Asintoticità di una successione

[darienz]

Salve, per il calcolo del limite (al variare di a) della successione $n^a/(sqrt(n^4+n^3)-n^2)$ per n->+inf si procede determinando a quale successione il denominatore è asintotico. Nelle slide di correzione dell'esercizio, risulta che il denominatore è asintotico a $n/2$ ma questa cosa non mi torna. $sqrt(n^4+n^3)-n^2$ = $sqrt(n^4(1+1/n))-n^2$ = $n^2(1+1/n)^(1/2)-n^2$ = $n^2((1+1/n)^(1/2)-1)$. Sappiamo che $((1+an)^b-1)/(an) -> b$ se $an -> 0$. Quindi $((1+1/n)^(1/2)-1)/(1/n) -> 1/2$ visto che $1/n ->0$ per n->+inf. Affinchè questa successione tenda a 1 dovrei moltiplicarla per $1/b$ ovvero $1/(1/2)$ = $2$. In quel caso potrei affermare che $(1+1/n)^(1/2)-1$ ~ $1/n 2$ = $2/n$. Essendo $n^2$ ~ $n^2$, l'intero denominatore della successione di partenza è asintotico a $n^2 2/n$ = $2n$. Invece la correzione dell'esercizio suggerisce che $(1+1/n)^(1/2)-1$ ~ $1/(2n)$ e sto cercando di capire se sia un errore delle slide oppure ci sia un mio errore di calcolo/ragionamento.

[moccidentale]

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[darienz]

"sellacollesella":Dato che: \[
\lim_{n\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/2}-1}{\frac{1}{n}}=1/2
\] allora: \[
\lim_{n\to +\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/2}-1}{(1/2)\frac{1}{n}}=1
\] ossia per \(n\to+\infty\) si ha: \[
\left(1+\frac{1}{n}\right)^{1/2}-1\sim(1/2)\frac{1}{n}=\frac{1}{2n}
\] come scritto nelle dispense.

ok grazie

[pilloeffe]

Ciao samuele34,

Qui però conviene razionalizzare:

$\lim_{n \to +\infty} n^a/(\sqrt(n^4+n^3)-n^2) = \lim_{n \to +\infty} (n^a(\sqrt(n^4+n^3)+n^2))/((\sqrt(n^4+n^3)-n^2)(\sqrt(n^4+n^3)+n^2)) = $

$ = \lim_{n \to +\infty} (n^{a + 2}(\sqrt(1+1/n)+1))/(n^4+n^3-n^4) = \lim_{n \to +\infty} (n^{a + 2}(\sqrt(1+1/n)+1))/n^3 = $

$ = \lim_{n \to +\infty} n^{a - 1}(\sqrt(1+1/n)+1) = {(0 \text{ per } a < 1),(2 \text{ per } a = 1),(+\infty \text{ per } a > 1):}$