Es. limite di successione

[darienz]

Salve, devo determinare il limite di questa successione per n->+inf: $n^2((n+1)^(1/3)-sqrt(n))$. Come primo passaggio algebrico ottengo: $n^2(n^(1/3)(1+1/n)^(1/3) - sqrt(n))$ Essendo $1/n$ -> 0 per n->+inf, vorrei utilizzare il limite notevole $((1+a_n)^(b)-1)/(a_n)$ -> b per poter scrivere in un altro modo $(1+1/n)^(1/3)$. Anche l'idea fosse corretta, non saprei come andare avanti da qui.

[BizarreSummer]

Io onestamente proverei in un altro modo: $(n+1)^(1/3) - n^(1/2) ∼ -n^(1/2), n->+oo$ e quindi concludi subito che il tuo limite fa $-oo$. Ti accorgi di quell'equivalenza perché $1/2 > 1/3$, puoi anche verificarla calcolando:

$lim_(n->+oo) ((n+1)^(1/3)-n^(1/2))/(-n^(1/2))=1$

[pilloeffe]

Ciao samuele34,

"samuele34":non saprei come andare avanti da qui

Se proprio devi, farei così:

$\lim_{n \to +\infty} n^2[(n+1)^(1/3)-\sqrt(n)] = \lim_{n \to +\infty} n^2[n^(1/3)(1+1/n)^(1/3)- n^(1/2)
] = $

$ = \lim_{n \to +\infty} n^{7/3}[(1+1/n)^(1/3)- n^(1/6)] = \lim_{n \to +\infty} n^{7/3}[(1+1/n)^(1/3) - 1 + 1 - n^(1/6)] = $

$ = \lim_{n \to +\infty} n^{4/3}[\frac{(1+1/n)^(1/3) - 1}{1/n} + n(1 - n^(1/6))] = $

$ = \lim_{n \to +\infty} n^{4/3}[\frac{(1+1/n)^(1/3) - 1}{1/n} + n^{7/6}(1/n^{1/6} - 1)] = +\infty \cdot [1/3 - \infty] = - infty $

Attenzione che se invece di $\sqrt{n} $ ci fosse $root[3]{n} $ il risultato del limite proposto sarebbe $+\infty $