miei passaggi sono corretti, in particolare l'ultimo ( le derivate le ho controllate con wolfram), inoltre non mi è chiaro come mai il punto $(0,0)$ mi dà "problemi" ed è necessario usare la definizione. Chiaramente non posso sostituire le coordinate perché mi troverei $0/0$, ma saprei giustificare il perché al di là di questa constatazione.
Sia $f(x,y)=xsqrt(x^2+y^2)$. Quale delle seguenti affermazioni è vera?
(a) il dominio di $f$ è $RR text{\} {(0,0)}$
(b) $(delf)/(delx)(x,0) = 0 hArr x != 0$
(c) $\grad f \text{(}(0,0)\text{)} = (0,0)$
(d) $\grad f\text{(}(-1,1)\text{)} = (sqrt(2), -1/sqrt(2))$
Si esclude subito la (a) che credo sia un typo e fosse previsto $RR^2$, in ogni caso il dominio di f è tutto $RR^2$.
Calcolo le derivate parziali:
$(delf)/(delx)(x,y)=1*sqrt(x^2+y^2)+1/(2sqrt(x^2+y^2))*2x^2=(2x^2+y^2)/(sqrt(x^2+y^2)$
Si vede subito che la (b) è sbagliata.
$(delf)/(dely)(x,y)=x*1/(2sqrt(x^2+y^2))*2y=(xy)/sqrt(x^2+y^2)$
Ora calcolo $\grad f\text{(}(-1,1)\text{)}=((2+1)/sqrt(2), -1/sqrt(2))$ quindi la (d) è sbagliata.
Segue che la (c) è vera ma vorrei dimostrarlo come esercizio:
$lim_(h->0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h = 0$
$lim_(k->0) (f(0,0+k)-f(0,0))/k=0$
e quindi $\grad f \text{(}(0,0)\text{)} = (0,0)$.
Vorrei capire se i miei passaggi sono corretti, in particolare l'ultimo ( le derivate le ho controllate con wolfram), inoltre non mi è chiaro come mai il punto $(0,0)$ mi dà "problemi" ed è necessario usare la definizione. Chiaramente non posso sostituire le coordinate perché mi troverei $0/0$, ma saprei giustificare il perché al di là di questa constatazione.
Risposte
i conti mi pare siano corretti.
L'origine ti dà problemi in quanto è un punto di non derivabilità per la funzione $\sqrt(x^2 + y^2)$, dunque bisogna controllare l'esistenza del gradiente in quel punto utilizzando la definizione formale con i limiti.
L'origine ti dà problemi in quanto è un punto di non derivabilità per la funzione $\sqrt(x^2 + y^2)$, dunque bisogna controllare l'esistenza del gradiente in quel punto utilizzando la definizione formale con i limiti.
Grazie, è che l'unico esempio che avevo sull'argomento è questo:
$f(x,y)={(1,if xy!=0),(0,if xy=0):}$
che è definita su tutto $RR^2$, ma in $(0,0)$ interno al dominio non è continua perché $f(0,0)=0$ ma $lim_(x->0) f(x,x)=1$, quindi pensavo dovessi capitare in un caso del genere per avere dei "problemi"
$f(x,y)={(1,if xy!=0),(0,if xy=0):}$
che è definita su tutto $RR^2$, ma in $(0,0)$ interno al dominio non è continua perché $f(0,0)=0$ ma $lim_(x->0) f(x,x)=1$, quindi pensavo dovessi capitare in un caso del genere per avere dei "problemi"
Edit perché mi ero accorto di aver detto una cavolata: in più variabili non è vero che se $f$ non è continua in un punto, allora non ammette derivate parziali in quel punto.
Ciò che è vero è che se $f$ non è continua in un punto, allora non è ivi differenziabile.
Infatti $f$ differenziabile implica continua + esistono le derivate parziali + esistono tutte le derivate direzionali + vale la regola del gradiente.
Se una di queste condizioni salta, salta anche la differenziabilità.
Tuttavia in particolare $f$ ammette derivate parziali NON implica $f$ continua (contrariamente a quanto accade in analisi 1, con una sola variabile reale)
Prendiamo la funzione del tuo esempio: come hai detto tu, chiaramente $f$ non è continua in $(0,0)$; vediamo tuttavia che $f$ ammette entrambe le derivate parziali in quel punto, utilizzando la definizione:
$(\partial f)/(\partial x) (0,0) = \lim_(h \to 0) (f(h,0) - f(0,0) ) / h = 0$
in quanto $f(h,0) = 0$ dato che siamo nel caso in cui $xy = 0$ e idem per $f(0,0)$
Analogamente
$(\partial f)/(\partial y) (0,0) = \lim_(k \to 0) (f(0,k) - f(0,0) ) / k = 0$
infatti le derivate parziali altro non sono che le derivate della funzione ristretta agli assi, e nel nostro caso se restringiamo la funzione $f$ all'asse $y$ o $x$, questa è nulla a tappeto.
In particolare, $\nabla f (0,0) = (0,0)$.
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
Consideriamo invece la funzione $f(x,y) = (x^(5/2) + y^(5/2))/(x^2 + y^2)$, definita per $(x,y) \ne (0,0)$ ed estendiamola con continuità ponendo $f(0,0) = 0$.
Si verifica facilmente che la funzione $f$ così definita è continua nell'origine (basta andare in polari), tuttavia se andiamo a calcolare, ad esempio, la derivata parziale rispetto ad $x$ nell'origine:
$(\partial f)/(\partial x) (0,0) = \lim_(h \to 0) (f(h,0) - f(0,0) ) / h = (h^(5/2)) / h^3 \to \infty$, ovvero $f$ non è derivabile parzialmente rispetto ad $x$ nell'origine ( e nemmeno rispetto ad $y$).
Questo ci dice anche che la funzione non è differenziabile nell'origine
Ciò che è vero è che se $f$ non è continua in un punto, allora non è ivi differenziabile.
Infatti $f$ differenziabile implica continua + esistono le derivate parziali + esistono tutte le derivate direzionali + vale la regola del gradiente.
Se una di queste condizioni salta, salta anche la differenziabilità.
Tuttavia in particolare $f$ ammette derivate parziali NON implica $f$ continua (contrariamente a quanto accade in analisi 1, con una sola variabile reale)
Prendiamo la funzione del tuo esempio: come hai detto tu, chiaramente $f$ non è continua in $(0,0)$; vediamo tuttavia che $f$ ammette entrambe le derivate parziali in quel punto, utilizzando la definizione:
$(\partial f)/(\partial x) (0,0) = \lim_(h \to 0) (f(h,0) - f(0,0) ) / h = 0$
in quanto $f(h,0) = 0$ dato che siamo nel caso in cui $xy = 0$ e idem per $f(0,0)$
Analogamente
$(\partial f)/(\partial y) (0,0) = \lim_(k \to 0) (f(0,k) - f(0,0) ) / k = 0$
infatti le derivate parziali altro non sono che le derivate della funzione ristretta agli assi, e nel nostro caso se restringiamo la funzione $f$ all'asse $y$ o $x$, questa è nulla a tappeto.
In particolare, $\nabla f (0,0) = (0,0)$.
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Consideriamo invece la funzione $f(x,y) = (x^(5/2) + y^(5/2))/(x^2 + y^2)$, definita per $(x,y) \ne (0,0)$ ed estendiamola con continuità ponendo $f(0,0) = 0$.
Si verifica facilmente che la funzione $f$ così definita è continua nell'origine (basta andare in polari), tuttavia se andiamo a calcolare, ad esempio, la derivata parziale rispetto ad $x$ nell'origine:
$(\partial f)/(\partial x) (0,0) = \lim_(h \to 0) (f(h,0) - f(0,0) ) / h = (h^(5/2)) / h^3 \to \infty$, ovvero $f$ non è derivabile parzialmente rispetto ad $x$ nell'origine ( e nemmeno rispetto ad $y$).
Questo ci dice anche che la funzione non è differenziabile nell'origine
Ad esempio $f(x)=|x|$, è che in questo caso non sono nemmeno sicuro di come usare la definizione per dimostrare che non ammette il gradiente:
$lim_(h->0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h$
Mo' in questo caso $f(0,0)=0$ e va bene, ma poi come continuo? $f(0+h,0)$ come lo calcolo? Perché la funzione è nulla quando $xy=0$ quindi se nella seconda coordinata ho $0$ significa che allora vale 0 e quindi il limite rimane $0/0$?
$lim_(h->0) (f(0+h,0)-f(0,0))/h$
Mo' in questo caso $f(0,0)=0$ e va bene, ma poi come continuo? $f(0+h,0)$ come lo calcolo? Perché la funzione è nulla quando $xy=0$ quindi se nella seconda coordinata ho $0$ significa che allora vale 0 e quindi il limite rimane $0/0$?
"BizarreSummer":
Ad esempio $f(x)=|x|$
Forse intendevi dire $f(x, y) = |x|$, perché quella che hai scritto è una funzione di una variabile reale a valori nei reali positivi o al più nulli, continua e derivabile ovunque a parte nel punto $x = 0 $
"Lebesgue":
Edit perché mi ero accorto di aver detto una cavolata: in più variabili non è vero che se $f$ non è continua in un punto, allora non ammette derivate parziali in quel punto.
Ciò che è vero è che se $f$ non è continua in un punto, allora non è ivi differenziabile.
Infatti $f$ differenziabile implica continua + esistono le derivate parziali + esistono tutte le derivate direzionali + vale la regola del gradiente.
Se una di queste condizioni salta, salta anche la differenziabilità.
Tuttavia in particolare $f$ ammette derivate parziali NON implica $f$ continua (contrariamente a quanto accade in analisi 1, con una sola variabile reale)
Prendiamo la funzione del tuo esempio: come hai detto tu, chiaramente $f$ non è continua in $(0,0)$; vediamo tuttavia che $f$ ammette entrambe le derivate parziali in quel punto, utilizzando la definizione:
$(\partial f)/(\partial x) (0,0) = \lim_(h \to 0) (f(h,0) - f(0,0) ) / h = 0$
in quanto $f(h,0) = 0$ dato che siamo nel caso in cui $xy = 0$ e idem per $f(0,0)$
Analogamente
$(\partial f)/(\partial y) (0,0) = \lim_(k \to 0) (f(0,k) - f(0,0) ) / k = 0$
infatti le derivate parziali altro non sono che le derivate della funzione ristretta agli assi, e nel nostro caso se restringiamo la funzione $f$ all'asse $y$ o $x$, questa è nulla a tappeto.
In particolare, $\nabla f (0,0) = (0,0)$.
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Consideriamo invece la funzione $f(x,y) = (x^(5/2) + y^(5/2))/(x^2 + y^2)$, definita per $(x,y) \ne (0,0)$ ed estendiamola con continuità ponendo $f(0,0) = 0$.
Si verifica facilmente che la funzione $f$ così definita è continua nell'origine (basta andare in polari), tuttavia se andiamo a calcolare, ad esempio, la derivata parziale rispetto ad $x$ nell'origine:
$(\partial f)/(\partial x) (0,0) = \lim_(h \to 0) (f(h,0) - f(0,0) ) / h = (h^(5/2)) / h^3 \to \infty$, ovvero $f$ non è derivabile parzialmente rispetto ad $x$ nell'origine ( e nemmeno rispetto ad $y$).
Questo ci dice anche che la funzione non è differenziabile nell'origine
In effetti ora mi torna tutto anche rispetto ai miei appunti, grazie davvero, mi hai chiarito tanti dubbi con questo post.
"pilloeffe":
[quote="BizarreSummer"]Ad esempio $f(x)=|x|$
Forse intendevi dire $f(x, y) = |x|$, perché quella che hai scritto è una funzione di una variabile reale a valori nei reali positivi o al più nulli, continua e derivabile ovunque a parte nel punto $x = 0 $[/quote]
Chiaro, rispondevo ad una domanda di Lebesgue riguardo una funzione in una variabile continua in un punto e non derivabile nello stesso, è che poi s'è persa con l'edit ed io non avevo quotato
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