Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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[highlight]Si consideri la funzione $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ di legge:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^x & \text{per } x > 0 \\
0 & \text{per } x = 0
\end{cases}
\text{.}
\]
1) $f$ è continua? Derivabile?
2) Calcolare $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
3) $f$ è convessa?
4) Realizzare un grafico qualitativo di $f$ al variare di $x$.
5) Quante soluzioni ha $f(x) = a$ al variare di $a \in \mathbb{R}$?
6) Determinare il carattere ...
Ciao,
cercando online ho trovato una definizione diversa da quella data a lezione e volevo chiedervi come mostrare l'equivalenza.
1) Scriviamo $x=lim_(n->oo)x_n$ se: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => ||a_n-a||<epsilon$
2) trovo scritto: $x=lim_(n->oo)x_n<=> lim_(n->oo)||a-a_n||=0$
Ma questa seconda vorrebbe dire: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => |0-(||a_n-a||)|<epsilon$
La differenza con il primo caso è che la 1) è un limite di successioni in un certo spazio normato, mentre in 2) diviene un limite di successione nel classico $RR$, infatti $||a_n-a|| in RR$, qundi uso ...
Ciao a tutti, ho una domanda molto niubba a cui mi sarebbe utile che qualche anima pia provasse a rispondere (al netto delle meritate pernacchie che sicuramente merito per averla posta).
Scrivendo in LaTeX, mi serve affermare in un teorema che, per qualsiasi dato numero intero strettamente positivo $c$, esistono infiniti numeri naturali $a$ che sono congrui a $5 \mod 20$ e la cui radice principale $c$-esima è un intero positivo.
In pratica, ...
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Studente Anonimo
18 lug 2024, 22:32
Ciao forum
E' il mio primo messaggio e apro con una domanda stolta.
Il prof ha parlato di compatti in $RR^n$ e ha detto che tutti i chiusi e limitati sono compatti (nel senso di successioni, ossia che ogni successione ha una sottosuccessione convergente).
Poi ha detto: "In R2 \ {0}, invece, l’insieme {∥x∥ ≤ 1} è chiuso e limitato ma non compatto"
E sinceramente non capisco perché, mi sembra che io abbia le stesse sottosuccessioni di prima, posso trovare un controesempio di ...
Ciao a tutti, vorrei dimostrare questa cosa in un esercizio trovato:
Dimostrare che:
- La sfera $S^2$ è diffeomorfa a qualunque ellissoide $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$.
- Il paraboloide $z=x^2+y^2$ è diffeomorfo al piano.
Ho pensato ai seguenti passi:
a) Io so che diffeomorfo può essere dimostrato in due modi (aka ho due definizioni in mente):
- date le parametrizzazioni $phi∘f∘psi$ è $C^oo$ la composizione è $C^oo$
- ...
Salve, a questa affermazione bisognerebbe aggiungere qualche altra condizione per fare in modo che sia vera:
Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
localmente integrabile secondo Riemann,
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
La domanda è:
quali sono le ...
$lim_(x->-2) $ln($x^2$+x-1) / $x^2$-4
Buonasera a tutti, per caso qualcuno avrebbe qualche idea su come svolgere più velocemente il seguente esercizio?
Calcolare le coordinate del baricentro della figura piana omogenea $A = {(x,y) \in \RR : x^2 + 4y^2 <= 16, x <= y <= x + 1 }$.
Io l'ho svolto in maniera molto brutale, trovando le intersezioni dell'ellisse con le rette $y = x $ e $y = x + 1$ e decomponendo $A$ in 3 pezzi, svolgendo poi gli integrali.
Dato che vengono dei conti a dir poco orripilanti, mi stavo domandando se ci fosse qualche ...
Vorrei chiarire una cosa che non ho capito e non so a chi chiedere ed eccomi qui.
Allora, io ho so per definizione che per f in due o più variabili:
f è differenziabile se e solo se esiste il limite con la forma lineare per cui vale zero cioè detto in altro modo è differenziabile se e solo se $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+alphah+betak+osqrt(h^2+k^2)$
la forma lineare che deve esistere perché sia differenziabile è $alphah+betak$
Poi trovo il teorema che dice:
se f differenziabile =>
-esistono derivate direzionali in tutte le ...
Ciao a tutti. Mi sono imbattuto in questa traccia d'esame:
Si consideri $x \in \mathbb{R} $ e la funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ di legge
\[
f(x) := \frac{1}{2} \int_{x-1}^{x+1} \frac{dt}{t^4 + 1};
\]
verificare che la funzione sia effettivamente definita su tutto $\mathbb{R}$. Si tratta di una funzione continua? Derivabile?
Soluzione del Prof.
La funzione dentro l'integrale è continua e uniformemente limitata e quindi sappiamo che l'integrale è definito per ogni ...
Buongiorno, non ho bene capito come si fa ad approssimare un numero utilizzando gli sviluppi di Taylor.
Per esempio, potreste aiutarmi a calcolare il valore di $sqrt(128)$ spiegando i passaggi?
Mi sembra di aver capito che bisogna scegliere una funzione che assuma questo valore per un certo valore $X_(0)$ e poi svilupparla con Taylor ma non ho capito con quali criteri scegliere la funzione corretta? Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio e spiegarmi in maniera generale ...
Salve a tutti. Sto riscontrando problemi nel risolvere il pb di Cauchy
\[
\begin{cases} y' = ye^t \\ y(0) = 0 \end{cases}
\]
Con il metodo di separazione delle variabili. Infatti, mi risulta:
\[
\frac{dy}{y} = e^t \, dt \leadsto \int \frac{dy}{y} = \int e^t \, dt \leadsto \ln |y| = e^t + C
\]
da cui:
\[
y(t) = e^{e^t + C}.
\]
Se però provo a porre le C.I., risulta:
\[
y(0) = 0 \implies e^{1 + C} = 0
\]
il che è assurdo.
Qualcuno può aiutarmi?
Ciao a tutti. Riporto qui il testo e lo svolgimento di un problema di Cauchy in cui mi sono imbattuto.
Sia $y(t)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y' = y + t^2 \\
y(0) = 0
\end{cases}
\text{.}
\]
Determinare $y(1)$.
Soluzione
Riscrivo l'equazione differenziale del problema come:
\[
y' - y = t^2.
\]
Considero una primitiva di $y$, per poi moltiplicare a destra e a sinistra per ...
Ciao a tutti,
Mi sono ritrovato a fare questo esercizio sulle equazioni differenziali lineari. Il testo è il seguente:
Determinare tutte le soluzioni dell'equazione differenziale
\( x^2y''(x)+4xy'(x)+2y(x)=x^2+\dfrac{1}{x} \) che soddisfano la condizione \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^2y(x)=0 \)
Posso supporre che \( x>0 \) e cerco una soluzione in \( (0,+\infty) \).
L'equazione differenziale risulta equivalente a \( y''(x)+\dfrac{4}{x}y'(x)+\dfrac{2}{x^2}y(x)=1+\dfrac{1}{x^3} ...
Ciao, ho bisogno di una mano per capire una notazione che non capisco proprio.
Il professore scrive per la derivata direzionale:
$(partialf)/(partialvecv)=df(v)=d/(dt)(f∘alpha)$ dove $dotalpha(t)=v$ questa cosa mi smebra tornarmi perché la prima è la formula del gradiente, la seconda dice che per composizione di funzioni e formula del gradiente è vera quella catena di =.
Problema, però poi va a scrivere quando segue (data alpha curva al solito):
$ddotalpha(s)=d/(ds)dotalpha(s)$
Io l'avevo interpretata come:
$ddotalpha(s)=(partialdotalpha)/(partialv)$ ove ...
Ciao a tutti.
Mi sono imbattuto nella serie seguente:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1 + \frac{1}{n!}}{n!}
\]
Secondo voi c'è un modo per risolverla senza scomodare il criterio del rapporto?
Grazie per l'attenzione
Voglio condividere con voi i passaggi per la determinazione del carattere delle serie seguenti
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin^3 \frac{\pi n}{n+5}}{\sqrt{n^2 + n}-n}; \qquad \sum_{n=1}^\infty (-1)^n \ln \left( 1 + \sin \frac{\pi}{n \sqrt{n}} \right)
\]
Come al solito, sono felice di ricevere suggerimenti/feedback .
Per la prima si ha che
\begin{align*}
\sin^3 \frac{\pi n}{n+5} &= \sin^3 \left( \pi - \frac{\pi n}{n+5} \right) = \sin^3\frac{\pi(n + 5) - \pi n}{n+5} = \sin^3 \frac{\pi n + 5 ...
Buongiorno a tutti,
sto attualmente riscontrando difficoltà con gli esercizi delle successioni numeriche. Ho in particolare questo esercizio su cui sono bloccato:
Data la $f_n(x) =( \sqrt{n^2+n^{\alpha}} - n)*log(1+\frac{x^n}{2^n})$ con $\alpha$ compreso tra 0(escluso) ed 1 e x da 0 a infinito.
mi chiede di trovare l'insieme di convergenza puntuale ed uniforme.
Per quanto riguarda la puntuale, sono riuscito a sistemare fino a trovare
$ lim_{n->\infty} \frac{x^n}{2^n} $ Sono abbastanza insicuro che questa funzione NON sia corretta.
Quindi per ...
Dato il problema
\[x^{\prime \prime}(t) = -\frac{1}{(1+\epsilon x(t))^{2}}\]
\[x(0) = 0, \quad x^{\prime}(0)= 1\]
l'approccio del professore è stato di integrare doppiamente ottenendo
\[x(t)=t-\int_{0}^{t}\int_{0}^{\tau}\frac{ds}{(1+\epsilon x(s))^{2}}d\tau = t - \int_{0}^{t}\frac{(t-\tau)d\tau}{(1+\epsilon x(\tau))^{2}}\]
Non mi è chiaro come abbia risolto l'integrale rispetto ad $s$. Ho provato per parti, sostituendo, ma senza un $x^{\prime}$ al nominatore non sembra ...
Ciao a tutti,
mi sono imbattuto in una serie di quesiti riguardo una funzione integrale. Il testo è il seguente:
"Si supponga che $f \in C^1 (\mathbb{R}^+)$ sia tale che $f(0) = 0$. Si consideri inoltre la seguente funzione $g:\mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}$ definita da
\[
g_f (t) = \int_0^t \frac{f(x)}{x+1} \, dx \text{.}
\]
1. È vero che necessariamente $g_f (0) = 0$?
2. La funzione $g_f$ è continua e derivabile? Perché?
3. È vero che per ogni $f$ positiva e limitata, ...
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