Analisi matematica di base
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Buongiorno,
se non ho capito male il sistema LKKT (Lagrange karush Kuhn Tucker) per la ricerca dei minimi è una condizione necessaria per la ricerca dei min/max laddove rispettate le ipotesi di continuità di almeno classe C2 delle funzioni e se il dominio è regolare, per cui sembra che il sistema estragga tutti i possibili punti stazionari.
Ma immagino che per uno studio completo si debba aggiungere anche i punti irregolari in quanto non contemplati da tale sistema, per cui credo sia scorretto ...
Buongiorno,
dato questo teorema di convergenza per i minimi:
data una funzione coerciva (quindi esiste il minimo assoluto), il metodo del gradiente con ricerca esatta o termina in numero di finiti di passi in un punto stazionario o i suoi punti di accumulazione convergono ai punti stazionari
Non capisco la seconda parte cioè i suoi punti di accumulazione convergono ai punti stazionari.
Non riesco ad immaginarmi una funzione coerciva con tale casistica.
Mi potete fare un esempio grafico per ...
Buongiorno, data la mia preparazione incompleta in matematica chiedo un parere agli utenti di questo forum che sono decisamente più preparati. Stavo cercando un nuovo modo per rappresentare la funzione zeta di Riemann, non ho cavato un ragno dal buco ma ho trovato quella che sembrerebbe una formula esplicita in forma chiusa per il calcolo dei numeri di Bernoulli. Non ho trovato questa formula su nessuno dei paper che ho letto sull'argomento, né su Wikipedia, né su wolfram. Non sono del tutto ...
Perchè una funzione convessa, dove esiste un solo punto stazionario, abbiamo certezza che quel punto sia proprio il minimo assoluto/globale? Quale teorema ce lo garantisce?
[highlight]Si consideri la funzione $f : \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ di legge:
\[
f(x) := \begin{cases}
x^x & \text{per } x > 0 \\
0 & \text{per } x = 0
\end{cases}
\text{.}
\]
1) $f$ è continua? Derivabile?
2) Calcolare $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.
3) $f$ è convessa?
4) Realizzare un grafico qualitativo di $f$ al variare di $x$.
5) Quante soluzioni ha $f(x) = a$ al variare di $a \in \mathbb{R}$?
6) Determinare il carattere ...
Ciao,
cercando online ho trovato una definizione diversa da quella data a lezione e volevo chiedervi come mostrare l'equivalenza.
1) Scriviamo $x=lim_(n->oo)x_n$ se: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => ||a_n-a||<epsilon$
2) trovo scritto: $x=lim_(n->oo)x_n<=> lim_(n->oo)||a-a_n||=0$
Ma questa seconda vorrebbe dire: $forall epsilon>0 ∃N>0 : n>N => |0-(||a_n-a||)|<epsilon$
La differenza con il primo caso è che la 1) è un limite di successioni in un certo spazio normato, mentre in 2) diviene un limite di successione nel classico $RR$, infatti $||a_n-a|| in RR$, qundi uso ...
Ciao a tutti, ho una domanda molto niubba a cui mi sarebbe utile che qualche anima pia provasse a rispondere (al netto delle meritate pernacchie che sicuramente merito per averla posta).
Scrivendo in LaTeX, mi serve affermare in un teorema che, per qualsiasi dato numero intero strettamente positivo $c$, esistono infiniti numeri naturali $a$ che sono congrui a $5 \mod 20$ e la cui radice principale $c$-esima è un intero positivo.
In pratica, ...
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Studente Anonimo
18 lug 2024, 22:32
Ciao forum
E' il mio primo messaggio e apro con una domanda stolta.
Il prof ha parlato di compatti in $RR^n$ e ha detto che tutti i chiusi e limitati sono compatti (nel senso di successioni, ossia che ogni successione ha una sottosuccessione convergente).
Poi ha detto: "In R2 \ {0}, invece, l’insieme {∥x∥ ≤ 1} è chiuso e limitato ma non compatto"
E sinceramente non capisco perché, mi sembra che io abbia le stesse sottosuccessioni di prima, posso trovare un controesempio di ...
Ciao a tutti, vorrei dimostrare questa cosa in un esercizio trovato:
Dimostrare che:
- La sfera $S^2$ è diffeomorfa a qualunque ellissoide $x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2=1$.
- Il paraboloide $z=x^2+y^2$ è diffeomorfo al piano.
Ho pensato ai seguenti passi:
a) Io so che diffeomorfo può essere dimostrato in due modi (aka ho due definizioni in mente):
- date le parametrizzazioni $phi∘f∘psi$ è $C^oo$ la composizione è $C^oo$
- ...
Salve, a questa affermazione bisognerebbe aggiungere qualche altra condizione per fare in modo che sia vera:
Data una funzione \(\displaystyle \mathrm{f} : [ \mathrm{a},+\infty ] \rightarrow\mathbb{R} \) con \(\displaystyle \mathrm{a}\in\mathbb{R}\),
localmente integrabile secondo Riemann,
se è integrabile in senso improprio su \(\displaystyle [ \mathrm{a},+\infty ]\) allora la funzione è infinitesima per \(\displaystyle \mathrm{x}\rightarrow+\infty \)
La domanda è:
quali sono le ...
$lim_(x->-2) $ln($x^2$+x-1) / $x^2$-4
Buonasera a tutti, per caso qualcuno avrebbe qualche idea su come svolgere più velocemente il seguente esercizio?
Calcolare le coordinate del baricentro della figura piana omogenea $A = {(x,y) \in \RR : x^2 + 4y^2 <= 16, x <= y <= x + 1 }$.
Io l'ho svolto in maniera molto brutale, trovando le intersezioni dell'ellisse con le rette $y = x $ e $y = x + 1$ e decomponendo $A$ in 3 pezzi, svolgendo poi gli integrali.
Dato che vengono dei conti a dir poco orripilanti, mi stavo domandando se ci fosse qualche ...
Vorrei chiarire una cosa che non ho capito e non so a chi chiedere ed eccomi qui.
Allora, io ho so per definizione che per f in due o più variabili:
f è differenziabile se e solo se esiste il limite con la forma lineare per cui vale zero cioè detto in altro modo è differenziabile se e solo se $f(x_0+h,y_0+k)=f(x_0,y_0)+alphah+betak+osqrt(h^2+k^2)$
la forma lineare che deve esistere perché sia differenziabile è $alphah+betak$
Poi trovo il teorema che dice:
se f differenziabile =>
-esistono derivate direzionali in tutte le ...
Ciao a tutti. Mi sono imbattuto in questa traccia d'esame:
Si consideri $x \in \mathbb{R} $ e la funzione $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ di legge
\[
f(x) := \frac{1}{2} \int_{x-1}^{x+1} \frac{dt}{t^4 + 1};
\]
verificare che la funzione sia effettivamente definita su tutto $\mathbb{R}$. Si tratta di una funzione continua? Derivabile?
Soluzione del Prof.
La funzione dentro l'integrale è continua e uniformemente limitata e quindi sappiamo che l'integrale è definito per ogni ...
Buongiorno, non ho bene capito come si fa ad approssimare un numero utilizzando gli sviluppi di Taylor.
Per esempio, potreste aiutarmi a calcolare il valore di $sqrt(128)$ spiegando i passaggi?
Mi sembra di aver capito che bisogna scegliere una funzione che assuma questo valore per un certo valore $X_(0)$ e poi svilupparla con Taylor ma non ho capito con quali criteri scegliere la funzione corretta? Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio e spiegarmi in maniera generale ...
Salve a tutti. Sto riscontrando problemi nel risolvere il pb di Cauchy
\[
\begin{cases} y' = ye^t \\ y(0) = 0 \end{cases}
\]
Con il metodo di separazione delle variabili. Infatti, mi risulta:
\[
\frac{dy}{y} = e^t \, dt \leadsto \int \frac{dy}{y} = \int e^t \, dt \leadsto \ln |y| = e^t + C
\]
da cui:
\[
y(t) = e^{e^t + C}.
\]
Se però provo a porre le C.I., risulta:
\[
y(0) = 0 \implies e^{1 + C} = 0
\]
il che è assurdo.
Qualcuno può aiutarmi?
Ciao a tutti. Riporto qui il testo e lo svolgimento di un problema di Cauchy in cui mi sono imbattuto.
Sia $y(t)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y' = y + t^2 \\
y(0) = 0
\end{cases}
\text{.}
\]
Determinare $y(1)$.
Soluzione
Riscrivo l'equazione differenziale del problema come:
\[
y' - y = t^2.
\]
Considero una primitiva di $y$, per poi moltiplicare a destra e a sinistra per ...
Ciao a tutti,
Mi sono ritrovato a fare questo esercizio sulle equazioni differenziali lineari. Il testo è il seguente:
Determinare tutte le soluzioni dell'equazione differenziale
\( x^2y''(x)+4xy'(x)+2y(x)=x^2+\dfrac{1}{x} \) che soddisfano la condizione \( \displaystyle\lim_{x\rightarrow 0^{+}} x^2y(x)=0 \)
Posso supporre che \( x>0 \) e cerco una soluzione in \( (0,+\infty) \).
L'equazione differenziale risulta equivalente a \( y''(x)+\dfrac{4}{x}y'(x)+\dfrac{2}{x^2}y(x)=1+\dfrac{1}{x^3} ...
Ciao, ho bisogno di una mano per capire una notazione che non capisco proprio.
Il professore scrive per la derivata direzionale:
$(partialf)/(partialvecv)=df(v)=d/(dt)(f∘alpha)$ dove $dotalpha(t)=v$ questa cosa mi smebra tornarmi perché la prima è la formula del gradiente, la seconda dice che per composizione di funzioni e formula del gradiente è vera quella catena di =.
Problema, però poi va a scrivere quando segue (data alpha curva al solito):
$ddotalpha(s)=d/(ds)dotalpha(s)$
Io l'avevo interpretata come:
$ddotalpha(s)=(partialdotalpha)/(partialv)$ ove ...
Ciao a tutti.
Mi sono imbattuto nella serie seguente:
\[
\sum_{n=1}^\infty \frac{1 + \frac{1}{n!}}{n!}
\]
Secondo voi c'è un modo per risolverla senza scomodare il criterio del rapporto?
Grazie per l'attenzione
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