Esercizio minimo relativo

[daenerys1]

Sia f funzione continua in (-1, 1) tale che $f'_(-) x_0 < 0$ e $f'_+(x_0) > 0$ per un certo $x_0$ in (-1, 1). Dimostrare o confutare che:
$x_0 è minimo relativo$

Cioè intuitivamente mi sembra banale però, come posso dimostrarlo? Ho provato a scrivermi le definizioni dei limiti destro e sinistro della derivata prima però..poi?

[@melia]

Parti dal rapporto incrementale.

[daenerys1]

E' se parto dal rapporto incrementale ottengo che da destra f(x+h) > f(x) e da sinistra f(x-h) < f(x) e quindi da un lato è crescente e dall'altro decrescente.. questo mi basta a dire che è il minimo?

[@melia]

"daenerys":E' se parto dal rapporto incrementale ottengo che da destra f(x+h) > f(x) e da sinistra f(x-h) < f(x) e quindi da un lato è crescente e dall'altro decrescente.. questo mi basta a dire che è il minimo?

Non proprio:
Il rapporto incrementale $(Deltaf)/(Deltax)=(f(x_0+h)-f(x_0))/h$, per $h<0$ sei a sinistra di $x_0$, per $h>0$ sei a destra.

Comuncio per $h<0$,
in un intorno sinistro di 0, questo rapporto $(f(x_0+h)-f(x_0))/h$, ha lo stesso segno di $f'(x_0^-)$, quindi $(f(x_0+h)-f(x_0))/h <0$, motiplico per $h$ che è negativo e quindi inverte la disuguaglianza, $f(x_0+h)-f(x_0)>0$, da cui $f(x_0)
adesso per $h>0$
in un intorno destro di 0, questo rapporto $(f(x_0+h)-f(x_0))/h$, ha lo stesso segno di $f'(x_0^+)$, quindi $(f(x_0+h)-f(x_0))/h >0$, motiplico per $h$ che essendo positivo non tocca il verso della disuguaglianza, $f(x_0+h)-f(x_0)>0$, da cui $f(x_0)
Per la definizione di minimo relativo ...