Integrale doppio e coordinate polari

[BizarreSummer]

Buonasera,

ho riscontrato dei problemi col seguente esercizio:

Calcolare $int_D (x^2+y^2)dx dy$, dove $D={(x,y) in RR^2 : (x-R)^2+y^2<=R^2}$

Vorrei usare le coordinate polari, il problema è che fino ad ora ho sempre trovato esercizi dove il centro era l'origine in qualche modo, per cui ho pensato di fare così:


${\(x=R+\rho cos(\theta)), (y=\rho sin(\theta)):}$ con $0 <= \rho <= R$ e $0 <= \theta <= 2pi$

da cui segue $f(R+\rhocos(\theta), \rhosin(\theta)) = R^2 +2R\rhocos(\theta)+\rho^2$

L'integrale diventa:

$int_(0)^(2pi) ( int_(0)^(R)(R^2+2R\rhocos(\theta)+\rho^2)\rho d\rho)d\theta$

$int_(0)^(2pi) [R^2\rho^2/2+2Rcos(\theta)\rho^3/3+\rho^4/4]_(\rho=0)^(\rho=R)d\theta$

$int_(0)^(2pi) (R^4/2+2/3R^4cos(\theta)+R^4/4)d\theta$

$[R^4/2\theta+2/3R^4sin(\theta)+R^4/4\theta]_(\theta=0)^(\theta=2pi) = R^4/(2)2pi+R^4/(4)2pi=3/2piR^4$

Mi son reso ora conto di aver supposto $R>0$ ma credo che i conti siano quasi identici per $R<0$, in ogni caso non mi ritrovo col risultato che ho, dovrebbe fare $3/4 pi R^4$ e non riesco a trovare l'errore.

[moccidentale]

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[BizarreSummer]

Ti ringrazio, purtroppo non ho Mathematica ma solo l'app di Wolfram ed ero riuscito solo a verificare l'integrale impostato da me, ma non sapevo se l'avessi fatto correttamente