Problemi con integrale triplo e coordinate sferiche
Buongiorno, ho trovato dei problemi rispetto alla soluzione che ho del seguente integrale triplo:
$int_(E) y^2/(x^2+y^2) dxdydz$ dove $E={(x,y,z) in RR^3 : 1<=x^2+y^2+z^2<=4, 3x^2+3y^2-z^2<0, z>0}$
Ora fare un disegno è un po' scomodo, però ho due sfere di centro $O$ e la "parte interna" di un cono.
Vorrei usare le coordinate polari sferiche:
$\{(x=rcos\thetasin\phi),(y=rsin\thetasin\phi),(z=rcos\phi):}$
dove $\theta in [0, 2pi]$ e $\phi in [0,pi]$
Ora si vede subito che $1<=r<=2$, mentre ho più problemi a determinare $\phi$ e $\theta$.
Graficamente in effetti intuisco che $0<=\theta<=2pi$, mentre mi aspetterei che siccome dalla terza coordinate ho $z>0$ mi aspetterei che $rcos\phi >0$ da cui $0 <= \phi <= pi/2$ ( prendo solo quest'intervallo perché devono valere le condizioni scritte in precedenza).
Mentre nella soluzione in pratica il docente ha proiettato(?) $y^2+z^2=1$, $y^2+z^2=4$ e $z=sqrt(3)y$ sul piano $yz$ e da lì ha dedotto che $0<=\phi<=pi/6$ come l'angolo tra la retta $z=sqrt(3)y$ e l'asse $z$.
Potete chiarirmi come procedere? Perché diciamo che una volta stabiliti gli estremi il conto poi è relativamente semplice.
$int_(E) y^2/(x^2+y^2) dxdydz$ dove $E={(x,y,z) in RR^3 : 1<=x^2+y^2+z^2<=4, 3x^2+3y^2-z^2<0, z>0}$
Ora fare un disegno è un po' scomodo, però ho due sfere di centro $O$ e la "parte interna" di un cono.
Vorrei usare le coordinate polari sferiche:
$\{(x=rcos\thetasin\phi),(y=rsin\thetasin\phi),(z=rcos\phi):}$
dove $\theta in [0, 2pi]$ e $\phi in [0,pi]$
Ora si vede subito che $1<=r<=2$, mentre ho più problemi a determinare $\phi$ e $\theta$.
Graficamente in effetti intuisco che $0<=\theta<=2pi$, mentre mi aspetterei che siccome dalla terza coordinate ho $z>0$ mi aspetterei che $rcos\phi >0$ da cui $0 <= \phi <= pi/2$ ( prendo solo quest'intervallo perché devono valere le condizioni scritte in precedenza).
Mentre nella soluzione in pratica il docente ha proiettato(?) $y^2+z^2=1$, $y^2+z^2=4$ e $z=sqrt(3)y$ sul piano $yz$ e da lì ha dedotto che $0<=\phi<=pi/6$ come l'angolo tra la retta $z=sqrt(3)y$ e l'asse $z$.
Potete chiarirmi come procedere? Perché diciamo che una volta stabiliti gli estremi il conto poi è relativamente semplice.
Risposte
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In effetti credo abbia più senso provare per via grafica, in sede d'esame sicuramente farei qualche errore di calcolo, ti ringrazio di nuovo
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