Segno rapporto incrementale e taylor
Ciao ho un dubbio che nasce dal rapporto incrementale ma poi si riverbera in altre circostanze
Provo a spiegarlo per quanto piuttosto sciocco.
quando io faccio il rapporto incrementale (che poi sfrutto per la derivata) di solito si scrive $h=x-x_0$
$(f(x+h))/(h)$
però siccome h è un incremento sia positivo che negativo nessuno mi vieta di definire
$(f(x-h))/(h)$, ma auqesto punto non capisco se sia corretto definirlo così oppure così $(f(x-h))/(-h)$
Poi ovviamente per la definizione di limite uguale prendendo $h->0$
D'altra parte quando ho gli sviluppi di taylor anche qui ho classicamente:
$f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}h^3 + \ldots$
ma se prendo $-h$ che accade?
$f(x_0-h) = f(x_0) - f'(x_0)h - \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 - \frac{f'''(x_0)}{3!}h^3 + \ldots$
oppure
$f(x_0-h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}h^3 + \ldots$
E soprattutto perché, cioè intendo se mi dice "con -h si fa così (con + o -)" ma perché, dato che non sono riuscito a capirlo vorrei capire la motivazione del perché prenda una di quelle forme.
Ringrazio tanto!
Provo a spiegarlo per quanto piuttosto sciocco.
quando io faccio il rapporto incrementale (che poi sfrutto per la derivata) di solito si scrive $h=x-x_0$
$(f(x+h))/(h)$
però siccome h è un incremento sia positivo che negativo nessuno mi vieta di definire
$(f(x-h))/(h)$, ma auqesto punto non capisco se sia corretto definirlo così oppure così $(f(x-h))/(-h)$
Poi ovviamente per la definizione di limite uguale prendendo $h->0$
D'altra parte quando ho gli sviluppi di taylor anche qui ho classicamente:
$f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}h^3 + \ldots$
ma se prendo $-h$ che accade?
$f(x_0-h) = f(x_0) - f'(x_0)h - \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 - \frac{f'''(x_0)}{3!}h^3 + \ldots$
oppure
$f(x_0-h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f''(x_0)}{2!}h^2 + \frac{f'''(x_0)}{3!}h^3 + \ldots$
E soprattutto perché, cioè intendo se mi dice "con -h si fa così (con + o -)" ma perché, dato che non sono riuscito a capirlo vorrei capire la motivazione del perché prenda una di quelle forme.
Ringrazio tanto!
Risposte
"cactmandu":
... quando io faccio il rapporto incrementale ...
Probabilmente ti sei perso qualcosa. La definizione è quella sottostante:
$(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
oppure, equivalentemente:
$-(f(x_0-h)-f(x_0))/h$
Per quanto riguarda lo sviluppo di Taylor:
$f(x_0-h)=f(x_0)-f^((1))(x_0)h+(f^((2))(x_0))/(2!)h^2-(f^((3))(x_0))/(3!)h^3+...$
Insomma, i termini relativi alle potenze dispari di h cambiano segno.
Lo studio dell'algebra insegna che non ci sono "le quattro operazioni", ma solo sue: addizione e moltiplicazione.
Giusto per capirci, "sottrarre" $b$ da $a$ non vuole dire nulla di diverso da aggiungere $-b$ (che è l'opposto di $b$) ad $a$.
Quindi il pensiero di mettere un "$-h$" è residuo di un modo di rimestare coi numeri che non è stato convenientemente aggiornato.
Diciamo così, in riferimento al rapporto incrementale:
- prendo un punto $x_0$
- considero un "incremento"* $h$, dove $h$ è un numero reale qualsiasi
La considerazione di questo "incremento" mi consente di prestare attenzione a due cose:
- il nuovo punto che ottengo a partire da $x_0$, cioè $x_0+h$. Ovviamente questo nuovo punto starà a destra o a sinistra di $x_0$, a seconda che $h$ sia positivo o negativo
- il nuovo valore che assume la $f$ in questo "nuovo" punto, ovvero $f(x_0+h)$
E poi posso considerare gli "incrementi"* $x_0+h - x_0$ ed $f(x_0+h) - f(x_0)$, e il loro rapporto (per $h$ diverso da $0$).
Etc.
Aneddoto. Molti anni fa, da studente, andai a seguire una esercitazione di Analisi per studenti di fisica. L'esercitatore era Arduini. Mi ricordo ancora adesso che (alla lavagna) passò da un $x_0$ ad un $x_0+h$ che stava a sinistra. Apprezzai moltissimo quella scelta.
* terminologicamente, magari uno si sentirebbe più a suo agio parlando di "variazione", anziché "incremento"
Giusto per capirci, "sottrarre" $b$ da $a$ non vuole dire nulla di diverso da aggiungere $-b$ (che è l'opposto di $b$) ad $a$.
Quindi il pensiero di mettere un "$-h$" è residuo di un modo di rimestare coi numeri che non è stato convenientemente aggiornato.
Diciamo così, in riferimento al rapporto incrementale:
- prendo un punto $x_0$
- considero un "incremento"* $h$, dove $h$ è un numero reale qualsiasi
La considerazione di questo "incremento" mi consente di prestare attenzione a due cose:
- il nuovo punto che ottengo a partire da $x_0$, cioè $x_0+h$. Ovviamente questo nuovo punto starà a destra o a sinistra di $x_0$, a seconda che $h$ sia positivo o negativo
- il nuovo valore che assume la $f$ in questo "nuovo" punto, ovvero $f(x_0+h)$
E poi posso considerare gli "incrementi"* $x_0+h - x_0$ ed $f(x_0+h) - f(x_0)$, e il loro rapporto (per $h$ diverso da $0$).
Etc.
Aneddoto. Molti anni fa, da studente, andai a seguire una esercitazione di Analisi per studenti di fisica. L'esercitatore era Arduini. Mi ricordo ancora adesso che (alla lavagna) passò da un $x_0$ ad un $x_0+h$ che stava a sinistra. Apprezzai moltissimo quella scelta.
* terminologicamente, magari uno si sentirebbe più a suo agio parlando di "variazione", anziché "incremento"
"Millissime" grazie per le rispose 
vorrei replicare a entrambi su due aspetti differenti e ringraziando
La prima risposta per la risposta che seleziona le scritture corrette di quelle che mi mettevano in dubbio.
Il problema era su un esercizio (di fisica in verità) che si sviluppava nel modo seguente:
si avevano due punti iniziali e finali $x_i, x_f$ e si definisva $x_f-x_i=eta$ data una funzione $f(x_i)$ si voleva sviluppare con taylor.
Il prof ha quindi scritto: $f(x_i)=f(x_f)+eta(df(x_f))/(dx_f)+eta^2/2(d^2f(x_f))/(dx_f^2)+...$
Io però non mi ci ritrovo perché compiendo la sostituzione $x_i=x_f-eta$ mi pare che dovrei sviluppare (da qui il dubbio col "meno"): $f(x_f-eta)$ e quindi mi pare prprio come dici tu dovrei avere i segni alternati + e - nello sviluppo e ciò non accade. Quindi mi sfugge qualcosa, sapresti aiutarmi @Noodles
La seconda di @Fioravante Patrone per la spiegazione più teorica. Vorrei se possibile chiedere una ulteriore delucidazione:
in realtà io stavo pensando proprio ad h come a una variazione come dici tu e al fatto che scrivere -(oggetto) è l'opposto dell'oggetto stesso, ossia tale che g+(-g)=0 il neutro.
Però il punto che mi mandava in crisi era che prendendo l'opposto -h ovviamente quando prima prendevo h nella nuova definizione di rapporto incrementale avrei -h e identicmaente dove prima avevo valori opposti dell'asse reale con -h avrei trovato i valori chiamiamoli "+h". Non so se mi sono spiegato ma questo scambiare le cose non mi permetteva di capire come gestire inmodo corretto poi il denominatore, cioè non capivo se dovessi mantenere coerenza e quindi metterci un -h o se venisse uguale usando h.
Insomma, riformulando, il dubbio può anche esssere visto così: $(f(x_0+h)-f(x_0))/(-h)$ era un rapporto incrementale valido per definire poi una derivata? Cioè mi chiedo definendo così le cose cosa diamine comporta? XD
Grazie mille a voi!
vorrei replicare a entrambi su due aspetti differenti e ringraziando
La prima risposta per la risposta che seleziona le scritture corrette di quelle che mi mettevano in dubbio.
Il problema era su un esercizio (di fisica in verità) che si sviluppava nel modo seguente:
si avevano due punti iniziali e finali $x_i, x_f$ e si definisva $x_f-x_i=eta$ data una funzione $f(x_i)$ si voleva sviluppare con taylor.
Il prof ha quindi scritto: $f(x_i)=f(x_f)+eta(df(x_f))/(dx_f)+eta^2/2(d^2f(x_f))/(dx_f^2)+...$
Io però non mi ci ritrovo perché compiendo la sostituzione $x_i=x_f-eta$ mi pare che dovrei sviluppare (da qui il dubbio col "meno"): $f(x_f-eta)$ e quindi mi pare prprio come dici tu dovrei avere i segni alternati + e - nello sviluppo e ciò non accade. Quindi mi sfugge qualcosa, sapresti aiutarmi @Noodles
La seconda di @Fioravante Patrone per la spiegazione più teorica. Vorrei se possibile chiedere una ulteriore delucidazione:
in realtà io stavo pensando proprio ad h come a una variazione come dici tu e al fatto che scrivere -(oggetto) è l'opposto dell'oggetto stesso, ossia tale che g+(-g)=0 il neutro.
Però il punto che mi mandava in crisi era che prendendo l'opposto -h ovviamente quando prima prendevo h nella nuova definizione di rapporto incrementale avrei -h e identicmaente dove prima avevo valori opposti dell'asse reale con -h avrei trovato i valori chiamiamoli "+h". Non so se mi sono spiegato ma questo scambiare le cose non mi permetteva di capire come gestire inmodo corretto poi il denominatore, cioè non capivo se dovessi mantenere coerenza e quindi metterci un -h o se venisse uguale usando h.
Insomma, riformulando, il dubbio può anche esssere visto così: $(f(x_0+h)-f(x_0))/(-h)$ era un rapporto incrementale valido per definire poi una derivata? Cioè mi chiedo definendo così le cose cosa diamine comporta? XD
Grazie mille a voi!
Una parentesi un po' OT: io chiedo sempre ai miei studenti (all'inizio del corso di matematica base) "$-x$ è positivo o negativo?" e più della metà risponde "negativo". Allora chiedo "perché negativo?" e rispondono "perché c'è il segno meno". Allora spiego che se $x$ è negativo allora $-x$ è positivo, e vedo molti sguardi increduli, e un certo numero di studenti non capiscono comunque. Chiusa parentesi 
"cactmandu":
...
Insomma, riformulando, il dubbio può anche esssere visto così: $(f(x_0+h)-f(x_0))/(-h)$ era un rapporto incrementale valido per definire poi una derivata? Cioè mi chiedo definendo così le cose cosa diamine comporta? ...
Supponiamo per semplicità di avere una $f$ definita su tutto $RR$.
Sia dato $x_0$ ed $h \in RR$, con $h$ diverso da $0$.
Dicesi rapporto incrementale (con punto di partenza $x_0$ e incremento $h$) la quantità
$(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
Ovviamente non c'è motivo per cui questa quantità debba essere uguale a
$(f(x_0-h)-f(x_0))/h$
e neanche a
$(f(x_0-h)-f(x_0))/-h$
Invito a fare ESEMPI (facilissimi) che provino queste due affermazioni.
Invito allo stesso tempo a DIMOSTRARE che:
$lim_{h \to 0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h$
esiste se e solo se esiste
$lim_{h \to 0}(f(x_0-h)-f(x_0))/-h$
e, nel caso uno dei due esista, esiste anche l'altro e sono uguali (reali o infinito di qualunque razza sia).
"Martino":
Una parentesi un po' OT: io chiedo sempre ai miei studenti (all'inizio del corso di matematica base) "$-x$ è positivo o negativo?" e più della metà risponde "negativo". Allora chiedo "perché negativo?" e rispondono "perché c'è il segno meno". Allora spiego che se $x$ è negativo allora $-x$ è positivo, e vedo molti sguardi increduli, e un certo numero di studenti non capiscono comunque. Chiusa parentesi
Non mi stupisce quello che dici (e non a caso avevo apprezzato allora, e in seguito, il valore didattico della scelta fatta da Arduini).
A mio parere ci devono essere delle "pressioni evolutive" che favoriscono la persistenza della credenza che un $-x$ sia negativo. Direi che "nella vita di tutti i giorni" quando si usa un segno "meno" davanti a qualcosa è perché siamo interessati a della roba negativa.
"cactmandu":
... sapresti aiutarmi Noodles ...
Premesso che, sotto opportune ipotesi:
$f(x)=f(x_0)+f^((1))(x_0)(x-x_0)+(f^((2))(x_0))/(2!)(x-x_0)^2+(f^((3))(x_0))/(3!)(x-x_0)^3+...$
vale in un intorno completo di $x_0$:
$x in ]x_0-\delta,x_0+\delta[$
ponendo:
$[x=x_i] ^^ [x_0=x_f]$
necessariamente:
$f(x_i)=f(x_f)+f^((1))(x_f)(x_i-x_f)+(f^((2))(x_f))/(2!)(x_i-x_f)^2+(f^((3))(x_f))/(3!)(x_i-x_f)^3+...$
Quindi:
$[x_f-x_i=\eta] rarr [f(x_i)=f(x_f)-f^((1))(x_f)\eta+(f^((2))(x_f))/(2!)\eta^2-(f^((3))(x_f))/(3!)\eta^3+...]$
"cactmandu":
... il prof ha quindi scritto ...
Ammesso e non concesso che tu abbia riportato fedelmente, il prof ha commesso una svista.
Vi ringrazio per gli aiuti perché per me è molto importante capire e inizio a vedere la luce in fondo al tunnel grazie alle vostre repliche
@Noodles:
ok mi pare proprio tornare io avevo sviluppato $f(x_f-eta)=f(x_f)-eta(df(x_f))/(dx_f)+eta^2/2(d^2f(x_f))/(dx_f^2)-...$ in sostanza avevo sostituito $eta->-eta$ dello sviluppo classico: $f(x_f+eta)=f(x_f)+eta(df(x_f))/(dx_f)+eta^2/2(d^2f(x_f))/(dx_f^2)+...$ (*) e da lì mi ero accorto della svista del prof (o aver copiato male in sede di lezione ovviamente).
Mi rimane solo un piccolo dubbio, dato che come risponderò poi a breve qui sotto a Fioravante il quale mi faceva notare che: sostituire h con -h non sempre fa funzionare le cose, infatti
$(f(x_0+h)−f(x_0))/h$ non equivale a $(f(x_0-h)−f(x_0))/(-h)$ quindi detto in modo semplice il trucchetto che usavo sopra di sostituire ad $h->-h$ non sempre funziona, non capisco perché nella (*) "sviluppo di Taylor" invece funzioni. Mi rimane un po' magico e vorrei capire il motivo.
@Fioravante:
come dicevo nella parte qui sopra a noodles ero convinto che sostituendo ad h -h trovassi qualcosa di equivalente ma in efffetti non avevo pensato a fondo, seguendo il tuo spunto mi sono fatto due esempi scemi:
1) $((x+h)^2-x^2)/h=h+2x$, 2) $((x-h)^2-x^2)/h=h-2x$, 3) $((x-h)^2-x^2)/(-h)=-h+2x$, tutti diversi.
Mi pare che potrei dimostrarlo per il thm di sostituzione dei limiti, assumiamo infatti che il rapporto incrementale sia $g(h)$; il rapporto incrementale con -h è invece $g(f(h))$ ove $f(h)=-h$, quindi $g(-h)$
le ipotesi del teorema sono rispettate dato che ho un intorno di 0 nel dominio di $f(h)$ tale che $f(h)=-h!=0$
Dunque: $lim_(h->0)g(-h)=lim_(h->0)g(f(h))=$(per thm)$=lim_(f->0)g(f)$ che coincide con la solita $lim_(h->0)g(h)$ a meno di chiamare $h:=f$ ma è solo questione di nomi. Porebbe andare?
(rimane pero la domanda che facevo qui sopra a noodles, perché in taylor se prendo $-eta$ e lo sostituisco bellamente in $eta$ trovo lo svilupppo corretto? Mentre è chiaro che non sempre funzioni: ad esempio facendolo nell rapporto incrementale faccio un casino XD).
@Noodles:
ok mi pare proprio tornare io avevo sviluppato $f(x_f-eta)=f(x_f)-eta(df(x_f))/(dx_f)+eta^2/2(d^2f(x_f))/(dx_f^2)-...$ in sostanza avevo sostituito $eta->-eta$ dello sviluppo classico: $f(x_f+eta)=f(x_f)+eta(df(x_f))/(dx_f)+eta^2/2(d^2f(x_f))/(dx_f^2)+...$ (*) e da lì mi ero accorto della svista del prof (o aver copiato male in sede di lezione ovviamente).
Mi rimane solo un piccolo dubbio, dato che come risponderò poi a breve qui sotto a Fioravante il quale mi faceva notare che: sostituire h con -h non sempre fa funzionare le cose, infatti
$(f(x_0+h)−f(x_0))/h$ non equivale a $(f(x_0-h)−f(x_0))/(-h)$ quindi detto in modo semplice il trucchetto che usavo sopra di sostituire ad $h->-h$ non sempre funziona, non capisco perché nella (*) "sviluppo di Taylor" invece funzioni. Mi rimane un po' magico e vorrei capire il motivo.
@Fioravante:
come dicevo nella parte qui sopra a noodles ero convinto che sostituendo ad h -h trovassi qualcosa di equivalente ma in efffetti non avevo pensato a fondo, seguendo il tuo spunto mi sono fatto due esempi scemi:
1) $(f(x_0+h)-f(x_0))/h$, 2) $(f(x_0-h)-f(x_0))/h$ 3) $(f(x_0-h)-f(x_0))/-h$vero infatti, sia $f(x)=x^2$ abbiamo:
$1!=2!=3$
1) $((x+h)^2-x^2)/h=h+2x$, 2) $((x-h)^2-x^2)/h=h-2x$, 3) $((x-h)^2-x^2)/(-h)=-h+2x$, tutti diversi.
Invito allo stesso tempo a DIMOSTRARE che:
Mi pare che potrei dimostrarlo per il thm di sostituzione dei limiti, assumiamo infatti che il rapporto incrementale sia $g(h)$; il rapporto incrementale con -h è invece $g(f(h))$ ove $f(h)=-h$, quindi $g(-h)$
le ipotesi del teorema sono rispettate dato che ho un intorno di 0 nel dominio di $f(h)$ tale che $f(h)=-h!=0$
Dunque: $lim_(h->0)g(-h)=lim_(h->0)g(f(h))=$(per thm)$=lim_(f->0)g(f)$ che coincide con la solita $lim_(h->0)g(h)$ a meno di chiamare $h:=f$ ma è solo questione di nomi. Porebbe andare?
(rimane pero la domanda che facevo qui sopra a noodles, perché in taylor se prendo $-eta$ e lo sostituisco bellamente in $eta$ trovo lo svilupppo corretto? Mentre è chiaro che non sempre funzioni: ad esempio facendolo nell rapporto incrementale faccio un casino XD).
"cactmandu":
$(f(x_0+h)−f(x_0))/h$
non equivale a:
$(f(x_0-h)−f(x_0))/(-h)$
Se non passi al limite certamente. Tuttavia, come Fioravante ti ha invitato a dimostrare:
$lim_(h->0)(f(x_0+h)−f(x_0))/h=lim_(h->0)(f(x_0-h)−f(x_0))/(-h)$
Insomma, ciò che importa è definire il rapporto incrementale di ascissa iniziale $x_0$ in modo tale che, passando al limite, si possa definire sensatamente il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di ascissa $x_0$.
"cactmandu":
...
Mi pare che potrei dimostrarlo per il thm di sostituzione dei limiti, assumiamo infatti che il rapporto incrementale sia $g(h)$; il rapporto incrementale con -h è invece $g(f(h))$ ove $f(h)=-h$, quindi $g(-h)$
le ipotesi del teorema sono rispettate
...
certo, ok
Grazie a tutti, direi che ho capito.
Solo una cosa per sicurezza @Fioravante: ho visto che hai quotato solo fino a "le hp sono rispettate", non ho quindi capito se va bene solo fino a li o se è corretto dire
ma è solo una inezia sulla comprensione, cioè vorrei capirre se ho fatto giusto o parlavo a vanvera
Saluto tutti!
Solo una cosa per sicurezza @Fioravante: ho visto che hai quotato solo fino a "le hp sono rispettate", non ho quindi capito se va bene solo fino a li o se è corretto dire
dato che ho un intorno di 0 nel dominio di $f(h)$ tale che $f(h)=-h!=0$
Dunque: $lim_(h->0)g(-h)=lim_(h->0)g(f(h))=$(per thm)$=lim_(f->0)g(f)$ che coincide con la solita $lim_(h->0)g(h)$ a meno di chiamare $h:=f$ ma è solo questione di nomi. Porebbe andare?
ma è solo una inezia sulla comprensione, cioè vorrei capirre se ho fatto giusto o parlavo a vanvera
Saluto tutti!
"cactmandu":
...
Solo una cosa per sicurezza @Fioravante: ho visto che hai quotato solo fino a "le hp sono rispettate", non ho quindi capito se va bene solo fino a li o se è corretto dire
...
Di solito quando rispondo citando (quotando, come si usa anche dire) un intervento mi limito a tenere solo le parti rilevanti cui rispondo. Ritengo buona cosa non sprecare i bit, esattamente come non si dovrebbe sprecare il fiato. Visto che non cito interamente, inserisco tre puntini per far notare che "c'è robba prima e anche dopo". Un po' come gli "OMISSIS" nei verbali.
Ho menzionato quella tua parte perché, quando si usa un teorema, la cosa importante è essere certi che le sue assunzioni siano soddisfatte (sembrerà incredibile, ma "talvolta" non accade). Volevo quindi solo sottolineare la correttezza del tuo modo di procedere.
E stai tranquillo, se procedi con precisione, evitando discorsi arruffati, farai un lungo cammino.
Grazie mille, è solo che sono nuovo e devo anchea un po' capire il modo di interagire sul forum. Chiaro
Grazie per tutto!
Grazie per tutto!
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