[RISOLTO]Punti critici funzione in 3 variabili
Devo trovare ed identificare i punti critici della seguente funzione:
$x^2+y^2+yz+z^3$
${(2x=0 ),(2y+z=0),(y+3z^2=0):}$
Si trovano due punti critici $P_1=(0,0,0)$ e $P_2=(0,\frac(1)(12),-\frac(1)(6))$
Costruisco l'hessiana:
$H_f=((2,0,0),(0,2,1),(0,1,6z))$
Adesso però non saprei proseguire... Calcolo ad esempio il determinante dell'hessiana in $P_1$ ed ottengo un valore $<0$... E' quindi un punto di sella??? Lo calcolo pure nel punto $P_2$ ma ottengo un punto di sella invece dovrebbe essere un minimo locale... Sto sbagliando qualcosa, ma non ho trovato un riquadro semplice da capire tipo le funzioni in due variabili, dove si considera il $f_{x*x}$(è la derivata seconda di x, ma non lo riesco a scrivere) per capire che punto è...
$x^2+y^2+yz+z^3$
${(2x=0 ),(2y+z=0),(y+3z^2=0):}$
Si trovano due punti critici $P_1=(0,0,0)$ e $P_2=(0,\frac(1)(12),-\frac(1)(6))$
Costruisco l'hessiana:
$H_f=((2,0,0),(0,2,1),(0,1,6z))$
Adesso però non saprei proseguire... Calcolo ad esempio il determinante dell'hessiana in $P_1$ ed ottengo un valore $<0$... E' quindi un punto di sella??? Lo calcolo pure nel punto $P_2$ ma ottengo un punto di sella invece dovrebbe essere un minimo locale... Sto sbagliando qualcosa, ma non ho trovato un riquadro semplice da capire tipo le funzioni in due variabili, dove si considera il $f_{x*x}$(è la derivata seconda di x, ma non lo riesco a scrivere) per capire che punto è...
Risposte
Scusa ma il tuo link mi porta ai massimi e minimi in due variabili, io ne ho 3... Non ho comunque trovato un punto 5 all'interno del link 
Ciao.
Prova a scorrere la pagina con lo scroller e a leggere attentamente il documento; il punto 5 tratta la classificazione dei punti stazionari sia per le funzioni di due che di più variabili.
Purtroppo non ho potuto creare il link diretto al punto in questione.
Saluti.
Prova a scorrere la pagina con lo scroller e a leggere attentamente il documento; il punto 5 tratta la classificazione dei punti stazionari sia per le funzioni di due che di più variabili.
Purtroppo non ho potuto creare il link diretto al punto in questione.
Saluti.
Io spero ci sia un link più semplice, magari con un esempio... In quel link non ci ho capito niente... Grazie dell'aiuto comunque
Ciao.
Cosa non ti sarebbe chiaro, esattamente?
Saluti.
Cosa non ti sarebbe chiaro, esattamente?
Saluti.
Ah i vecchi tempi, ricordo qualche leggera scagnarata - tra amici eheh 
- con quelli di **** su questo forum[nota]Stando al link postato da alessandro8 che rimanda a ****. 
[/nota]. Comunque
il secondo mi viene $(0, -1/12, 1/6)$. Vuoi che per una volta ho azzeccato un calcolo nella mia vita?
- con quelli di **** su questo forum[nota]Stando al link postato da alessandro8 che rimanda a ****. [/nota]. Comunque"Mito125":
Si trovano due punti critici $ P_1=(0,0,0) $ e $ P_2=(0,\frac(1)(12),-\frac(1)(6)) $
il secondo mi viene $(0, -1/12, 1/6)$. Vuoi che per una volta ho azzeccato un calcolo nella mia vita?
"Zero87":
Ah i vecchi tempi, ricordo qualche leggera scagnarata - tra amici eheh
[quote="Mito125"]Si trovano due punti critici $ P_1=(0,0,0) $ e $ P_2=(0,\frac(1)(12),-\frac(1)(6)) $
il secondo mi viene $(0, -1/12, 1/6)$. Vuoi che per una volta ho azzeccato un calcolo nella mia vita?
[/quote]Ok, primo errore che salta fuori... Io pensavo ci fosse una tabellina come per le due variabili, in cui guardi il segno del determinante e del primo valore $f_{x*x}$(che è la derivata seconda di f rispetto ad x ma non lo so scrivere) e sei ok... Qualcosa di immediato da ricordare a memoria
Riprendo questo mio 3d, per ulteriori chiarimenti sui punti critici... Usando il metodo dei minori principali della matrice hessiana ho risolto quell'esercizio correttamente, però ora ho un dubbio su un secondo esempio:
$H = ((-2,-2,0),(-2,6y-4,2),(0,2,-2))$
$A_1=-2$
$A_2=-2(6y-4)-4$
$A_3=H=4(6y-4)+16$
Ottengo due punti critici $P_1=(-1,1,1)$ e $P_2=(1,-1,-1)$. I punti trovati sono corretti, devo solo valutare che tipo di criticità sono.
Per $P_1$ ottengo $A_1<0,A_2<0,A_3>0$ il punto è di sella perchè è la matrice H è indefinita.
Per $P_2$ ottengo $A_1<0,A_2>0,A_3<0$ anche in questo caso la matrice mi sembra indefinita quindi punto di sella, ma il risultato mi dice che è un punto di massimo locale... Però quando i segni sono opposti è sempre indefinita, semidefinita se fosse $\>=0$ o $\<=0$ e comunque non mi aiuta a capire la natura del punto critico.
Grazie
$H = ((-2,-2,0),(-2,6y-4,2),(0,2,-2))$
$A_1=-2$
$A_2=-2(6y-4)-4$
$A_3=H=4(6y-4)+16$
Ottengo due punti critici $P_1=(-1,1,1)$ e $P_2=(1,-1,-1)$. I punti trovati sono corretti, devo solo valutare che tipo di criticità sono.
Per $P_1$ ottengo $A_1<0,A_2<0,A_3>0$ il punto è di sella perchè è la matrice H è indefinita.
Per $P_2$ ottengo $A_1<0,A_2>0,A_3<0$ anche in questo caso la matrice mi sembra indefinita quindi punto di sella, ma il risultato mi dice che è un punto di massimo locale... Però quando i segni sono opposti è sempre indefinita, semidefinita se fosse $\>=0$ o $\<=0$ e comunque non mi aiuta a capire la natura del punto critico.
Grazie
Up
Ciao.
Premetto che sono molti anni che non vedo questi argomenti in modo così dettagliato, quindi potrei anche sbagliare qualcosa (nel qual caso mi scuso anticipatamente), però secondo questa fonte (sezione 1.2, punto ii - criterio di Sylvester), la matrice $H$ dell'esempio in questione, calcolata nel punto $P_2$, risulterebbe essere definita negativa, quindi si dovrebbe aver a che fare proprio con un punto di massimo.
Saluti.
Premetto che sono molti anni che non vedo questi argomenti in modo così dettagliato, quindi potrei anche sbagliare qualcosa (nel qual caso mi scuso anticipatamente), però secondo questa fonte (sezione 1.2, punto ii - criterio di Sylvester), la matrice $H$ dell'esempio in questione, calcolata nel punto $P_2$, risulterebbe essere definita negativa, quindi si dovrebbe aver a che fare proprio con un punto di massimo.
Saluti.
Io sempre utilizzando il criterio di Sylvester ho capito che è definita negativa solo quando tutti i minori principali sono negativi, mentre a me in $P_2$ il determinante risulta positivo, quindi è indefinita per il cambio di segno... Ma forse mi sto sbagliando...
Ciao.
Anche in questo collegamento Wiki si confermerebbe quanto riportavo nel mio post precedente.
Saluti.
Anche in questo collegamento Wiki si confermerebbe quanto riportavo nel mio post precedente.
Saluti.
Tu intendi questo passaggio?
la matrice A è definita negativa se e solo se $(-1)^i d_i > 0$ per ogni i . Quindi per $A_2$ sarebbe negativa perchè c'è quel $-1^i$??? Però non sono sicuro cosa i fosse.... Cioè come si contano i minori principali??? Dall'alto al basso o dal basso verso l'alto?
la matrice A è definita negativa se e solo se $(-1)^i d_i > 0$ per ogni i . Quindi per $A_2$ sarebbe negativa perchè c'è quel $-1^i$??? Però non sono sicuro cosa i fosse.... Cioè come si contano i minori principali??? Dall'alto al basso o dal basso verso l'alto?
"Mito125":
Tu intendi questo passaggio?
la matrice A è definita negativa se e solo se $(-1)^i d_i > 0$ per ogni i.
Sì, alludevo proprio a ciò.
"Mito125":
...come si contano i minori principali??? Dall'alto al basso o dal basso verso l'alto?
Dall'alto verso il basso; qualcuno denomina tali minori come "minori di nord-ovest" (per una ragione evidente) della matrice data.
Saluti.
Ok, allora domani mattina controllo gli esercizi, ti farò sapere... Grazie intanto per avermi dato qualcosa su cui macinare
Di nulla... mi spiace solo di essere arrugginito.
Saluti.
Saluti.
Io ancora continuo a non capire questi esercizi... Riprendo la seguente matrice:
$H=((2,0,0),(0,2,1),(0,1,6z))$
Calcolando il determinante con la regola di Sarrus ottengo $24z-2$
Allora calcolo l'hessiana nei punti critici. Primo punto $P_1=(0,0,0)$... Il determinante è pari a $-2$... Il minore $A_1=-2$ ed il minore $A_2=4$... Il punto è di sella... Ripeto per il punto $P_2=(0,-\frac(1)(12),\frac(1)(6))$:
Il determinante dell'hessiana è pari a $2$,$A_1=-2$ ed $A_2=4$... Punto di sella, ma non è così, dalla soluzione questo secondo punto dovrebbe essere di minimo locale, dovrei avere una matrice definitiva negativa, invece trovo sempre delle indefinite... Magari sto sbagliando qualcosa...
$H=((2,0,0),(0,2,1),(0,1,6z))$
Calcolando il determinante con la regola di Sarrus ottengo $24z-2$
Allora calcolo l'hessiana nei punti critici. Primo punto $P_1=(0,0,0)$... Il determinante è pari a $-2$... Il minore $A_1=-2$ ed il minore $A_2=4$... Il punto è di sella... Ripeto per il punto $P_2=(0,-\frac(1)(12),\frac(1)(6))$:
Il determinante dell'hessiana è pari a $2$,$A_1=-2$ ed $A_2=4$... Punto di sella, ma non è così, dalla soluzione questo secondo punto dovrebbe essere di minimo locale, dovrei avere una matrice definitiva negativa, invece trovo sempre delle indefinite... Magari sto sbagliando qualcosa...
"Mito125":
... Magari sto sbagliando qualcosa...
Sì, c'è un piccolo errore, dovuto ad una semplice svista.
"Mito125":
Il determinante dell'hessiana è pari a $2$,$A_1=-2$...
Il minore $A_1$ ha determinante pari a $2$, non a $-2$, per cui la matrice $H(P_2)$ risulta essere definita positiva, per cui si ha a che fare con un punto di minimo.
Saluti.
Non dovevo moltiplicare i minori per $(-1)^i$??? Quindi è 2, moltiplicato per -1 ottengo -1... I minori li ho tutti moltiplicati per -1, tranne il determinante dell'hessiana che non credo sia minore...
"Mito125":
Non dovevo moltiplicare i minori per $(-1)^i$?
In generale, no.
Il fattore $(-1)^i$ viene considerato unicamente quando si deve verificare che una matrice è definita negativa.
Quindi, se i minori $A_i$, presi in senso crescente rispetto all'indice $i in NN$, assumono valori non nulli e a segni alterni[nota]Questa è la ragione per cui "salta fuori" il fattore $(-1)^i$[/nota] (con $A_1<0$), la matrice è definita negativa, mentre quando i minori $A_i$ sono tutti positivi, la matrice è definita positiva.
Spero di aver meglio chiarito.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo