Analisi matematica di base
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Ciao ragazzi/e. Mi sto esercitando sullo studio di funzioni e altri esercizi di analisi II. Come posso controllare che quello che svolgo è fatto bene? Ad esempio il solo studio delle funzioni lo controllo con Wolfram Alpha.
In particolare stamattina stavo provando questo esercizio
$ f(x,y)= (e^(x+y) (x^2+2y+1)) $ e mi trovo con il sito che il punto (1,-2) è di minimo.
Ora devo procedere a trovare i punti critici nel quadrato $ {(x,y): x in [0,2], y in [-3,-1] $
Io lo svolto da "prassi" ma come faccio a sapere di aver fatto ...
Buongiono, oggi mi sono imbattuto su un esercizio riguardante questo teorema.
Mi viene chiesto di "Dare un esempio di funzione continua che però non soddisfi l'ipotesi del teorema"
dalla definizione di Teorema di esistenza dei valori intermedi so:
Sia $ f:I -> \Re $ una funzione continua, dove $ I $ è un intervallo. Allora $ \forall y1y2 \in Imf $ con $ y1 < y2, $ si ha $ [y1,y2] \subset Im f $.
Dalla definizione però non saprei come procedere per trovare una funzione che non ...
Direttamente dal test SNS 2015:
Sia $f:\mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una funzione $\mathcal{C}^1$ tale che $f(0,t)\leq 0\leq f(1,t)$ per ogni $t\in\mathbb{R}$. Se $f$ è periodica di periodo $T$ nella prima variabile, cioè $f(t+T,x)=f(t,x)$ per ogni $(t,x)$, provare che
$$
u'(t)=f(t,u(t))
$$
ammette una soluzione $\overline{u}(t)$ $T-$periodica con $0\leq u(t)\leq 1$.
C'ho pensato a lungo ma sinceramente non vedo da dove iniziare.
Buona sera a tutti ragazzi e complimenti a tutti per i vostri utilissimi argomenti....
E' arrivato anche per me il momento di chiedervi aiuto....(probabilmente per qualcuno sarà una domanda banale.... sorry for that).....
Arriviamo al quesito:
Sto facendo un'analisi sulle portate d'acqua nelle condutture (nel campo delle costruzioni. Praticamente in funzione del numero di sanitari ho la portata richiesta da essi).
x= numero sanitari
y= portata d'acqua richiesta
Dai dati sperimentali ...
Ho provato a risolvere il primo esercizio del test di ammissione alla SISSA dell'anno 2013. (http://www.math.sissa.it/sites/default/files/Entrance_Examinations_pdf/LM-13.pdf)
Mi sorge però il sospetto che esista una soluzione più semplice ed elegante della mia, specie per il secondo punto, quindi vi sottopongo quello che sono riuscito a fare sperando in un consiglio.
Primo punto:
Sia $\lambda\in\mathbb{R}$ tale che $y_{\lambda}(t)\to l\in\mathbb{R}$ per $t\to +\infty$.
Allora deve aversi $y'_{\lambda}(t)\to 0\in\mathbb{R}$ per $t\to +\infty$, cioé
\[
\lim_{t\to +\infty} ...
Calcolare per ogni valore del parametro \( a\in\Re \)
\( \lim_{x\rightarrow 0^+} \frac{tan(ax)-2x}{x^3} \)
"per ogni valore del parametro \( a \) " cosa intende?
Ciao a tutti
Mi sono trovato d'avanti questo integrale doppio:
$ int_(T)^() 1/root(6)((x^2+xy+y^2)^7) dx dy $.
Con $ T={(x,y)in R^2 : x^2+xy+y^2 >= 1} $
Essendo T un dominio illimitato , la mia idea è quella di passare alle coordinate polari , fissare un valore massimo per il raggio che chiamo R (quindi R è una costante), e una volta fatto l'integrale , fare il limite per R che tende all'infinito.
Un po come per gli integrali impropri in una variabile.
Essendo però il primo esercizio del genere che faccio , non sono molto sicuro che sia ...
Salve a tutti. Ricordo il famoso teorema di Lebesgue:
sia $ \u in L_{loc}^1(\mathbb{R}^n)$. Allora, per quasi ogni $x \in \mathbb{R}^n$,
$$\lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B_r(x))}\int_{B_r(x)} |u(y)-u(x)|dy = 0.$$
Io avrei bisogno del seguente risultato (sto sostituendo $p$ a $1$):
sia $ \u in L_{loc}^p(\mathbb{R}^n)$. Allora, per quasi ogni $x \in \mathbb{R}^n$,
$$\lim_{r \to 0} \frac{1}{m(B_r(x))}\int_{B_r(x)} |u(y)-u(x)|^p dy = 0.$$
(si ...
Il test è il 3, questo strazio sarà finito a breve
Ho dubbi sugli esercizi 4 e 5, ma sul 4 intendo ragionare ancora un po' quindi posto il mio lavoro sul 5. (I testi sono qui http://www.math.sissa.it/sites/default/files/Entrance_Examinations_pdf/LM-11.pdf)
Esercizio 5
i) Basta cercare una funzione $U:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ tale che
$$
0=\frac{d}{dt}{U(x(t),t)}=U_x y-U_y (x-x^2)
$$
per ogni $t$ ossia $U_x=x^2-x$ e $U_y=y$ da cui $U=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}$.
ii) Dovrei usare l'integrale primo del punto (i) per ...
Buongiorno vi scrivo per chiedervi di un esercizio d'esame di cui non mi torna il risultato:
" Il lavoro del campo vettoriale $ F(x,y)=(e^(x^2+5) ,6e^(xy) + e^(y^2-5)) $ lungo la frontiera del quadrato $ D = [0,3] xx [0,3] $ percorsa in senso orario vale: "
il risultato è $ L = 2(10-e^9) $
Ho provato a risolverlo parametrizzando i 4 segmenti, ma ora di sostituire i valori dei 4 vettori, moltiplicare per le loro derivate e calcolare i 4 integrali di linea veniva un pò laborioso, così ho utilizzato il teorema di green ...
Ciao a tutti ragazzi
avrei bisogno di un aiuto nel capire un passaggio di un esercizio
il passaggio è il seguente
$ lim_(n->oo) ( (n!)/((n-x)!) ) = lim_(n->oo) ( ([n(n-1)-(n-x+1)](n-x)!)/((n-x)!) \cdot n^x/n^x ) =n^x $
quello che ho ovviamente notato è che il denominatore rimane invariato a meno della moltiplicazione per $n^x/n^x$
quindi credo si tratti di portare $n!$ nella forma $[n(n-1)-(n-x+1)](n-x)!$
ho provato a fare qualche passaggio sfruttando proprietà del tipo $n! = n(n-1)!$ ma non ne ho cavato nulla di buono.
La cosa che mi crea maggiore ...
Salve a tutti, ho trovato questo integrale tra gli appunti che non riuscivo e non riesco tuttora a risolvere:
$ int 1/(x-4x^3-x^3sqrt(1/x^2-2)) dx $
Tutto ciò che sono riuscito a fare è questo (tralascio il simbolo di integrale lavorando solo sulla frazione per comodità di scrittura):
$ 1/(x-4x^3-x^3sqrt((1-2x^2)/x^2)) = 1/(x-4x^3-x^2sqrt(1-2x^2) $
Razionalizzando:
$ 1/(x(1-4x^2)-x^2sqrt(1-2x^2)) = (x(1-4x^2)+x^2sqrt(1-2x^2))/(x^2(1+16x^4-8x^2) -x^4(1-2x^2))= $
$ (x(1-4x^2)+x^2sqrt(1-2x^2)) / (x^2(1+16x^4-8x^2-x^2+2x^4)) = (x^2(1/x-4x+sqrt(1-2x^2)))/(x^2(18x^4-9x^2+1)) $
A questo punto (e credo non sia alla mia portata ) si tratterebbe di risolvere:
$ int (1/x-4x)/(18x^4-9x^2+1) dx + int sqrt(1-2x^2)/(18x^4-9x^2+1) dx $
Spero che qualcuno mi possa dare una mano
Ciao a tutti,
sto preparando l'esame di Analisi II e al momento sto studiando la convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni. E' evidente che c'è ancora qualcosa che mi sfugge per quanto riguarda gli esercizi, dato che non riesco a trovarmi con il risultato del seguente esercizio (indico con (fn) la successione di funzioni):
Studiare convergenza puntuale e uniforme di:
$ (fn)(x) = { ( 0 hArr x=0 ),( n hArr x in(0,1/n)),( 0 hArr x in [1/n,1]):} $
Studiando la convergenza puntuale, infatti, mi trovo che $ (fn)(0) = 0 = (fn)(1) $
mentre se ...
Nello svolgimento della prova SISSA '13 ho trovato alcune difficoltà, per la parte di analisi, con gli esercizi n° 4 e n°5. (Il testo è qui http://www.math.sissa.it/sites/default/files/Entrance_Examinations_pdf/LM-13.pdf)
Posto quello che sono riuscito a fare e spero in qualche illuminazione.
Esercizio 4
(i) Riscrivo $T[f](x)$, operando la sostituzione $y=x-t$, come
$$
\int_0^x{\frac{f(x-y)dy}{\sqrt{y}}}
$$
A questo punto è facile dimostrare la continuità per ogni $x\in[0,1]$ come ...
Dunque.
Devo approssimare attraverso taylor questa funzione
$e^x*sin(x)$
Al secondo ordine... centrato in x0=0.
Bene, fin qui tutto bene
$f'(x)=e^x*cos(x)+e^x*sin(x)$
Derivata seconda adesso.
$f''(x)= 2*e^x*(cos(x))$
...
$f(0)=0$
Ho tutto ciò che mi serve per l'approssimazione
$T3(x)=0+x+(x^2*2)/2+R(x).$
Dove R(x) è il resto secondo Lagrange
Fin qui tutto giusto?
Il problema adesso è calcolare (o meglio, stimare) il resto.
Mi si chiede di farlo in un intervallo $[0;pi/4]$
Io faccio così, ...
In preparazione alla prova di ammissione alla SISSA sto provando a svolgere i test degli anni passati. Ho fatto in particolare quello del 2009 e posto qui le mie soluzioni per sapere se sono corrette, non avendo "le risposte", e per capire le parti che mi mancano. In particolare il punto (iii) dell'esercizio 1 e la soluzione dell'esercizio 2.
Non copio il testo degli esercizi dato che è nel pdf (http://www.math.sissa.it/sites/default/files/Entrance_Examinations_pdf/LM-09.pdf).
Esercizio 1.
(i) Se $a\in A$ basta porre $y=a$ e ...
In questo esercizio mi viene chiesto di calcolare i punti di minimo e massimo relativo di \( f(x):[-4,2] \rightarrow \Re \) definita da:
\( f(x) = |4-x^2-3x| \)
Ho iniziato eseguendo la derivata di \( f(x) \) per poi studiarne il segno..
la derivata risulta essere: \( f'(x)= \frac{1}{|-2x^3-3|} (-2x^3-3) \) è corretta?
ora procederei con lo studio del segno della derivata..
Sto eseguendo il procedimento giusto?
Salve ragazzi!
Come da titolo devo trovare il campo di olomorfia di $log(-1+sqrt(z))$ dove considero la determinazione principale di radice e logaritmo con $arg(z) \in (-\pi, \pi]$.
La prima cosa che faccio è notare che l'insieme di definizione della funzione è $I_{def} = C\\{1}$.
Poi noto che il campo di olomorfia di $sqrt(z)$ è $O(sqrt(z)) = C \\ {z \in C: Im(z) = 0, Re(z) \leq 0}$.
Considero ora $\alpha = -1 + sqrt(z)$.
Pongo $z = R \cdot e^{i\theta}$ quindi $-1 + sqrt(z) = -1 +R^{1/2} \cdot (cos(\theta/2) + i \cdot sin(\theta/2))$.
Quindi $Im(\alpha) = R^{1/2} \cdot sin(\theta/2) = 0 \Leftrightarrow \theta = 0$ (perchè $\theta/2 \in (-\pi/2, \pi/2]$).
Ne segue che ...
È sbagliato pensare che un insieme se semplicemente connesso è concavo e viceversa?
Devo trovare ed identificare i punti critici della seguente funzione:
$x^2+y^2+yz+z^3$
${(2x=0 ),(2y+z=0),(y+3z^2=0):}$
Si trovano due punti critici $P_1=(0,0,0)$ e $P_2=(0,\frac(1)(12),-\frac(1)(6))$
Costruisco l'hessiana:
$H_f=((2,0,0),(0,2,1),(0,1,6z))$
Adesso però non saprei proseguire... Calcolo ad esempio il determinante dell'hessiana in $P_1$ ed ottengo un valore $<0$... E' quindi un punto di sella??? Lo calcolo pure nel punto $P_2$ ma ottengo un punto di sella invece dovrebbe essere un ...
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