Analisi matematica di base

Ciao a tutti, sto preparando l'esame di Analisi II e al momento sto studiando la convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni. E' evidente che c'è ancora qualcosa che mi sfugge per quanto riguarda gli esercizi, dato che non riesco a trovarmi con il risultato del seguente esercizio (indico con (fn) la successione di funzioni): Studiare convergenza puntuale e uniforme di: $ (fn)(x) = { ( 0 hArr x=0 ),( n hArr x in(0,1/n)),( 0 hArr x in [1/n,1]):} $ Studiando la convergenza puntuale, infatti, mi trovo che $ (fn)(0) = 0 = (fn)(1) $ mentre se ...

Nello svolgimento della prova SISSA '13 ho trovato alcune difficoltà, per la parte di analisi, con gli esercizi n° 4 e n°5. (Il testo è qui http://www.math.sissa.it/sites/default/files/Entrance_Examinations_pdf/LM-13.pdf) Posto quello che sono riuscito a fare e spero in qualche illuminazione. Esercizio 4 (i) Riscrivo $T[f](x)$, operando la sostituzione $y=x-t$, come $$ \int_0^x{\frac{f(x-y)dy}{\sqrt{y}}} $$ A questo punto è facile dimostrare la continuità per ogni $x\in[0,1]$ come ...

Dunque. Devo approssimare attraverso taylor questa funzione $e^x*sin(x)$ Al secondo ordine... centrato in x0=0. Bene, fin qui tutto bene $f'(x)=e^x*cos(x)+e^x*sin(x)$ Derivata seconda adesso. $f''(x)= 2*e^x*(cos(x))$ ... $f(0)=0$ Ho tutto ciò che mi serve per l'approssimazione $T3(x)=0+x+(x^2*2)/2+R(x).$ Dove R(x) è il resto secondo Lagrange Fin qui tutto giusto? Il problema adesso è calcolare (o meglio, stimare) il resto. Mi si chiede di farlo in un intervallo $[0;pi/4]$ Io faccio così, ...

In preparazione alla prova di ammissione alla SISSA sto provando a svolgere i test degli anni passati. Ho fatto in particolare quello del 2009 e posto qui le mie soluzioni per sapere se sono corrette, non avendo "le risposte", e per capire le parti che mi mancano. In particolare il punto (iii) dell'esercizio 1 e la soluzione dell'esercizio 2. Non copio il testo degli esercizi dato che è nel pdf (http://www.math.sissa.it/sites/default/files/Entrance_Examinations_pdf/LM-09.pdf). Esercizio 1. (i) Se $a\in A$ basta porre $y=a$ e ...

In questo esercizio mi viene chiesto di calcolare i punti di minimo e massimo relativo di \( f(x):[-4,2] \rightarrow \Re \) definita da: \( f(x) = |4-x^2-3x| \) Ho iniziato eseguendo la derivata di \( f(x) \) per poi studiarne il segno.. la derivata risulta essere: \( f'(x)= \frac{1}{|-2x^3-3|} (-2x^3-3) \) è corretta? ora procederei con lo studio del segno della derivata.. Sto eseguendo il procedimento giusto?

Salve ragazzi! Come da titolo devo trovare il campo di olomorfia di $log(-1+sqrt(z))$ dove considero la determinazione principale di radice e logaritmo con $arg(z) \in (-\pi, \pi]$. La prima cosa che faccio è notare che l'insieme di definizione della funzione è $I_{def} = C\\{1}$. Poi noto che il campo di olomorfia di $sqrt(z)$ è $O(sqrt(z)) = C \\ {z \in C: Im(z) = 0, Re(z) \leq 0}$. Considero ora $\alpha = -1 + sqrt(z)$. Pongo $z = R \cdot e^{i\theta}$ quindi $-1 + sqrt(z) = -1 +R^{1/2} \cdot (cos(\theta/2) + i \cdot sin(\theta/2))$. Quindi $Im(\alpha) = R^{1/2} \cdot sin(\theta/2) = 0 \Leftrightarrow \theta = 0$ (perchè $\theta/2 \in (-\pi/2, \pi/2]$). Ne segue che ...

È sbagliato pensare che un insieme se semplicemente connesso è concavo e viceversa?

Devo trovare ed identificare i punti critici della seguente funzione: $x^2+y^2+yz+z^3$ ${(2x=0 ),(2y+z=0),(y+3z^2=0):}$ Si trovano due punti critici $P_1=(0,0,0)$ e $P_2=(0,\frac(1)(12),-\frac(1)(6))$ Costruisco l'hessiana: $H_f=((2,0,0),(0,2,1),(0,1,6z))$ Adesso però non saprei proseguire... Calcolo ad esempio il determinante dell'hessiana in $P_1$ ed ottengo un valore $<0$... E' quindi un punto di sella??? Lo calcolo pure nel punto $P_2$ ma ottengo un punto di sella invece dovrebbe essere un ...

C'è una equazione complessa che non riesco a risolvere, anzi non so neppure da che parte incominciare. $((z − i)^5 - 1 + i) (z^2 − i(¯z)^3)=0<br /> $ Spero almeno voi riusciate a cavare un ragno dal buco. P.S.: la sbarretta sopra l'ultimo z, significa che è il coniugato, ergo, la forma di un numero complesso z è (x+iy), nel caso del coniugato z=x-iy.

Ciao ragazzi, ho un dubbio: Esercizio: Verificare se la forma differenziale lineare $\omega=y[x^2/(x^2+y^2)+ln(sqrt(x^2+y^2))]dx + x[x^2/(x^2+y^2)+ln(sqrt(x^2+y^2))]dy$ è esatta nel suo insieme di definizione e, in caso positivo calcolarne le primitive. Svolgimento $\omega \in C^\infty(R^2-{(0,0)})$. Inoltre $dX/dy=dY/dx$ dunque la forma differenziale è chiusa. Posso dunque dire che è esatta su $(R^2-{(0,0)})$ ? Oppure posso dire che è esatta solo dopo aver visto che ammette potenziale? Oppure DEVO prima provare l'esattezza della forma differenziale sfruttando ...

Vorrei chiedervi un chiarimento su un passaggio, che non ho ben capito, delle dispense di un docente. In pratica citando il testo: "Se $f$ è una funzione analitica in tutto il disco $B_(R_2)(z_0)$, la serie di Laurent $~$serie di Taylor. Infatti i coefficienti $a_n$ per $n<=-1$ si annullano essendo: $f(s)/(s-z_0)^(n+1) in H(B_(R_2) (z_0))$ per il teorema di Cauchy (si osservi che per $n<=-1$, banalmente $n+1<=0$) e quelli con ...

Ciao a tutti, seguo da tempo questo sito che stimo molto. Mi permetto di sottoporre alla vostra attenzione una equazione differenziale non lineare che mi appare un pò strana per il mio attuale livello di competenza (sto preparando uno dei primi esami ad ingegneria) ed è anche indigesta, tra l'altro, ai solutori automatici. Trattasi di: y'+y/2x=xsin(x/y). Ho provato con la sostituzione z=y/x però per questa strada arrivo solo a cose del tipo z'=-z/2x+sin(1/z) quindi mi trovo nell'impossibilità ...

Come conviene procedere con il seguente, limite, devo calcolare gli sviluppi di Taylor con centro 3? [tex]\lim_{x\to3^{+}}\frac{\arctan(x)-\arctan(6-x)}{\log(x)-\log(6-x)}[/tex]

Il problema ha sapore geometrico ma posto qui perché i miei problemi sono di natura analitica (non riesco a calcolare un limite legato a un integrale). Problema (concorso di ammissione SISSA). Per ogni $t \in \mathbb R$ sia [tex]\Pi_t := \left\{(x,y,z) \in \mathbb R^3:z=t\right\}[/tex]. Preso $T>0$ sia $S_T$ la superficie racchiusa tra i piani $Pi_0$ e $Pi_T$ tale che, per ogni $t \in [0,T]$, la sua intersezione con il piano $Pi_t$ è ...

sto facendo questo integrale (che per voi sicuramente sarà banale ) e vorrei sapere se sto procedendo correttamente.. $ int_(0)^(\+infty) x^2*e^(-x^3+2) dx = lim_(c -> +\infty) int_(0)^(c) x^2*e ^(-x^3+2)dx $ a questo punto tralascio il limite e procederei al calcolo dell'integrale per parti.. $ (x^3)/(3)*e^(-x^3+2)-int_()^() (x^3)/(3)*(-3e^(2-x^3)x^2) dx $ ora?

Buon pomeriggio , ho svolto il seguente esercizio: - Studiare al variare del parametro \( p \) il carattere della serie $ sum_( n= 1)^( \propto)\frac{3^{\frac{1}{n}}-1}{(n^p)log(1+\frac{1}{n^4})} $ e come risultato ho ottenuto che converge per $ p>4 $. Dato che non ho modo di verificare, potreste dirmi se questo risultato è corretto ? Grazie

Buon pomeriggio a tutti , nonostante è da un po che studio l'argomento, ancora non ho capito come impostare esercizi del tipo - Assegnata la funzione \( f(x)=\begin{cases} k\frac{(3+senx)cosx}{1-4sen^2x} \,\,\,\,\, x\,\epsilon\,(\frac{\Pi}{6}, \pi] \\ 3kx-k^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, x\,\epsilon\, R-(\frac{\Pi}{6}, \pi] \end{cases} \) dire per quali valori del parametro reale \( k \) è dotata di primitive in \( (\frac{\Pi}{6},\infty ) \) e in \( (-\infty,\Pi ) \) ed eventualmente ...

Ciao, potreste dirmi con quale metodo si risolve questa serie? $\sum_{n=1}^oo (-1)^n*sqrt(n)$ Io ho provato con Leibniz ma non funziona dato che il limite non è uguale 0. Nel libro come soluzione c'è scritto: "non converge perchè non è soddisfatta la condizione di convergenza. Inoltre studiando la succesione della somme parziali si vede che non tende ne a +oo ne a -oo; pertanto la serie oscilla". Algebricamente come si dimostra che la serie oscilla?

Ho un esercizio che mi chiede di studiare la "Derivabilità secondo ogni direzione". Per studiare la derivabilità secondo UNA determinata direzione (1,0) per esempio, uso la formula del gradiente. Di seguito calcolo il gradiente nel punto e come ultima cosa calcolo la derivata direzionale. Ma come faccio a dimostrare la derivabilità in tutte le direzioni? Grazie

Un problema all'apparenza banale che mi ha messo in crisi (di brutto) Problema - Parte I (SISSA). Siano $a,b : \RR \to \RR$ continue. Si consideri \[ y''+a(t)y'+b(t)y=0. \] Domanda: è possibile che, per qualche scelta dei coefficienti $a(\cdot)$ e $b(\cdot)$, l’equazione in questione abbia $y_1(t) = t$ e $y_2(t) = \sin(2t)$ entrambe come soluzioni globali? Mi (e vi) chiedo: che cosa "vuole" il problema? Quale nozione teorica c'è sotto? Esistenza e unicità? (Visto che il ...