Limite successione

[Gold D Roger]

Stavo ripassando e mi sono imbattuto in questo limite semplice, tuttavia mi sovviene un dubbio:

$\lim_{n \to \+infty}(1-n)/((sqrt(n)+1)$

il testo suggerisce di dividere numeratore e denominatore per $sqrt(n)$, verificandosi da sé la tendenza a $-infty$.

Io invece ho considerato:

$-n+1 rarr -infty$ per $n rarr +infty$

mentre per $sqrt(n)+1$ ho considerato $(sqrt(n)+1)^(-1)=1/sqrt(n)+1$ (in quanto si trova al denominatore), dato che $\lim_{n \to \+infty}1/sqrt(n)=0$, il denominatore tende a $1$.

Pertanto $\lim_{n \to \+infty} (1-n)/(sqrt(n)+1) =-infty$.

È giusto come ragionamento oppure no?

[dan952]

"Gold D Roger":
mentre per $ \sqrt{n}+1 $ ho considerato $ (\sqrt{n}+1)^{-1}=\frac{1}{\sqrt{n}}+1 $ (in quanto si trova al denominatore)

Sbaglio o questa è un' eresia?
Prova a raccogliere $n$ al numeratore e $\sqrt{n}$ al denominatore quindi $\lim \frac{n(-1+1/n)}{\sqrt{n}(1+\frac{1}{\sqrt{n}})}$

[Gold D Roger]

"dan95":[quote="Gold D Roger"]
mentre per $ \sqrt{n}+1 $ ho considerato $ (\sqrt{n}+1)^{-1}=\frac{1}{\sqrt{n}}+1 $ (in quanto si trova al denominatore)

Sbaglio o questa è un' eresia?
[/quote]
Era quello che volevo sapere.

Comunque il mio ragionamento fallace si basava su questo fatto: $n^alpha rarr 0$ se $alpha < 0$.

Quindi $ (1-n)/((sqrt(n)+1)) ne (1-n) (sqrt(n)+1)^(-1) ne (1-n) ((sqrt(n))^(-1)+1^(-1)) ne (1-n) (1/sqrt(n)+1) $?

[walter.ruggeri.3]

"Gold D Roger":
Quindi $ (1-n)/((sqrt(n)+1)) ne (1-n) (sqrt(n)+1)^(-1) ne (1-n) ((sqrt(n))^(-1)+1^(-1)) ne (1-n) (1/sqrt(n)+1) $?

OVVIAMENTE.
Non può essere $(sqrtn+1)^(-1) != (sqrtn)^(-1) + 1^(-1)$: infatti, si ha - banalmente - che $(sqrtn+1)^(-1) = 1/(sqrtn+1)$, e tale numero non corrisponde a quello da te proposto.

Per verificarlo, ti basta assegnare un valore alla tua variabile. Poniamo per esempio $n = 4$: si ha

$1/(sqrt(4)+1) = 1/3 != 1/sqrt(4) + 1 = 3/2$

[alessio761]

"Gold D Roger":Stavo ripassando e mi sono imbattuto in questo limite semplice, tuttavia mi sovviene un dubbio:

$\lim_{n \to \+infty}(1-n)/((sqrt(n)+1)$

il testo suggerisce di dividere numeratore e denominatore per $sqrt(n)$, verificandosi da sé la tendenza a $-infty$.

Io invece ho considerato:

$-n+1 rarr -infty$ per $n rarr +infty$

mentre per $sqrt(n)+1$ ho considerato $(sqrt(n)+1)^(-1)=1/sqrt(n)+1$ (in quanto si trova al denominatore), dato che $\lim_{n \to \+infty}1/sqrt(n)=0$, il denominatore tende a $1$.

Pertanto $\lim_{n \to \+infty} (1-n)/(sqrt(n)+1) =-infty$.

È giusto come ragionamento oppure no?

Ciao,

tra i diversi approcci, si può anche osservare che a numeratore
$$
1-n=(1+\sqrt{n})(1-\sqrt{n})
$$
quindi, semplificando:
$$
\frac{1-n}{\sqrt{n}+1}=1-\sqrt{n}\to -\infty\; \textrm{ per }n\to+\infty
$$
Non mi è chiaro cosa intendo con

"Gold D Roger":
mentre per $sqrt(n)+1$ ho considerato $(sqrt(n)+1)^(-1)=1/sqrt(n)+1$

[Gold D Roger]

"wrugg25":[quote="Gold D Roger"]
Quindi $ (1-n)/((sqrt(n)+1)) ne (1-n) (sqrt(n)+1)^(-1) ne (1-n) ((sqrt(n))^(-1)+1^(-1)) ne (1-n) (1/sqrt(n)+1) $?

OVVIAMENTE.
Non può essere $(sqrtn+1)^(-1) != (sqrtn)^(-1) + 1^(-1)$: infatti, si ha - banalmente - che $(sqrtn+1)^(-1) = 1/(sqrtn+1)$, e tale numero non corrisponde a quello da te proposto.

Per verificarlo, ti basta assegnare un valore alla tua variabile. Poniamo per esempio $n = 4$: si ha

$1/(sqrt(4)+1) = 1/3 != 1/sqrt(4) + 1 = 3/2$[/quote]

Giusto, ho notato anche che ho applicato male la proprietà: $ (a xx b)^(alpha)=a^alpha xx b^alpha$ mentre $ (a + b)^(beta) ne a^beta + b^beta $.

Errore gravissimo, non me ne capacito. Chiedo venia e ringrazio tutti voi per la disponibilità.