Calcolo flusso di un campo attraverso una superficie
Buongiorno, ho provato a risolvere il seguente esercizio ed avrei alcuni dubbi.
Calcolare il flusso del campo $F(x,y,z)=(x,y,z)$ attraverso la calotta $\Sigma = {(x,y,z) : x-y+z=1, x>=0, y<=0, z>=0$ con la normale orientata in modo da formare un angolo acuto con il versore $\vec k$.
Ho provato a procedere in questo modo:
parametrizzo la superficie $\Sigma$ come $\sigma(u,v) = (u,v,1-u+v)$ ed il dominio di $\sigma$ che chiamo $S$ è dato da $S={(u,v) in R^2 : u>=0, v <=0, v>=u-1}$.
La normale alla superficie, essendo un piano si può vedere ad occhio ed è $(1,-1,1)$ e siccome il prodotto scalare col versore $\vec k$ è $>0$ allora è orientata correttamente.
Inoltre $F(u,v,1-u+v)=(u,v,1-u+v)$.
Devo quindi calcolare il seguente integrale:
$int_S (u,v,1-u+v)*(1,-1,1) du dv$
Rappresentando $S$ sul piano si vede subito che $u-1<=v<=0, 0<=u<=1$ e quindi devo risolvere l'integrale:
$int_0^1 ( int_(u-1)^0 1 dv) du=|S|=1/2$ ( è l'area di un triangolo o comunque si calcola velocemente)
Siccome non ho lo svolgimento, vorrei capire se ho ragionato correttamente. Inoltre mi interessa comprendere se in questo caso è sconveniente usare il teorema della divergenza. Secondo me sì, perché non avendo il bordo di $\Sigma$ dovrei prima trovare quello e poi calcolare un integrale triplo rispetto ad un doppio molto più semplice.
Vi ringrazio come sempre per l'aiuto.
Calcolare il flusso del campo $F(x,y,z)=(x,y,z)$ attraverso la calotta $\Sigma = {(x,y,z) : x-y+z=1, x>=0, y<=0, z>=0$ con la normale orientata in modo da formare un angolo acuto con il versore $\vec k$.
Ho provato a procedere in questo modo:
parametrizzo la superficie $\Sigma$ come $\sigma(u,v) = (u,v,1-u+v)$ ed il dominio di $\sigma$ che chiamo $S$ è dato da $S={(u,v) in R^2 : u>=0, v <=0, v>=u-1}$.
La normale alla superficie, essendo un piano si può vedere ad occhio ed è $(1,-1,1)$ e siccome il prodotto scalare col versore $\vec k$ è $>0$ allora è orientata correttamente.
Inoltre $F(u,v,1-u+v)=(u,v,1-u+v)$.
Devo quindi calcolare il seguente integrale:
$int_S (u,v,1-u+v)*(1,-1,1) du dv$
Rappresentando $S$ sul piano si vede subito che $u-1<=v<=0, 0<=u<=1$ e quindi devo risolvere l'integrale:
$int_0^1 ( int_(u-1)^0 1 dv) du=|S|=1/2$ ( è l'area di un triangolo o comunque si calcola velocemente)
Siccome non ho lo svolgimento, vorrei capire se ho ragionato correttamente. Inoltre mi interessa comprendere se in questo caso è sconveniente usare il teorema della divergenza. Secondo me sì, perché non avendo il bordo di $\Sigma$ dovrei prima trovare quello e poi calcolare un integrale triplo rispetto ad un doppio molto più semplice.
Vi ringrazio come sempre per l'aiuto.
Risposte
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La questione della calotta in effetti credo sia un errore del testo dell'esercizio che ho copiato senza rileggere per bene 
Comunque confermo, è per l'integrale di funzioni scalari su superfici che c'è il modulo mentre per l'integrale di campi vettoriali c'è la normale.
Ciò detto, ho un altro esercizio simile su cui ho un dubbio:
Calcolare il flusso del campo $F(x,y,z)=(-y,x,z)$ attraverso $\Sigma = {(x,y,z) : x^2+y^2+z^2=1, x<=0, y<=0, z>=0}$ con la normale orientata in modo da formare un angolo acuto col versore $\vec k$.
Ora premesso che potrei parametrizzare la superficie in polari sferiche, che porta a conti più semplici ( ci ho già provato), vorrei svolgerlo anche con coordinate cartesiane.
Seguendo ciò che ho fatto in precedenza: $\sigma(u,v) = (u,v,sqrt(1-u^2-v^2)),$ $K={(u,v) : u<=0, v<=0, u^2+v^2<=1}$
Ora calcolo la normale: $N(u,v) = det|(\vec i,\vec j,\vec k),(1,0,-u/sqrt(1-u^2-v^2)),(0,1,-v/sqrt(1-u^2-v^2))| = (u/sqrt(1-u^2-v^2), v/sqrt(1-u^2-v^2), 1)$
Come faccio a verificare la condizione dell'angolo acuto col versore $\vec k =(0,0,1)$ quando $N(u,v)$ dipende da $(u,v)$ e non è costante? La mia idea è quella di ragionare partendo dal fatto che $u<=0, v<=0$ quindi calcolo ad esempio $N(0,0)=(0,0,1)$ e ritrovo $\vec k$ quindi è orientata correttamente. Fila come ragionamento?
Comunque confermo, è per l'integrale di funzioni scalari su superfici che c'è il modulo mentre per l'integrale di campi vettoriali c'è la normale.
Ciò detto, ho un altro esercizio simile su cui ho un dubbio:
Calcolare il flusso del campo $F(x,y,z)=(-y,x,z)$ attraverso $\Sigma = {(x,y,z) : x^2+y^2+z^2=1, x<=0, y<=0, z>=0}$ con la normale orientata in modo da formare un angolo acuto col versore $\vec k$.
Ora premesso che potrei parametrizzare la superficie in polari sferiche, che porta a conti più semplici ( ci ho già provato), vorrei svolgerlo anche con coordinate cartesiane.
Seguendo ciò che ho fatto in precedenza: $\sigma(u,v) = (u,v,sqrt(1-u^2-v^2)),$ $K={(u,v) : u<=0, v<=0, u^2+v^2<=1}$
Ora calcolo la normale: $N(u,v) = det|(\vec i,\vec j,\vec k),(1,0,-u/sqrt(1-u^2-v^2)),(0,1,-v/sqrt(1-u^2-v^2))| = (u/sqrt(1-u^2-v^2), v/sqrt(1-u^2-v^2), 1)$
Come faccio a verificare la condizione dell'angolo acuto col versore $\vec k =(0,0,1)$ quando $N(u,v)$ dipende da $(u,v)$ e non è costante? La mia idea è quella di ragionare partendo dal fatto che $u<=0, v<=0$ quindi calcolo ad esempio $N(0,0)=(0,0,1)$ e ritrovo $\vec k$ quindi è orientata correttamente. Fila come ragionamento?
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"sellacollesella":
No, in quanto:
Si e' giusto. L'integrale e' fatto sulla proiezione della superficie e non sulla superficie stessa.
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