Analisi matematica di base

Ho questo problema di Cauchy: $\{(y'=xsqrt(y-2)),(y(1)=1):}$ Comincio con il separarmi le variabili $dy/dx=xsqrt(y-2)$ $dy/(y-2)=xdx$ $int dy/(y-2)=int xdx$ Da cui $2sqrt(y-2)=1/2x^2+C$ $y-2=(1/4x^2+C/2)^2 = 1/16x^4+1/4x^2C+1/4C^2$ $y(x)=1/16x^4+1/4x^2C+1/4C^2+2$ Ora cerco il valore della costante tramite le condizioni iniziali, cioè deve essere $y(1)=1$ $1/16+1/4C+1/4C^2+2=1$ $1/16+1/4C+1/4C^2+1=0$ $1/4C^2+1/4C+17/16=0$ Ho le due radici $C_1=2i-1/2, C_2=-2i-1/2$ Ora quello che mi chiedo è in che modo devo usare queste due radici nella soluzione?

studiare al variare del parametro $alpha > -1, alpha !=0$ il carattere della serie $sum_(n=1)^infty(log_(alpha+1)(n^2+3n+2)/(2n+3)^(alpha-3))$ la traccia consiglia di fare nell'ordine: cambiamento di base dei logaritmi, criterio del confronto, criterio di condensazione.

Ragazzi ho trovato enunciati differenti per il teorema di schwarz, ovvero alcuni dicono che una funzione ha derivate miste uguali se è di classe (C^2). Mentre altri indeboliscono l'ipotesi affermando che, affinché le derivate miste siano uguali, basta che sia differenziabile due volte. Sono corrette entrambe?? E se è così che senso avrebbe scrivere enunciati del teorema con delle ipotesi superflue??(cioè, se basta che sia differenziabile due volte, non ha senso dire anche che deve essere di ...

La disequazione è questa $<br /> 9^x-9*3^x+18<0<br /> $ Io la risolvevo, o meglio pensavo, così $3^2^x-3^2*3^x+3^2*2 < 0<br /> $ Quindi avevo $3^(2+x)-3^(2*x)>18<br /> $ Sfruttavo i logaritmi e: $ 2+x-2x>2log3(3)+log3(2)<br /> $ Dopo qualche operazione usando le proprietà dei log arrivavo a $<br /> x<-log3(2)<br /> $ Ma è sbagliato, la soluzione deve essere $<br /> 1<x<log3(6)<br /> $ Dove sbaglio? come arrivare alla soluzione? Un grazie in anticipo.

Buona sera, mi dareste una mano a risolvere questa equazione differenziale(se lo è)? $ sqrt( k^2 + (dx/dt)^2 )dt = sqrt(4x^2 + 1)dx $ Devo trovare x in funzione del tempo. E' possibile? A me si semplifica cosi': $ 2x * dx/dt = k $ poi come si procede?

Ciao a tutti! Devo calcolare il volume risultante dall'intersezione di $x<= 4 - y^2 - 9z^2$ e $x>= 4y^2 + 9z^2$. Il problema è che non riesco nemmeno a capire quale sia il dominio d'integrazione. Qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie

Buon pomeriggio , qualcuno puoi aiutarmi con il seguente limite di funzione ? $ lim_(x -> 1)\frac{(1+logx)^{\frac{1}{3}}-1}{log^2(1+(x-1)^{\frac{1}{3}})}sin(\frac{1}{x-1}) $ Svolgimento $ lim_(x -> 1) \frac{\frac{(1+logx)^{\frac{1}{3}}-1}{logx}logx}{(\frac{log^2(1+(x-1)^{\frac{1}{3})}}{(x-1)^{\frac{2}{3}}})(x-1)^{\frac{2}{3}}}sin(\frac{1}{x-1})=lim_(x -> 1) \frac{\frac{1}{3}logx }{(x-1)^{\frac{2}{3}}}sen\frac{1}{x-1} $ E qui mi blocco Suggerimenti ?

Buongiorno mi servirebbe sapere se svolgimento e risultato di questo limite sono corretti: $ \lim_{x\to0^+}\frac{(3^{x+1}-3)x^{3k}}{(2^x-\sqrt{x+1})sin\sqrt{x^7}} $ Svolgimento Per $ k>= 0 ,k<0 $ il limite si presenta sotto forma indeterminata. Si ha: $ \lim_{x\to0^+}\frac{(3^{x+1}-3)x^{3k}}{(2^x-\sqrt{x+1})sin\sqrt{x^7}} =\lim_{x\to0^+}\frac{3x\frac{(3^{x}-1)}{x}x^{3k}}{-(\sqrt{x+1}-1+1-2^x)\frac{sin\sqrt{x^7}}{\sqrt{x^7}}\sqrt{x^7}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{3x*ln3*x^{3k}}{-x(\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}-\frac{2^x-1}{x})\sqrt{x^7}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{3x*ln3*x^{3k}}{-x(\frac{\1}{2}-ln2)\sqrt{x^7}}=\lim_{x\to 0^+}\frac{ln(27)}{ln(\frac{2}{\sqrt{e}})}*x^{3k-\frac{7}{2}}$ In definitiva abbiamo : $ 0 $ se $ k>\frac{7}{6} $ $ +\propto $ se $ k<\frac{7}{6} $ $ \frac{ln27}{ln\frac{2}{\sqrt{e}} $ se $ k=\frac{7}{6} $ Corretto?

Ciao a tutti, Ho un dubbio sul passaggio matematico riguardante come ottenere l'accelerazione facendo la derivata seconda dello spazio in funzione del tempo,cioè: io so che: $ vec(v) = (dvec(s))/dt $ dove $vec(s)$ è il vettore spostamento e poi: $ vec(a)= (dvec(v))/(dt) = d((dvec(s))/dt) $ adesso non so che passaggio fare per ottenere : $ (d^2vec(s))/dt^2 $ Spero possiate aiutarmi

Esercizio: Fissato \(n\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\), calcolare: \[ \intop_{-\infty}^\infty \frac{\sin \pi x}{(x+n)\cdots (x+1)\cdot x \cdot (x-1)\cdots (x-n)}\ \operatorname{d} x\; , \] dopo aver mostrato che la funzione integranda è sommabile. Suggerimento: Usare il metodo dei residui per il calcolo dell'integrale.

Ciao a tutti, sto tentando di risolvere un limite il cui risultato secondo wolfram è infinito. Ecco: $ lim_(x -> 0) ln(2- (sin^2(3x))/sin^3(ln(1+2x))) $ ora io ho tentato di risolvere usando il limite notevole per il seno sia al numeratore che al denominatore ottenendo: $ ln(2- (9x^2)/ln^3(1+2x)) $ e poi per la proprietà dei logaritmi $ ln(2)/ln((9x^2)/ln^3(1+2x)) $ ora... prima di tutto gli ultimi due passaggi darebbero risultati diversi... e poi in ogni caso a me verrebbe zero. evidentemente sbaglio qualcosa...

Ho la funzione $f(x) = 2/3 abs(x)$, $2\pi$-periodica, pari e definita in $[-\pi, 0]$. Devo trovare la serie di Fourier di $f$. Utilizzo la formula: $a_0/2 + \sum_{k=1}^(infty) (a_k cos(kx) + b_k sen(kx))$ dove devo trovare opportunamente $a_0$, $a_k$ e $b_k$. So che $f$ è una funzione pari perciò $f(x) cos(kx)$ è pari, mentre $f(x) sen(kx)$ è dispari. A questo punto imposto i 3 integrali per trovare i coefficienti: 1) $a_0 = 2/\pi \int_{0}^{pi} f(x) dx$ 2) ...

Se ho una famiglia di funzioni $\{f(x,t)\}_{x\in A}$ dove $A$ è un insieme qualsiasi.... posso scrivere $\text{sup}_x \int_0^t f(x,s)ds\leq\int_0^t \text{sup}_x f(x,s)ds$? Ho un problema di integrabilità forse?

$(sqrt(3)cosx-sinx)/(sinx+cosx)>0$ ho provato a risolvere e il numeratore risulta >0 per $4/3pi <x<pi/3$, mentre il denominatore per $7/4pi<x<pi/4$, è giusto?

Buon pomeriggio e Buona Domenica a tutti, Cortesemente chiedo alcune delucidazioni su dei semplici quesiti... 1)Quando dobbiamo calcolare il dominio di una funzione a due variabili tipo f(x,y) =(x+y)(9-x^2-y^2) oppure f(x,y) $ -3x+2y+6 $ / 4-x^2-y^2 come faccio ? che condizioni devo porre ? Nel primo forse maggiore di zero ? perchè ? Nel secondo denominatore diverso da zero ? e poi ? 2)Quando devo calcolare le derivate parziali e capita che devo applicare la regola di derivazione di ...

Buona sera a tutti, ho qualche problema nello svolgimento del seguente limite di successione: \( \lim_{n\to \propto}\frac{n\;(2^\frac{senn}{n}-1)\;log(\frac{n^2+5n}{n^2+5n-1})}{\sqrt{\frac{n^2+1}{n^2}-1}} \) SVOLGIMENTO \( \lim_{n\to \propto}log(\frac{n^2+5n}{n^2+5n-1}) \) converge a zero e inoltre, applicando il limite notevole \( \lim_{n\to \propto}\frac{a^{a_{n}}-1}{a^{a_{n}}}=lna \) , si ottiene \( \lim_{n\to \propto}\frac{n\;ln2\;\frac{senn}{n}\;*0}{\frac{1}{n}}=0*\lim_{n\to ...

Vi propongo un nuovo esercizio sulle serie già svolto di cui vorrei la conferma sul procedimento..spero che questi esercizi possano essere utili anche ad altri Calcolare il carattere della serie: $\sum_{n=1}^N (((3+sin(n))n)/((n^2+2sqrt(n)+sin(1/n))))$ la serie è a termini positivi. ricordando che $-1<sin(n)<1 $ possiamo scrivere $a_n= (((3+1)n)/((n^2+2sqrt(n)+1)))$ $= (4n)/(n^2+2sqrt(n)+1)$ $~$ $4/n$ quindi se chiamiamo $b_n= 4/n$ essa è riconducibile alla serie armonica $\sum_{n=1}^N (1/n)$ che DIVERGE dunque essendo ...

Ciao a tutt*, Prima d'ogni altra cosa, mi scuso per l'ignoranza che paleserò nel porre la domanda - sono un neofita, e cerco di fare del mio meglio ... Passo subito alla domanda. Ho una funzione y=f(x). Il grafico è descritto mediante l'utilizzo di queste due coppie (1,2) e (4,3). Voglio calcolare f'(1) e f'(4). Come fare? Il libro che utilizzo (Essential Mathematics for Economic Analysis) riporta la seguente soluzione: nell'un caso, passando la tangente da (0,1), il coefficiente angolare ...

Buona sera a tutti, mi servirebbe una mano nello svolgimento del seguente esercizio: Dimostrare che \( \sum_{k=2}^{n}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{n+1}{2^n}) \) Svolgimento La proposizione \( P_{2} \) è vera perchè \( \sum_{k=2}^{2}log(1-\frac{1}{4})=log(\frac{2+1}{4}) \) quindi, supposta vera la generica proposizione \( P_{h} \) : \( \sum_{k=2}^{h}log(1-\frac{1}{k^2})=log(\frac{h+1}{2^h}) \), dobbiamo dimostrare che \( \sum_{k=2}^{h+1}log({1-\frac{1}{k^2}})=log(\frac{h+2}{2^{h+1}}) ...

Non riesco a capire perché $lim_(n->infty)root(n)(-a)=1$ con $ain$ $N $ ed $lim_(n->infty)root (n)(-n)=1$ Potreste darmi cortesemente qualche delucidazione; Saluti!