EDO lineare, teorico [SISSA '13]

[Nulier]

Ho provato a risolvere il primo esercizio del test di ammissione alla SISSA dell'anno 2013. (http://www.math.sissa.it/sites/default/files/Entrance_Examinations_pdf/LM-13.pdf)
Mi sorge però il sospetto che esista una soluzione più semplice ed elegante della mia, specie per il secondo punto, quindi vi sottopongo quello che sono riuscito a fare sperando in un consiglio.

Primo punto:

Sia $\lambda\in\mathbb{R}$ tale che $y_{\lambda}(t)\to l\in\mathbb{R}$ per $t\to +\infty$.
Allora deve aversi $y'_{\lambda}(t)\to 0\in\mathbb{R}$ per $t\to +\infty$, cioé
\[
\lim_{t\to +\infty} y_{\lambda}(t)+f(t)=0
\]
da cui $f(t)\to -l$ per $t\to +\infty$.
Sia ora $\alpha\in\mathbb{R}$ tale che $y_{\alpha}(t)\to k\in\mathbb{R}$ per $t\to +\infty$. Per l'unicità del limite su $f$ deve aversi $l=k$.
Inoltre l'equazione è lineare, quindi la soluzione si rappresenta come
\[
y_{\lambda}(t)=e^t[\lambda+\int_0^t{f(s)e^{-s}ds}]
\]
Da quanto detto deve aversi che $y_{\lambda}-y_{\alpha}\to 0$ per $t\to + \infty$ cioè
\[
\lim_{t\to +\infty} e^t(\lambda-\alpha)=0
\]
da cui $\alpha=\lambda$.

Secondo punto:

Con ragionamento analogo otteniamo che $f$ tende a $-l$ stavolta per $t\to -\infty$. Sia $\mu\in\mathbb{R}$.
Allora
\[
\lim_{t\to -\infty} e^t[\mu+\int_0^t{f(s)e^{-s}ds}]=\lim_{t\to -\infty}e^t\int_0^t{f(s)e^{-s}ds}=\lim_{t\to -\infty}e^t\int_k^t{f(s)e^{-s}ds}
\]
Sia $\varepsilon>0$. Allora $\exists M>0$ tale che $-l-\varepsilon\leq f(s)\leq -l+\varepsilon$ se $s<-M$. Allora:
\[
\lim_{t\to -\infty} e^t\int_k^t{f(s)e^{-s}ds}\leq \lim_{t\to -\infty} (-l+\varepsilon)e^t(e^{-k}-e^{-t})=l+\varepsilon
\]
da cui, applicandolo nell'altro senso,
\[
\left|\lim_{t\to -\infty}y_\lambda(t)-l \right|\leq \varepsilon
\]
Dall'arbitrarietà di $\varepsilon$ segue la tesi.

[Rigel1]

Come hai già visto tu, tutto l'esercizio è basato sulla formula di rappresentazione esplicita della soluzione.
Per il secondo punto, già dopo il primo passaggio che hai fatto vedi che il limite, se esiste finito, è indipendente da \(\mu\).

[Nulier]

Hai ragione, potevo risparmiarmi il resto

[Giso1]

Un dubbio che mi è venuto, come si giustifica questa?

Sia $\lambda\in\mathbb{R}$ tale che $y_{\lambda}(t)\to l\in\mathbb{R}$ per $t\to +\infty$.
Allora deve aversi $y'_{\lambda}(t)\to 0\in\mathbb{R}$ per $t\to +\infty$

In generale non è vero che se $f(x) \to l$ finito per $t \to\infty$ allora $f'(x) \to 0$ per $t \to\infty$, come si vede prendendo per esempio $f(x)=\frac{sinx^2}{x}$. Tuttavia mi pare sensato nel caso di una EDO lineare, ma al momento non vedo come..

[_fabricius_1]

Per fortuna mi sembra che non sia determinante.
Se imponiamo che \(y_{\lambda}-y_{\alpha}=e^t(\lambda-\alpha)\) tenda a un arbitrario limite finito l'unica possibilità è che sia \(\alpha=\lambda\).