Fissiamo \(n\in \mathbb{N}\setminus \{0\}\).
1.
Sommabilità. La funzione integranda, diciamola \(f_n\), è definita e continua in \(\mathbb{R}\setminus \{-n,-n+1,\ldots ,-1,0,1,\ldots ,n-1,n\}\); inoltre essa si prolunga con continuità sui punti esclusi dal dominio ponendo \(f_n(k) = \frac{(-1)^{n-k}\pi}{(n+k)!(n-k)!}\), con \(k=-n,\ldots,0,\ldots,n\) ed è infinitesima d'ordine superiore a \(2\) in \(\pm \infty\).
Pertanto, \(f_n\) è sommabile in \(\mathbb{R}\) ed il suo integrale coincide con quello a valor principale.
2.
Calcolo dell'Integrale. Dato che:
\[
f_n(x) = \operatorname{Im} \underbrace{\frac{e^{\imath\ \pi x}}{(x+n)\cdots (x+1)\cdot x\cdot (x-1) \cdots (x-n)}}_{=:\phi_n(x)}\; ,
\]
possiamo scegliere di calcolare l'integrale coi metodi dell'Analisi Complessa usando la funzione ausiliaria:
\[
\phi_n (z) := \frac{e^{\imath\ \pi z}}{(z+n)\cdots (z+1)\cdot z\cdot (z-1) \cdots (z-n)}\; .
\]
La \(\phi_n\) riesce olomorfa nell'aperto \(\Omega_n\) coincidente col piano complesso privato dei punti \(-n,\ldots,-1,0,1,\ldots ,n\), nei quali presenta singolarità polari del primo ordine.
Scegliamo dunque \(R\geq n+1\) ed \(0
[*:ivyeog1s] la semicirconferenza \(\Gamma (0;R)\) di centro \(0\) e raggio \(R\) situata nel semipiano \(\operatorname{Im} z\geq 0\);
[/*:m:ivyeog1s]
[*:ivyeog1s] le \(n+1\) semicirconferenze \(\gamma (k;r)\) con centro in \(k=-n,\ldots, 0,\ldots n\) e raggio \(r\) situate anch'esse nel semipiano \(\operatorname{Im} z\geq 0\);
[/*:m:ivyeog1s]
[*:ivyeog1s] gli \(n+2\) segmenti dell'asse reale coincidenti con gli intervalli \([-R,-n-r]\), \([-n+r,-n+1-r]\), ..., \([-1+r,-r]\), \([r,1-r]\), ..., \([n-1+r,n-r]\), \([n+r,R]\).[/*:m:ivyeog1s][/list:u:ivyeog1s]
Comunque si fissino \(R\) ed \(r\) sotto le limitazioni imposte, il dominio \(D_n(R,r)\) è tutto interno al campo di olomorfia di \(\Omega_n\) ed, a norma del Teorema Integrale di Cauchy, risulta:
\[
\intop_{+\partial D_n(R,r)} \phi_n(z)\ \text{d} z = 0\; ,
\]
da cui:
\[
\left( \intop_{-R}^{-n-r} + \sum_{k=-n}^{n-1} \intop_{k+r}^{k+1-r} + \intop_{n+r}^R \right) \phi_n (z)\ \text{d} z = \left( -\intop_{+\Gamma (0;R)} + \sum_{k=-n}^n \intop_{+\gamma (k;r)} \right) \phi_n (z)\ \text{d} z\; .
\]
Per i lemmi di Jordan gli integrali al secondo membro della precedente sono convergenti, rispettivamente, per \(R\to +\infty\) ed \(r\to 0^+\) ed in particolare si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{R\to +\infty} \intop_{+\Gamma (0;R)} \phi_n (z)\ \text{d} z &= 0\\
\lim_{R\to +\infty} \intop_{+\gamma (k;r)} \phi_n (z)\ \text{d} z &= \imath\ \pi\ \operatorname{Res} \left( \phi_n; k\right)\\
&= \imath\ \pi\ \frac{e^{\imath\ \pi k}\ (-1)^{n-k}}{(n+k)!\ (n-k)!}\; ,
\end{split}
\]
e, d'altra parte, gli integrali al primo membro convergono al limite per \(R\to +\infty\) ed \(r\to 0^+\) avendo come somma \(\imath\cdot \int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x)\text{d} x\); pertanto usando la formula del binomio di Newton e la relazione di Eulero (i.e., \(e^{\imath\ \pi} =-1\)) troviamo:
\[
\begin{split}
\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x)\text{d} x &= \pi\ \sum_{k=-n}^n \frac{e^{\imath\ \pi k}\ (-1)^{n-k}}{(n+k)!\ (n-k)!}\\
&\stackrel{h=k+n}{=} \pi\ \sum_{h=0}^{2n} \frac{e^{\imath\ \pi (h-n)}\ (-1)^{2n-h}}{h!\ (2n-h)!}\\
&= \frac{\pi\ e^{-\imath\ \pi n}}{(2n)!}\ \sum_{h=0}^{2n} \binom{2n}{h}\ e^{\imath\ \pi h}\ (-1)^{2n-h}\\
&= \frac{\pi\ (-1)^n}{(2n)!}\ (e^{\imath\ \pi} -1)^{2n}\\
&= \frac{\pi\ (-1)^n}{(2n)!}\ (-2)^{2n}\; ,
\end{split}
\]
cioè:
\[
\int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x)\text{d} x = \frac{(-4)^n\ \pi}{(2n)!}\; .
\] 