Dimostrare che inf X = - sup (-X)

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29 ago 2024, 19:18

Ciao a tutti, scrivo per la prima volta su questo forum. Vorrei chiedere riguardo al mio tentativo di dimostrare che inf X = - sup (-X).
Come prima cosa dimostro che dato un generico sottoinsieme X di R, non vuoto e limitato superiormente
max (X) = - min (-X).

Sia $ X={x in R : -x in -X} $ ;

se $ L=max X => L>=x $ $ AA x in R $ $vv$ $L in X$ . L è il più grande elemento di X e quindi, visto che -X contiene gli opposti di X, allora conterrà anche -L che risulta il più piccolo elemento di -X. Quindi:
$ -L<=-x$ $AA -x in -X $ $vv$ $-L in -X =>$ $ -L=min (-X) =>$ $L=max X= -min (-X)$

Ora dimostro che inf X = -sup (-X).
Sia $X={x in R : -x in -X}$ e M'x l'insieme dei suoi minoranti, cioè $M'x={m in R :$ $m<=x$ $AA x in X$ , $-m in -M'x}$.

se $l= INF(X) =>$ $l<=x$ $AA x in X$ $vv$ $l=max(M'x)=>$ $m<=l<=x$ $AA m in M'x$ $vv$ $AA x in X$ , $l in M'x =>$ $-x<=-l<=-m$. Essendo $-m in -M'x$ allora $-M'x$ è l'insieme dei maggioranti di -X. Inoltre, essendo $l=max M'x$ per quello che ho cercato di dimostrare prima, ottengo $-l = -max M'x = min -M'x$. Quindi, -l è maggiorante per -X ed inoltre è il più piccolo dei maggioranti di -X. Allora $-l = SUP(-X) =>$ $l = INF(X) = -SUP(-X)$.

In attesa di una risposta, grazie in anticipo.

Risposte

otta96

1 set 2024, 19:12

La sostanza va tutta bene, alcune cose sono scritte in modo impreciso o sono typo.
Ad esempio

"matteo_campa_0523":
$ L=max X => L>=x $ $ AA x in R $ $ vv $ $ L in X $ .

È $AAx\inX$, e ci va $^^$, non $vv$.

l'insieme dei suoi minoranti, cioè $ M'x={m in R : $ $ m<=x $ $ AA x in X $ , $ -m in -M'x} $.

Non devi scrivere $-m in -M'x$, non c'entra niente lì.

matteo_campa_0523

2 set 2024, 07:12

Si è vero. V è l'OR. AND è la V rovesciata.
Si, lo so che dovevo scrivere per ogni x di X e non di R, mi è sfuggito.

Se non dico che -m appartiene a -M'x, lo si capisce comunque dal contesto, senza specificare ?

Grazie per aver segnalato quelli errori.

megas_archon

2 set 2024, 08:59

La mappa "moltiplica per $-1$", $u : \mathbb R \to \mathbb R : x\mapsto -x$, che cambia di segno a un numero reale, è una involuzione anti-monotòna (ossia $x\le y$ se e solo se $uy\le ux$, e $u$ composta con sé stessa fa l'identità), quindi è un isomorfismo $(\mathbb R,\ge) = (\mathbb R,\le)^\text{op}\cong (\mathbb R,\le)$.

Ora, $\sup$ e $\inf$ hanno proprietà duali l'una all'altra, ossia se $S\subseteq \mathbb R$, $\inf_{(\mathbb R,\le)} S = \sup_{(\mathbb R,\le)^\text{op}} S$ e $\sup_{(\mathbb R,\le)} S = \inf_{(\mathbb R,\le)^\text{op}} S$.

Da questo segue che \[\textstyle-(\inf_{(\mathbb R,\le)} S)=u(\inf_{(\mathbb R,\le)} S)=u(\sup_{(\mathbb R,\le)^\text{op}} S)=\sup_{(\mathbb R,\le)} uS=\sup_{(\mathbb R,\le)} (-S),\] che è esattamente la tua tesi (siccome $u(\inf_{(\mathbb R,\le)} S)=\sup_{(\mathbb R,\le)} uS$, allora $uu(\inf_{(\mathbb R,\le)} S)=u(\sup_{(\mathbb R,\le)} uS)$, cioè $\inf_{(\mathbb R,\le)} S = -(\sup_{(\mathbb R,\le)} (-S))$ perché $u$ è una involuzione).